En ce qui concerne l'ajustement de la distribution, vous pourriez avoir l'impression qu'il existe une dichotomie entre la distribution et la distribution à vie . Vous pensez peut-être que Life Distribution est strictement destiné aux problèmes de fiabilité et Distribution à tout le reste. Bien que Life Distribution soit adaptée à la fiabilité et à la survie, en mettant l'accent sur l'ajustement des fonctions de distribution cumulative, elle peut également être utilisée dans des situations où les distributions disponibles dans Distribution sont insuffisantes. Quel que soit le contexte dans lequel vous utilisez Life Distribution , il est utile d'en savoir un peu plus sur les distributions qu'elle contient et sur la manière dont elles peuvent être appliquées.
Au départ, la distribution de vie peut sembler écrasante en raison de l'abondance de choix. Heureusement, sur les 23 distributions disponibles (plus la possibilité de créer des mélanges de distributions), il n'y a que cinq distributions fondamentales : Normal , Logistic , SEV (plus petite valeur extrême), LEV (plus grande valeur extrême) et GenGamma (gamma généralisé). Les 18 distributions restantes peuvent être dérivées de ces cinq distributions fondamentales. Premièrement, chaque distribution fondamentale a un complément logarithmique : Lognormal , Loglogistic , Weibull , Fréchet et LogGenGamma , respectivement. Les données qui correspondent à un complément logarithmique peuvent être transformées en leur prédécesseur non logrithmique en prenant le log (naturel) des valeurs des données. Deuxièmement, toutes les distributions logarithmiques, à l'exception de LogGenGamma , comportent trois cas particuliers pour tenir compte des limites de seuil ( TH Lognormal , TH Loglogistic , TH Weibull et TH Fréchet ), des zéros ( ZI Lognormal , ZI Loglogistic , ZI Weibull et ZI Fréchet . ) , et (une seule) sous-population défectueuse ( DS Lognormal , DS Loglogistic , DS Weibull et DS Fréchet ). Des mélanges peuvent être créés avec n'importe quels cinq fondamentaux et leurs compléments logarithmiques, à l'exception de GenGamma en utilisant Fit Mixture et Fit Competing Risk Mixture . Enfin, le seul résistant, Exponential , est un cas particulier du Weibull . Dans cet article, je parlerai des distributions fondamentales et de leurs compléments, laissant les cas particuliers et les mélanges pour une autre fois.
Des distributions de valeurs extrêmes ont été dérivées dans le but de modéliser les valeurs minimales (SEV) et maximales (LEV). En 1954, le National Bureau of Standards, qui deviendra plus tard NIST (National Institute of Standards and Technology), publia un document historiquement important basé sur une série de conférences données par Emil Gumbel, Statistical Theory of Extreme Values and Some Practical Applications . Il présente une première codification de la théorie des valeurs extrêmes. Vous pouvez le télécharger ici . La distribution SEV est également connue sous le nom de distribution de Gumbel.
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Le SEV et le LEV peuvent être négatifs, en fonction des valeurs des paramètres, ce qui les rend indésirables pour la modélisation de quantités strictement positives. Une caractéristique intéressante du SEV est qu'il reste asymétrique, la majorité des observations se situant au-dessus de la moyenne (c'est-à-dire que la médiane est supérieure à la moyenne). Cela peut être utile pour modéliser des données avec des observations de la queue extrême gauche.
Exemple 1 – Température annuelle minimale, Austin, Texas.
Les données météorologiques, y compris les températures extrêmes quotidiennes, peuvent être téléchargées pour un grand nombre de stations météorologiques du monde entier auprès de la National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA) . L'ensemble de données suivant provient du Global Historical Climatology Network – Ensemble quotidien de données et contient la température annuelle minimale observée à Austin, Texas, de 1893 à 2022. Les données originales ont été obtenues à partir de deux stations : GHCND:USC00410420 (Austin, TX US , 1893 – 1938) et GHCND : USW00013958 (Austin Camp Mabry, Texas, États-Unis, 1939 – 2022).
L'histogramme et la valeur d'asymétrie montrent que les données restent asymétriques.
L’utilisation de Fit All Distributions montre que le SEV fournit le meilleur ajustement.
