当谈到分布拟合时，您可能会觉得分布和寿命分布之间存在二分法。您可能认为寿命分布严格适用于可靠性问题，而分布则适用于其他所有问题。虽然寿命分布是针对可靠性和生存而定制的，重点是拟合累积分布函数，但它也可以用于分布中可用分布不足的情况。无论您在什么环境下使用Life Distribution ，了解一些它包含的分布以及如何应用它们都会很有帮助。
最初，由于选择太多，生命分布可能会让人感到不知所措。幸运的是，在 23 种可用分布（加上创建分布混合的能力）中，只有 5 种基本分布：正态分布、逻辑分布、 SEV （最小极值）、 LEV （最大极值）和GenGamma （广义伽玛）。其余 18 个分布可以从这五个基本分布中推导出来。首先，每个基本分布都有一个对数补数：分别为Lognormal 、 Loglogistic 、 Weibull 、 Fréchet和LogGenGamma 。通过取数据值的（自然）对数，可以将符合对数补数的数据转换为其非对数前身数据。其次，所有对数分布（除了LogGenGamma ）都具有三种特殊情况来解释阈值边界（ TH Lognormal 、 TH Loglogistic 、 TH Weibull和TH Fréchet ）、零（ ZI Lognormal 、 ZI Loglogistic 、 ZI Weibull和ZI Fréchet ） )和（单个）缺陷亚群（ DS Lognormal 、 DS Loglogistic 、 DS Weibull和DS Fréchet ）。可以使用任何基本五项及其对数补集创建混合，但GenGamma除外，使用“拟合混合”和“拟合竞争风险混合” 。最后，唯一的坚持者指数是威布尔的一个特例。在这篇文章中，我将讨论基本分布及其补充，将特殊情况和混合分布留到另一个时间。
极值分布是为了追求模型最小值 (SEV) 和最大值 (LEV) 的分布而导出的。 1954 年，国家标准局（后来的 NIST）根据 Emil Gumbel 的一系列讲座发布了一份具有历史意义的重要文件《极值统计理论和一些实际应用》 。它提出了极值理论的早期编纂。 你可以在这里下载。 SEV 分布也称为 Gumbel 分布。
SEV 和 LEV 都可以为负值，具体取决于参数值，因此不适合对严格的正量进行建模。 SEV 的一个有趣特征是它是左偏的，其中大多数观测值都落在平均值之上（即中位数大于平均值）。它对于具有极左尾观察的数据建模非常有用。
示例 1 – 德克萨斯州奥斯汀的年最低气温。
可以从美国国家海洋和大气管理局 (NOAA)下载世界各地大量气象站的天气数据，包括每日极端温度。以下数据集来自全球历史气候网络 - 每日数据集，包含 1893 年至 2022 年德克萨斯州奥斯汀观测到的每年最低气温。原始数据来自两个站点：GHCND:USC00410420（Austin, TX US） ，1893 – 1938）和 GHCND：USW00013958（美国德克萨斯州奥斯汀营马布里，1939 – 2022）。
直方图和偏度值显示数据左偏。
使用“拟合所有分布”可显示SEV提供最佳拟合。
任何这些分布的假设都是观察结果是独立的。使用年度数据可以改善每月极端情况下出现的序列相关性，因为您会期望相邻月份比相隔较远的月份更相似。其他因素也可能会影响此类数据，从而降低观测的独立性，例如城市化和气候变化。
示例 2 – 最快室内英里跑步时间的进展
数据可以在维基百科中找到（根据国际田联之前的男子室内赛和国际田联男子室内赛时代）。格伦·坎宁安 (Glenn Cunningham) 在超大轨道上的观察已被删除。仅使用时间列下的数据。结果显示LEV最好，对数正态分布非常接近，位居第二。
如果使用分销平台， LEV就会被错过。请注意， AICc 、 BIC和-2*LogLikelihood值在两个平台上匹配，从而可以进行直接比较。
示例 3 – 一年中最大连续无雨天数，德克萨斯州奥斯汀（1927 年 – 2022 年）
该数据也来自 NOAA。示例 1 中的相同站点和日期均使用 1927 年开始的数据。与前面的示例一样，我们将考虑Distribution和Life Distribution平台。寿命分布显示Log Generalized Gamma可提供最佳拟合，其次是Fréchet 。 SHASH ( Sinh-ArcSinh )是Distribution中的最佳拟合分布。根据AICc ，它总体上排名第三，尽管在适合度方面接近其他两个。一般经验法则是，任何小于 3-5 个单位的值都不会被视为不同，因此我们可以考虑这三个分布中的任何一个。
如上所述，Fréchet 分布观测值的对数是 LEV 分布的。我们可以通过记录Max（自上次下雨以来的天数）并使用Life Distribution来看到这一点。
