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贝塞尔插值

你好，

 

有没有绘制贝塞尔曲线插值的函数？

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@Craige_Hales和@米图尔沙赫,

 

我对贝塞尔曲线的了解和经验有限。 我已经看到它们在绘图（建筑和景观美化）设计和服装设计中的实用性。 当然，数学基础对我来说总是很有趣。我在互联网上查了一下，发现@米图尔沙赫求Excel的贝塞尔样条，B样条，算法是比较常见的一种。 一个链接Excel平滑算法问题包含 zip 文件的链接： http://xlrotor.com/Smooth_curve_bezier_example_file.zip该 zip 包含一个 2002 .xls 贝塞尔曲线示例，其中嵌入了自动化例程，用于从 Excel 平滑曲线中抓取像素并在曲线上插入点。它并不“精确”，并且使用了从曲线上抓取 4 个像素的技术。 端点在第一个插值点和最后一个插值点中使用两次。

 

在 Craige 发表有关 GraphBuilder Line 元素选项使其成为曲线的帖子后，我发现 JMP 中使用的样条线必须使用不同的算法，因为端点斜率与 Excel 的非常相似。我启动了一个脚本，通过提取 GB 图的像素来执行一些 DSP（数字信号处理）。 然后我找到了上面列出的网络链接，并决定仅使用 Excel 电子表格中的插值点并将其与 GB 线（曲线）覆盖。 下面的第一个屏幕截图描绘了 Excel 工作表，其中包含带有贝塞尔样条线和插值点的 Excel 图形，这些点作为旋转 B 点添加到 JMP 表中。第二张图显示了叠加了 Excel 插值点的 JMP GB 线（曲线）。

 

Excel Interpolated Points > Spin B in JMP tableExcel Interpolated Points > Spin B in JMP tableExcel 插值点 > JMP 表中的旋转 B

    

JMP Line(curve) spline overlaid with Excel interpolationsJMP Line(curve) spline overlaid with Excel interpolations与 Excel 插值叠加的 JMP 线（曲线）样条线

您会注意到插值与上尾部的 JMP 线（曲线）略有偏移，这可能是由于插值算法、Excel 和 JMP 曲线的差异或两者的组合造成的。 请注意，这 4 个点略高于 Excel 图表中的曲线。

 

因此，我的结论是 JMP GB 线（曲线）样条线与 Excel 贝塞尔曲线非常相似。我的兴趣不高，但如果我感到无聊，我可能会完成我的 DSP 脚本来“获取”直线（曲线）点。早期版本的 JMP 用于报告保存的 .jrn 文件中的曲线点，现在 .jrn 文件中仅引用隐藏函数。

 

现在，如果我就这个问题进行咨询，我的第一组问题将是：

• 这些数据（4分）从何而来，目标是什么？
• 样条曲线与直线和多项式一样，可用于创建校准曲线（用于插值的曲线）来代替复杂的函数关系。 然而，出于准确性目的，如果要根据曲线计算插值，建议定期数据间隔和复制。 由于 X 值的间隔不规则，我想知道是否有第三个（或更多）变量同时影响 X 和 Y。 例如，两者都是来自每日或每周测试读数的读数。
• 是否存在一个基本的首要原则，以 X 和 Y 的关系为基础，例如：剂量反应；细胞生长；污染腐蚀等
• 为什么积分这么少？ 复制的成本是多少？

根据我的经验，如果存在基本的非线性关系，那么通常值得付出努力来获取数据并拟合关系以估计参数（学习曲线、退化曲线）等。正如在Craige Hales，控制点（数量和位置）、节点和端点的微小差异可能会导致样条曲线的曲率（曲线上的点）产生很大差异，尤其是在“x”中存在较大间隙的情况下。我的预感是 Excel 故意不发布曲线样条的点或公式，因此人们不会像拟合模型一样使用它来进行估计。请注意，当 X 值和复制值“接近”时，插值的风险要小得多。

 

 