Une hypothèse avec chacune de ces distributions est que les observations sont indépendantes. L'utilisation de données annuelles améliore la corrélation en série qui se produirait avec les extrêmes mensuels, car on pourrait s'attendre à ce que les mois adjacents soient plus similaires que les mois plus éloignés. D’autres facteurs peuvent également entrer en jeu avec ce type de données rendant les observations moins indépendantes, comme l’urbanisation et le changement climatique.
Exemple 2 – Progression des temps de course en salle les plus rapides
Les données peuvent être trouvées sur Wikipédia (sous l'ère Men's Indoor Pre-IAAF et Men Indoor IAAF). L'observation de Glenn Cunningham sur la piste surdimensionnée a été supprimée. Seules les données de la colonne Heure ont été utilisées. Les résultats montrent que LEV est le meilleur avec Lognormal en deuxième position très proche.
Si la plateforme de distribution avait été utilisée, LEV aurait été manqué. Notez que les valeurs AICc , BIC et -2*LogLikelihood correspondent sur les deux plates-formes, ce qui rend possible des comparaisons directes.
Exemple 3 – Nombre maximum de jours consécutifs sans pluie dans une année, Austin, Texas (1927 – 2022)
Ces données proviennent également de la NOAA. Les mêmes stations et dates de l'exemple 1 concernaient les données commençant en 1927. Comme dans l'exemple précédent, nous considérerons à la fois les plates-formes de distribution et de distribution de vie . Life Distribution montre Log Generalized Gamma pour fournir le meilleur ajustement, suivi du Fréchet . Le SHASH ( Sinh-ArcSinh ) est la distribution la mieux adaptée de Distribution . Sur la base de l'AICc , ce serait le troisième meilleur au classement général, bien que proche des deux autres en termes d'ajustement. En règle générale, tout ce qui est espacé de moins de 3 à 5 unités n'est pas considéré comme différent, nous pouvons donc considérer n'importe laquelle de ces trois distributions.
Comme mentionné ci-dessus, le journal des observations distribuées de Fréchet est distribué LEV. Nous pouvons le voir en prenant le journal de Max (Jours depuis la dernière pluie) et en utilisant Life Distribution .
Le gamma généralisé ( GenGamma ) et le gamma généralisé log ( LogGenGamma ) contiennent toutes les distributions fondamentales et leurs compléments log à l'exception de la logistique et de la logistique log. L'exponentielle, Weibull et Fréchet et le lognormal sont des cas particuliers du gamma généralisé (tout comme le gamma, qui peut être trouvé sous Distribution ) et le SEV, LEV et la normale sont des cas particuliers du gamma généralisé log. Les deux distributions généralisées contiennent un troisième paramètre, un de plus que les distributions qu'elles contiennent. Le gamma généralisé et le log gamma généralisé se réduisent à leurs cas particuliers lorsque ce paramètre (λ) vaut 1 (SEV/Weibull), 0 (normal/lognormal), ou –1 (LEV/Fréchet).
Pour avoir une idée de la flexibilité ajoutée par les distributions généralisées, nous pouvons examiner leurs formes lorsque seul λ varie. Nous allons commencer par le gamma généralisé. En prenant 𝛍 = 1 et σ = 0,25, voici les distributions de Fréchet, lognormale et Weibull (λ = –1, 0, 0, respectivement). La densité de probabilité est à gauche et la distribution cumulative à droite.
Les pics (modes) se trouvent à peu près au même endroit. L'augmentation de la grandeur absolue de λ étend la distribution (c'est-à-dire qu'elle devient moins culminante et que la distribution cumulée croît plus lentement). À mesure que λ devient plus positif, les données se déplacent vers la droite (plus grande probabilité d'obtenir des valeurs plus élevées). Diminuer λ fait le contraire, concentrant davantage d’observations à droite de la distribution.
Les distributions pour la famille gamma généralisée log suivent un modèle similaire. La normale (λ = 0) est le membre le plus culminé (et le seul symétrique). À mesure que λ diminue à partir de 0, les distributions deviennent plus asymétriques vers la droite (c'est-à-dire que la concentration des observations se déplace vers la gauche avec la queue vers la droite). L’inverse est vrai lorsque λ augmente à partir de 0.