广义伽玛 ( GenGamma ) 和对数广义伽玛 ( LogGenGamma ) 包含除 Logistic 和 Logistic 之外的所有基本分布及其对数补集。指数、Weibull、Fréchet 和对数正态是广义伽玛的特殊情况（伽玛也是如此，可以在分布下找到），SEV、LEV 和正态是对数广义伽玛的特殊情况。两个广义分布都包含第三个参数，比它们包含的分布多一个。当此参数 (λ) 等于 1 (SEV/Weibull)、0 (正态/对数正态) 或 –1 (LEV/Fréchet) 时，广义伽玛和对数广义伽玛会减少到其特殊情况。
为了了解广义分布增加的灵活性，我们可以观察仅 λ 变化时它们的形状。我们将从广义伽玛开始。设置𝛍 = 1 和 σ = 0.25，这里是 Fréchet、对数正态和 Weibull 分布（分别为 λ = –1、0、0）。左边是概率密度，右边是累积分布。
峰值（众数）大致位于相同位置。增加 λ 的绝对大小会扩展分布（即，峰值变得不那么明显，并且累积分布增长得更慢）。随着 λ 变得更正，数据向右移动（更高值的可能性更大）。减小 λ 会起到相反的作用，将更多观测值集中在分布的右侧。
对数广义伽马族的分布遵循类似的模式。法线 (λ = 0) 是最高峰的（也是唯一的对称成员）。随着 λ 从 0 减小，分布变得更加右偏（即，观测值集中向左移动，尾部向右移动）。当 λ 从 0 开始增加时，情况正好相反。
示例 4 – 1800 年以来主要地震震级分布
美国地质调查局 (USGS) 提供全球地震数据供下载。自1803年以来，全世界已发生1,506次大地震（7.0级或以上）。下一次大地震为 8.0 级或以上的概率是多少？
最适合寿命分布的是对数广义伽玛。使用分布刻画器，发生 8.0 级或以上地震的概率为 0.064332 (1 – 0.935668)。如果我们使用Distribution拟合数据，那么我们的最佳拟合将是SHASH ，这是一个相当差的拟合（AICc：188.1 vs. 67.8）。
那么为什么要为特殊情况烦恼呢？有几个原因。首先，人们更熟悉威布尔和对数正态分布等标准分布。其次，随着 lambda 幅度变大，将广义分布拟合到数据可能会不稳定。此外，JMP 将 λ 限制在 –12 和 12 之间。对于接近或处于极限的参数值，置信区间可能会过宽。
示例 4 – 预测加利福尼亚州下一次大地震
假设我们有兴趣预测加利福尼亚州下一次大地震何时发生。自1803年以来，已发生18次此类事件，最后一次发生在2019年7月6日。未来两年发生大地震的概率是多少？ 5年？
使用寿命分布的前 2 个拟合分布是广义伽玛分布和指数分布。两者之间的差异约为三个单位（AICc）。我们本可以使用分布并找到指数，但回答这些问题需要更多的工作。如果我们使用广义伽玛，我们可以使用分布刻画器分别获得两年和五年的概率为 0.195 和 0.339。不幸的是，这些只是点估计。如果我们想要上面 95个百分位数的置信区间 (CI)，我们就会遇到一些问题。在这两种情况下，概率均为 1。宽置信区间可能是由于广义伽马分布在其边界之一 (λ = 12) 处具有所有估计值。在本例中，如果我们改用指数分布，则两年的点估计值为 0.157，置信区间上限为 0.24；五年的点估计值为 0.337，置信区间上限为 0.484。
为了总结这篇文章，我们来讨论一下两种对称分布：正态分布和逻辑分布，以及它们的对数补集。大多数人应该熟悉正态分布和对数正态分布，它们都可以在Distribution下找到。让我们关注另外两个，物流和日志物流。逻辑分布在其尾部集中了比正态分布更多的观测值。当极端情况下的观测值多于正常情况下的预测值时，这会很有帮助。下面是 𝛍 = 0 和 σ = 1 时正态分布和逻辑分布的比较。
示例 5 – 与历史平均每月高温的月度偏差，德克萨斯州奥斯汀
这与上面的数据系列相同，从 1893 年开始。六个月已被删除，因为它们的每日观测值少于该月的一半（3/1894、6/1894、11/1894、9/1900、11/ 1922 年，8/1924）。将数据与分布进行拟合表明SHASH是最佳拟合，前四个（可能是前五个）足够接近，可以互换使用。正常人不属于这一组。
Normal 2 Mixture 拟合得如此之好，一开始可能看起来很奇怪。查看参数估计值可以深入了解正在发生的情况。两个分布的均值足够接近，并且标准差足够不同，表明具有较重尾部的单峰分布。 Student t 的表现支持了这一点。
或者，使用寿命分布会导致Logistic具有最佳拟合。这是很有吸引力的，因为它既是单峰的又是对称的，人们可能会期望它与平均值存在偏差。虽然拟合度略低于Student t（约 1 个单位）和SHASH （约 2 个单位），但它需要的参数比这两者都少。
现在就够了。在下一篇文章中，我将讨论这些发行版的专用版本。
