分布フィッティングに関して言えば、 「分布」と「生命分布」の間には二分法があると感じるかもしれません。 Life Distribution は信頼性の問題のみを対象としており、 Distribution はその他すべてを対象としていると考えるかもしれません。 Life Distribution は、累積分布関数の適合に重点を置いて、信頼性と生存に合わせて調整されていますが、 Distributionで利用可能な分布が不足している状況でも使用できます。 Life Distributionを使用するコンテキストに関係なく、それに含まれるディストリビューションと、それらがどのように適用されるかについて少し知っておくと役立ちます。
最初は、Life Distribution には選択肢が豊富にあるため、圧倒されるように感じるかもしれません。幸いなことに、利用可能な 23 の分布 (および分布の混合を作成する機能) のうち、基本的な分布はNormal 、 Logistic 、 SEV (最小極値)、 LEV (最大極値)、およびGenGamma (一般化ガンマ) の 5 つだけです。残りの 18 の分布は、これらの基本的な 5 つの分布から導き出すことができます。まず、各基本分布には対数補数があり、それぞれLognormal 、 Loglogistic 、 Weibull 、 Fréchet 、およびLogGenGammaです。対数の補数に適合するデータは、データ値の (自然) 対数を取得することによって、非対数の先行データに変換できます。次に、 LogGenGammaを除くすべての対数分布には、しきい値境界 ( TH Lognormal 、 TH Loglogistic 、 TH Weibull 、およびTH Fréchet )、ゼロ ( ZI Lognormal 、 ZI Loglogistic 、 ZI Weibull 、およびZI Fréchet ) を考慮する 3 つの特殊なケースがあります。 ) 、および (単一の) 欠陥のある部分母集団 ( DS Lognormal 、 DS Loglogistic 、 DS Weibull 、およびDS Fréchet )。混合は、 「混合の適合」および「競合リスク混合の適合」を使用して、 GenGammaを除く任意の基本 5 とその対数補数で作成できます。最後に、唯一のホールドアウトであるExponential は、ワイブルの特殊なケースです。この投稿では、基本的な分布とその補足について説明し、特殊な場合と混合については別の機会に残します。
極値分布は、モデルの最小値 (SEV) と最大値 (LEV) への分布を追求して導出されました。 1954 年、後に NIST (国立標準技術研究所) となる国家標準局は、エミール ガンベルによる一連の講義に基づいた歴史的に重要な文書、 「極値の統計理論といくつかの実践的応用」を出版しました。これは、極値理論の初期の成文化を示しています。 ここからダウンロードできます。 SEV 分布はガンベル分布としても知られています。
SEV と LEV はどちらもパラメーター値によっては負になる可能性があるため、厳密に正の量をモデル化する場合には望ましくありません。 SEV の興味深い特性は、観測値の大部分が平均を上回っている (つまり、中央値が平均より大きい) という偏りを残していることです。これは、左端の観測値を使用したデータのモデリングに役立ちます。
例 1 – 年間最低気温、テキサス州オースティン。
毎日の極端な気温を含む気象データは、 米国海洋大気庁 (NOAA)から世界中の多数の気象観測所にダウンロードできます。次のデータ セットは、Global Historical Climatology Network – Daily data set から取得したもので、1893 年から 2022 年までテキサス州オースティンで観測された年間最低気温が含まれています。元のデータは 2 つの観測点から取得されました: GHCND:USC00410420 (米国テキサス州オースティン) 、1893 – 1938）およびGHCND:USW00013958（米国テキサス州オースティンキャンプメイブリー、1939 – 2022）。
ヒストグラムと歪度の値は、データが歪んだままであることを示します。
[すべての分布に適合]を使用すると、 SEV が最適な適合を提供することが表示されます。