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http://users.umiacs.umd.edu/~ramani/cmsc460/Lecture9_interp_2008.pdf说

snip of a pdf describing how to choose slope for first and last end points of a splinesnip of a pdf describing how to choose slope for first and last end points of a spline描述如何为样条线的第一个和最后一个端点选择斜率的 pdf 片段

我怀疑 1 或 4 可能适用于此；我超出了我的知识范围。

 

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是的。 我希望如此。

 

另一种方法是——>也许我们可以根据曲线上的四个已知点计算控制点，然后绘制穿过所有四个点的贝塞尔曲线。有没有办法做到这一点？

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样条线在起点和终点选择的斜率对于 JMP 和 Excel 来说似乎不同。 样条线在每对点之间使用不同的三次方，可以平滑地连接大量点，匹配斜率和曲率。 如果只有四个点，则将三次拟合到这四个点并使用公式进行插值可能是有意义的。

也许我们会得到统计学家的答案。

Graph Builder can do it. So can Fit Y by X.Graph Builder can do it. So can Fit Y by X.图形生成器可以做到这一点。 所以可以用 X 来拟合 Y。

 

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对于这里造成的混乱，我深表歉意。

 

数据：

 

在JMP中，我用X拟合Y

如果我在Excel中输入相同的数据

 

我明白了

请注意，在 JMP 绿线中，左下角周围的曲线（X 值 2-3 之间）有一点振荡/扭结，而在 Excel 中并非如此。

 

我的最终目标是从该行插入值，因此如果 Excel 和 JMP 给出两条不同的行，那么我最终会得到不同的插值。  

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思考@gzmorgan0解释，您可以在图形生成器中执行此操作：

Select Points, then SHIFT to add the lineSelect Points, then SHIFT to add the line选择“点”，然后按 SHIFT 键添加线

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@米图尔沙赫,

如果您附加所需的 Excel 图表将会有所帮助。

 

如果我使用您提供的数据（系列），而不对其进行排序，Excel 将创建下面的第一个图表。 如果我在 Excel 中对系列进行排序，第二张图就是结果。   

注意

• JMP 平台默认按值而非表中的顺序将曲线拟合到数据。  
• 通过 X 拟合 Y、拟合灵活、内核平滑线性三立方体将是我使用样条曲线的选项，假设您想要像下面第二个图那样的图。
• 要生成像下面第一个图表（其中曲线说明数据顺序）这样的图，您需要为路径创建一个脚本，如下所示@Craige_Hales前面提到过。

从您的回复来看，我不清楚您在寻找什么。

 

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这就是我想做的

使用平滑曲线功能复制 Excel 的散点图。

如果我使用 JMP fit Y by X 和灵活的脊柱，我会得到与 Excel 使用散点图 + 平滑线生成的曲线不同的曲线。 我相信Excel正在使用贝塞尔曲线拟合。

 

数据点：

旋转| X |是

一个 | 2.41 | 2.41 846.8692
一个 | 0.93 | 0.93 77.043
一个 | 1.37 | 1.37 155.2193
一个 | 1.96 | 1.96 390.4639

 

我不想使用柔性样条线来绘制这条线，但我想强制贝塞尔曲线。 我希望这是有道理的。

谢谢

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你想做什么？

 

这维基百科文章相当不错。 控制点通常不在贝塞尔曲线上。

JMP 可以将样条线拟合到一组点，并为您提供一个滑块来设置样条线的刚度。

this spline is very stiffthis spline is very stiff这个样条线非常僵硬

编辑：标题不好！ 不是很僵硬！

另见如何查看用于样条的方程？和三次样条回归和图形生成器中的平滑线是如何确定的

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嗨克雷格，

 

我试图理解 path() 函数和移动点、控制点、贝塞尔点。

从我掌握的数据来看，我有以下四点

点=
[ 0.93 77.04 1,
1.37 155.22 0,
1.96 390.46 0,
2.41 846.87 3];

 

