當涉及分佈擬合時，您可能會覺得分佈和壽命分佈之間存在二分法。您可能認為壽命分佈嚴格適用於可靠性問題，而分佈則適用於其他所有問題。雖然壽命分佈是針對可靠性和生存而定制的，重點是擬合累積分佈函數，但它也可以用於分佈中可用分佈不足的情況。無論您在什麼環境下使用Life Distribution ，了解一些它包含的分佈以及如何應用它們都會很有幫助。
最初，由於選擇太多，生命分佈可能會讓人感到不知所措。幸運的是，在 23 種可用分佈（加上創建分佈混合的能力）中，只有 5 種基本分佈：常態分佈、邏輯分佈、 SEV （最小極值）、 LEV （最大極值）和GenGamma （廣義伽瑪）。其餘 18 個分佈可以從這五個基本分佈推導出來。首先，每個基本分佈都有一個對數補數：分別為Lognormal 、 Loglogistic 、 Weibull 、 Fréchet和LogGenGamma 。透過取資料值的（自然）對數，可以將符合對數補數的資料轉換為其非對數前身資料。其次，所有對數分佈（除了LogGenGamma ）都具有三種特殊情況來解釋閾值邊界（ TH Lognormal 、 TH Loglogistic 、 TH Weibull和TH Fréchet ）、零（ ZI Lognormal 、 ZI Loglogistic 、 ZI Weibull和ZI Fréchet ） )和（單一）缺陷亞群（ DS Lognormal 、 DS Loglogistic 、 DS Weibull和DS Fréchet ）。可以使用任何基本五項及其對數補集來建立混合，但GenGamma除外，使用「擬合混合」和「擬合競爭風險混合」 。最後，唯一的堅持者指數是威布爾的一個特例。在這篇文章中，我將討論基本分佈及其補充，將特殊情況和混合分佈留到另一個時間。
極值分佈是為了追求模型最小值 (SEV) 和最大值 (LEV) 的分佈而導出的。 1954 年，國家標準局（後來的 NIST）根據 Emil Gumbel 的一系列講座發布了一份具有歷史意義的重要文件《極值統計理論和一些實際應用》 。它提出了極值理論的早期編纂。 你可以在這裡下載。 SEV 分佈也稱為 Gumbel 分佈。
SEV 和 LEV 都可以為負值，這取決於參數值，因此不適合對嚴格的正量進行建模。 SEV 的一個有趣特徵是它是左偏的，其中大多數觀測值都落在平均值之上（即中位數大於平均值）。它對於具有極左尾觀察值的資料建模非常有用。
範例 1 – 德州奧斯汀的年最低氣溫。
可從美國國家海洋暨大氣總署 (NOAA)下載世界各地大量氣象站的天氣數據，包括每日極端溫度。以下資料集來自全球歷史氣候網路 - 每日資料集，包含 1893 年至 2022 年德州奧斯汀觀測到的每年最低氣溫。原始資料來自兩個站點：GHCND:USC00410420（Austin, TX US） ， 1893 – 1938）和GHCND：USW00013958（美國德州奧斯汀營馬布里，1939 – 2022）。
直方圖和偏度值顯示資料左偏。
使用“擬合所有分佈”可顯示SEV提供最佳擬合。
任何這些分佈的假設都是觀察結果是獨立的。使用年度資料可以改善每月極端情況下出現的序列相關性，因為您會期望相鄰月份比相隔較遠的月份更相似。其他因素也可能影響此類數據，從而降低觀測的獨立性，例如城市化和氣候變遷。
範例 2 – 最快室內英里跑步時間的進展
數據可以在維基百科中找到（根據國際田徑總會之前的男子室內賽和國際田徑總會男子室內賽時代）。格倫·坎寧安 (Glenn Cunningham) 在超大軌道上的觀察已被刪除。僅使用時間列下的資料。結果顯示LEV最好，對數常態分佈非常接近，位居第二。
如果使用分銷平台， LEV就會被錯過。請注意， AICc 、 BIC和-2*LogLikelihood值在兩個平台上匹配，從而可以進行直接比較。
範例 3 – 一年中最大連續無雨天數，德州奧斯汀（1927 年 – 2022 年）
該數據也來自 NOAA。範例 1 中的相同網站和日期均使用 1927 年開始的資料。與前面的範例一樣，我們將考慮Distribution和Life Distribution平台。壽命分佈顯示Log Generalized Gamma可提供最佳擬合，其次是Fréchet 。 SHASH ( Sinh-ArcSinh )是Distribution中的最佳擬合分佈。根據AICc ，它總體上排名第三，儘管在適合度方面接近其他兩個。一般經驗法則是，任何小於 3-5 個單位的值都不會被視為不同，因此我們可以考慮這三個分佈中的任何一個。
如上所述，Fréchet 分佈觀測值的對數是 LEV 分佈的。我們可以透過記錄Max（自上次下雨以來的天數）並使用Life Distribution來看到這一點。