これらの分布のいずれかに関する仮定は、観測値が独立しているということです。年次データを使用すると、隣接する月は離れた月よりも類似していることが予想されるため、毎月の極端な値で発生するシリアル相関が改善されます。このタイプのデータには、都市化や気候変動などの追加の要因も影響して、観測値の独立性が低下する可能性があります。
例 2 – 室内最速のマイル走行タイムの推移
データはウィキペディアで見ることができます（IAAF以前の男子インドアおよびIAAF時代の男子インドアの下）。特大トラック上のグレン・カニンガムの観察は削除されました。 [時間] 列のデータのみが使用されました。結果は、LEV が最も優れており、 Lognormal が僅差で 2 位であることを示しています。
配信プラットフォームが使用されていた場合、 LEV は見逃されていたでしょう。 AICc 、 BIC 、および-2*LogLikelihoodの値が 2 つのプラットフォーム間で一致し、直接比較が可能であることに注目してください。
例 3 – 年間最大連続雨の降らない日、テキサス州オースティン (1927 – 2022)
このデータも NOAA からのものです。例 1 と同じ観測点と日付は 1927 年から始まるデータでした。前の例と同様に、配電プラットフォームと生命配電プラットフォームの両方を考慮します。寿命分布は、最適な適合を提供する対数一般化ガンマを示し、次にフレシェが続きます。 SHASH ( Sinh-ArcSinh )は、 Distributionからの最も適合する分布です。 AICcに基づくと、適合性の点では他の 2 つに近いものの、全体で 3 番目に優れたものになります。一般的な経験則では、3 ～ 5 単位未満の間隔は異なるものとみなされないため、これら 3 つの分布のいずれかを考慮できます。
前述したように、フレシェ分散観測のログは LEV 分散されます。これは、 Max(最後の雨からの日数)のログを取得し、寿命分布を使用することで確認できます。
一般化ガンマ ( GenGamma ) と対数一般化ガンマ ( LogGenGamma ) には、ロジスティックおよび対数ロジスティックを除くすべての基本分布とその対数補数が含まれています。指数関数、ワイブル関数、フレシェ関数、および対数正規分布は一般化ガンマの特殊なケースであり (ガンマも[Distribution]で見つけることができます)、SEV、LEV、および正規化は対数一般化ガンマの特殊なケースです。どちらの一般化分布にも、それらが含む分布より 1 つ多い 3 番目のパラメーターが含まれています。一般化ガンマと対数一般化ガンマは、このパラメータ (λ) が 1 (SEV/ワイブル)、0 (正規/対数正規)、または -1 (LEV/フレシェ) に等しい場合に特殊なケースに戻ります。
一般化分布によってどのような柔軟性が追加されるかを理解するために、λ のみを変化させたときの形状を観察できます。一般化されたガンマから始めます。 𝛍 = 1 および σ = 0.25 に設定すると、フレシェ分布、対数正規分布、ワイブル分布が次のようになります (それぞれ λ = –1、0、0)。確率密度は左側に、累積分布は右側にあります。
ピーク (モード) はほぼ同じ位置にあります。 λ の絶対値を大きくすると、分布が広がります (つまり、ピークが少なくなり、累積分布の成長が遅くなります)。 λ が正になるにつれて、データは右にシフトします (値が高くなる確率が高くなります)。 λ を小さくするとその逆が起こり、分布の右側により多くの観測値が集中します。
対数一般化ガンマ ファミリの分布も同様のパターンに従います。法線 (λ = 0) が最もピークになっています (そして唯一の対称メンバーです)。 λ が 0 から減少するにつれて、分布はより右に偏るようになります (つまり、観測値の集中が左にシフトし、尾部が右に移動します)。 λ が 0 から増加すると、その逆が当てはまります。
例 4 – 1800 年以降の大地震マグニチュードの分布
米国地質調査所 (USGS) は、 世界中の地震データをダウンロードできるようにしています。 1803 年以来、世界中で 1,506 回の大地震（マグニチュード 7.0 以上）が発生しています。次の大地震がマグニチュード 8.0 以上になる確率はどれくらいですか?