当我将其放入路径函数中时，我在点 1 和点 4 之间得到一条线，但它没有经过点 2 和点 3。 我错过了什么吗？

 

谢谢。

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多个答案，取决于您需要做什么。 这里有一些。

 

对于 2D 图形，您可以使用路径函数。 您无法通过搜索 Bezier 找到它，因为脚本索引将其拼写为 Bézier。 尝试搜索 zier。@XanGregg @sheila_loring

此示例使用可拖动手柄扩展了脚本索引示例。

// initial data; points 3 and 5 are not initially constrained about point 4
points = [
10 10 1,// move-to
30 70 0,// control point
40 10 0,// control point
50 40 3,// bezier
60 60 0,// control point
70 20 0,// control point
90 10 3 // bezier
];

// moving a square handle will call this function to 
// copy the handle coordinates to the matrix
setpoint = Function( {index, x, y}, // parameters
 {angle, distance}, // local variables
 // copy to the matrix
 points[index, 1] = x; 
 points[index, 2] = y;
 // 3 and 5 are constrained about 4, comment out to see why...
 // if the angles don't match, it isn't smooth
 If( index == 3 | index == 5,
  other = If( index == 3, 5, 3 ); // if I'm 3, he must be 5, etc
  // trig in radians, 2*pi is 360
  // atan does all 4 quadrants with 2 arguments
  angle = ATan( points[index, 2] - points[4, 2], points[index, 1] - points[4, 1] );
  // maintain other's distance
  distance = Sqrt( (points[other, 2] - points[4, 2]) ^ 2 + (points[other, 1] - points[4, 1]) ^ 2 );
  // fix other's angle to match my angle, but opposite me
  points[other, 1] = points[4, 1] + distance * Cos( angle + Pi() );
  points[other, 2] = points[4, 2] + distance * Sin( angle + Pi() );
 );
 // redraw
 gb << inval;
);
New Window( "Example",
 gb = Graph Box(
  Fill Color( "blue" );
  // there is no good shortcut for creating handles; the JSL holds the instances
  Handle( points[1, 1], points[1, 2], setpoint( 1, x, y ) );
  Handle( points[2, 1], points[2, 2], setpoint( 2, x, y ) );
  Handle( points[3, 1], points[3, 2], setpoint( 3, x, y ) );
  Handle( points[4, 1], points[4, 2], setpoint( 4, x, y ) );
  Handle( points[5, 1], points[5, 2], setpoint( 5, x, y ) );
  Handle( points[6, 1], points[6, 2], setpoint( 6, x, y ) );
  Handle( points[7, 1], points[7, 2], setpoint( 7, x, y ) );
  // construction lines
  Pen Color( "red" );
  Line( {points[1, 1], points[1, 2]}, {points[2, 1], points[2, 2]} );
  Line( {points[3, 1], points[3, 2]}, {points[4, 1], points[4, 2]} );
  Line( {points[4, 1], points[4, 2]}, {points[5, 1], points[5, 2]} );
  Line( {points[6, 1], points[6, 2]}, {points[7, 1], points[7, 2]} );
  // the bezier
  Pen Color( "black" );
  Path( points );
 )
);

我意识到我还应该限制移动点 4 来拖动点 3 和 5。 （没做过，应该很容易。）

Bezier control pointsBezier control points贝塞尔曲线控制点

 

也许您需要样条线。 我不确定脚本索引中样条曲线、p 样条曲线、b 样条曲线之间的区别是什么。 我用了样条线HeatColor、样条线、插值制作这条曲线

spline coef, spline evalspline coef, spline eval样条系数、样条评估

 

JMP 的 3D OpenGL 支持中还支持贝塞尔样条线： https://www.jmp.com/support/help/14-2/bezier-curves.shtml这可能有助于绘制曲面。 一个糟糕的例子隐藏在快速傅里叶变换视频

 

很棒的帖子@杜安·海耶斯了解三次样条

 

我一路上遇到的一件事： https://www.tinaja.com/glib/bezconn.pdf