廣義伽瑪 ( GenGamma ) 和對數廣義伽瑪 ( LogGenGamma ) 包含 Logistic 和 Logistic 以外的所有基本分佈及其對數補集。指數、Weibull、Fréchet 和對數常態是廣義伽瑪的特殊情況（伽瑪也是如此，可以在分佈下找到），SEV、LEV 和常態是對數廣義伽瑪的特殊情況。兩個廣義分佈都包含第三個參數，比它們所包含的分佈多一個。當此參數 (λ) 等於 1 (SEV/Weibull)、0 (常態/對數常態) 或 –1 (LEV/Fréchet) 時，廣義伽瑪和對數廣義伽瑪會減少到其特殊情況。
為了了解廣義分佈增加的靈活性，我們可以觀察僅 λ 變化時它們的形狀。我們將從廣義伽瑪開始。設定𝛍 = 1 和 σ = 0.25，這裡是 Fréchet、對數常態和 Weibull 分佈（分別為 λ = –1、0、0）。左邊是機率密度，右邊是累積分佈。
峰值（眾數）大致位於相同位置。增加 λ 的絕對大小會擴展分佈（即，峰值變得不那麼明顯，累積分佈增長得更慢）。隨著 λ 變得更正，資料向右移動（更高值的可能性更大）。減少 λ 會起到相反的作用，將更多觀測值集中在分佈的右側。
對數廣義伽瑪族的分佈也遵循類似的模式。法線 (λ = 0) 是最高峰的（也是唯一的對稱成員）。隨著 λ 從 0 減小，分佈變得更右偏（即，觀測值集中向左移動，尾部向右移動）。當 λ 從 0 開始增加時，情況正好相反。
範例 4 – 1800 年以來主要地震震級分佈
美國地質調查局 (USGS) 提供全球地震資料供下載。自1803年以來，全世界已發生1,506次大地震（7.0級或以上）。下一次大地震為 8.0 級或以上的機率是多少？
最適合壽命分佈的是對數廣義伽瑪。使用分佈刻畫器，發生 8.0 級或以上地震的機率為 0.064332 (1 – 0.935668)。如果我們使用Distribution來擬合數據，那麼我們的最佳擬合將是SHASH ，這是一個相當差的擬合（AICc：188.1 vs. 67.8）。
那為什麼要為特殊情況煩惱呢？有幾個原因。首先，人們更熟悉威布爾和對數常態分佈等標準分佈。其次，隨著 lambda 幅度變大，將廣義分佈擬合到資料可能會不穩定。此外，JMP 將 λ 限制在 –12 和 12 之間。對於接近或處於極限的參數值，信賴區間可能會過寬。
範例 4 – 預測加州下一次大地震
假設我們有興趣預測加州下一次大地震何時發生。自1803年以來，已發生18次此類事件，最後一次發生在2019年7月6日。未來兩年發生大地震的機率是多少？ 5年？
使用壽命分佈的前 2 個擬合分佈是廣義伽瑪分佈和指數分佈。兩者之間的差異約為三個單位（AICc）。我們本可以使用分佈並找到指數，但回答這些問題需要更多的工作。如果我們使用廣義伽瑪，我們可以使用分佈刻畫器分別獲得兩年和五年的機率為 0.195 和 0.339。不幸的是，這些只是點估計。如果我們想要上面 95個百分位數的置信區間 (CI)，我們就會遇到一些問題。在這兩種情況下，機率均為 1。寬置信區間可能是由於廣義伽瑪分佈在其邊界之一 (λ = 12) 處具有所有估計值。在本例中，如果我們改用指數分佈，則兩年的點估計值為 0.157，信賴區間上限為 0.24；五年的點估計值為 0.337，信賴區間上限為 0.484。
為了總結這篇文章，讓我們來討論一下兩種對稱分佈：常態分佈和邏輯分佈，以及它們的對數補集。大多數人應該熟悉常態分佈和對數常態分佈，它們都可以在Distribution下找到。讓我們專注於另外兩個，物流和日誌物流。邏輯分佈在其尾部集中了比常態分佈更多的觀測值。當極端情況下的觀測值多於正常情況下的預測值時，這會很有幫助。下面是 𝛍 = 0 和 σ = 1 時常態分佈和邏輯分佈的比較。
範例 5 – 與歷史平均每月高溫的月度偏差，德克薩斯州奧斯汀
這與上面的資料系列相同，從1893 年開始。六個月已被刪除，因為它們的每日觀測值少於該月的一半（3/1894、6/1894、11/1894、9/1900、 11/ 1922 年，8/1924）。將數據與分佈進行擬合表明SHASH是最佳擬合，前四個（可能是前五個）足夠接近，可以互換使用。正常人不屬於這一組。
Normal 2 Mixture 擬合得如此之好，一開始可能看起來很奇怪。查看參數估計值可以深入了解正在發生的情況。兩個分佈的平均值足夠接近，且標準差足夠不同，表示具有較重尾部的單峰分佈。 Student t 的表現支持了這一點。
或者，使用壽命分佈會導致Logistic具有最佳擬合。這是很有吸引力的，因為它既是單峰的又是對稱的，人們可能會期望它與平均值有偏差。雖然擬合度略低於Student t（約 1 個單位）和SHASH （約 2 個單位），但它需要的參數比這兩者都少。
現在就足夠了。在下一篇文章中，我將討論這些發行版的專用版本。