Life Distributionに最もよく適合するのは、対数一般化ガンマです。 Distribution Profilerを使用すると、マグニチュード 8.0 以上の地震の確率は 0.064332 (1 – 0.935668) になります。 Distributionを使用してデータを近似した場合、最良の近似はSHASHになりますが、かなり悪い近似になります (AICc: 188.1 vs. 67.8)。
では、なぜわざわざ特殊なケースを扱うのでしょうか?理由はいくつかあります。まず、人々はワイブル分布や対数正規分布などの標準分布に慣れています。第 2 に、ラムダの大きさが大きくなるにつれて、一般化分布をデータに当てはめる際に不安定性が生じる可能性があります。さらに、JMP は λ を –12 ～ 12 の間に制限します。パラメータ値が限界に近いか限界にある場合、信頼区間が広すぎる可能性があります。
例 4 – カリフォルニアでの次の大地震の予測
次の大地震がカリフォルニアでいつ発生するかを予測することに興味があるとします。 1803 年以来、このような地震が 18 回発生しており、最後に発生したのは 2019 年 7 月 6 日です。今後 2 年間に大地震が発生する確率はどれくらいですか? 5年？
Life Distributionを使用した上位 2 つのフィッティング分布は、一般化ガンマと指数分布です。両者の差は約 3 単位 (AICc) です。 Distributionを使用して指数関数を見つけることもできましたが、質問に答えるにはさらに多くの作業が必要になったでしょう。一般化ガンマを使用する場合、分布プロファイラーを使用して、2 年間と 5 年間のそれぞれ 0.195 と 0.339 の確率を取得できます。残念ながら、これらは単なる点推定値にすぎません。代わりに上位95パーセンタイルの信頼区間 (CI) が必要な場合は、少し問題に遭遇します。どちらの場合も、確率は 1 です。広い CI は、境界 (λ = 12) の 1 つで推定値を持つ一般化ガンマ分布によるものと考えられます。この場合、代わりに指数分布を使用すると、2 年間では点推定値 0.157 と上側信頼区間 0.24 が得られ、5 年間では点推定値 0.337 と上側信頼区間 0.484 が得られます。
この投稿の締めくくりとして、2 つの対称分布、正規分布とロジスティック分布、およびそれらの対数補数について話しましょう。ほとんどの人は、正規分布と対数正規分布についてよく知っているはずです。これらはどちらもDistributionで入手できます。残りの 2 つ、ロジスティックとログ ロジスティックに焦点を当てましょう。ロジスティック分布では、正規分布よりも多くの観測値が裾に集中します。これは、標準値で予測されるよりも極端な値の観測値が多い場合に役立ちます。以下は、𝛍 = 0 および σ = 1 の両方での正規分布とロジスティック分布の比較です。
例 5 – テキサス州オースティンの過去の月平均最高気温からの月ごとの偏差
これは、1893 年から始まった上記と同じ一連のデータです。6 か月は、その月の毎日の観測値の半分未満だったため削除されました (3/1894、6/1894、11/1894、9/1900、11/ 1922年、1924年8月）。 Distributionを使用してデータを近似すると、 SHASHが最適であることがわかり、上位 4 つ、場合によっては 5 つが互換的に使用できるほど近いものになっています。通常のものはこのグループにありません。
Normal 2 Mixture が非常にうまく適合していることは、最初は奇妙に見えるかもしれません。パラメーターの推定値を見ると、何が起こっているかについての洞察が得られます。 2 つの分布の平均は十分に近く、標準偏差は十分に異なるため、より重い裾を持つ単峰分布が示唆されます。 Student's tのパフォーマンスがこれを裏付けています。
あるいは、 Life Distribution を使用すると、ロジスティックが最適に適合します。これは単峰性と対称性の両方を備えているという点で魅力的であり、平均からの偏差が予想されるかもしれません。近似はStudent の tよりも約 1 単位以内、 SHASHよりもわずかに劣りますが、約 2 単位以内ですが、どちらよりも必要なパラメーターは少なくなります。
今のところはそれで十分です。次回の投稿では、これらのディストリビューションの特殊なバージョンについて説明します。