Exemple 4 – Répartition des magnitudes des séismes majeurs depuis 1800
L'United States Geological Survey (USGS) met à disposition en téléchargement des données sur les tremblements de terre mondiaux . Depuis 1803, il y a eu 1 506 tremblements de terre majeurs dans le monde (magnitude 7,0 ou supérieure). Quelle est la probabilité que le prochain séisme majeur soit de 8,0 ou plus ?
Le meilleur ajustement avec Life Distribution est le Log Generalized Gamma . En utilisant le Distribution Profiler , la probabilité d'un tremblement de terre de 8,0 ou plus est de 0,064332 (1 – 0,935668). Si nous avions ajusté les données à l'aide de Distribution , notre meilleur ajustement serait avec le SHASH , un ajustement considérablement moins bon (AICc : 188,1 contre 67,8).
Alors pourquoi s’embêter avec des cas particuliers ? Quelques raisons. Premièrement, les gens sont plus familiers avec les distributions standards comme Weibull et lognormale. Deuxièmement, à mesure que la magnitude de lambda augmente, il peut y avoir une instabilité dans l'ajustement de la distribution généralisée aux données. De plus, JMP limite λ entre –12 et 12. Pour les valeurs de paramètre proches ou égales à la limite, les intervalles de confiance peuvent être trop larges.
Exemple 4 – Prédire le prochain tremblement de terre majeur en Californie
Disons que nous souhaitons prédire quand le prochain tremblement de terre majeur se produira en Californie. Il y a eu 18 événements de ce type depuis 1803, le dernier remontant au 6 juillet 2019. Quelle est la probabilité d’un tremblement de terre majeur au cours des deux prochaines années ? Cinq ans?
Les deux principales distributions d'ajustement utilisant Life Distribution sont le gamma généralisé et l'exponentielle. La différence entre les deux est d’environ trois unités (AICc). Nous aurions pu utiliser la distribution et trouver l'exponentielle, mais cela aurait demandé plus de travail pour répondre aux questions. Si nous utilisons le gamma généralisé, nous pouvons utiliser le Distribution Profiler pour obtenir des probabilités de 0,195 et 0,339 pour deux et cinq ans, respectivement. Malheureusement, ce ne sont que des estimations ponctuelles. Si nous voulons plutôt l’intervalle de confiance (IC) du 95 e centile supérieur, nous nous heurtons à un petit problème. Dans les deux cas, la probabilité est de 1. Les IC larges sont probablement dus au fait que la distribution gamma généralisée a une estimation à l'une de ses limites (λ = 12). Dans ce cas, si nous utilisons plutôt la distribution exponentielle, nous obtenons une estimation ponctuelle de 0,157 et un intervalle de confiance supérieur de 0,24 pour deux ans, et une estimation ponctuelle de 0,337 et un intervalle de confiance supérieur de 0,484 pour cinq ans.
Modélisation des tremblements de terre avec la distribution gamma généralisée
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Modélisation des tremblements de terre avec la distribution gamma généralisée
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Pour conclure cet article, parlons des deux distributions symétriques, la normale et la logistique, et de leurs compléments logarithmiques. La plupart d'entre vous devraient être familiers avec la normale et le lognormal, et ils sont tous deux disponibles sous Distribution . Concentrons-nous sur les deux autres, la logistique et la logistique des logs. La distribution logistique concentre plus d'observations dans ses queues que la normale. Ceci est utile lorsqu’il y a plus d’observations dans des extrêmes que ne le prédirait la normale. Vous trouverez ci-dessous une comparaison de la normale et de la logistique avec 𝛍 = 0 et σ = 1.
Exemple 5 – Écarts mensuels par rapport aux températures élevées mensuelles moyennes historiques, Austin, Texas
Il s'agit de la même série de données que ci-dessus, commençant en 1893. Six mois ont été supprimés car ils contenaient moins de la moitié des observations quotidiennes du mois (3/1894, 6/1894, 11/1894, 9/1900, 11/ 1922, 8/1924). L'ajustement des données avec la distribution montre que SHASH est le meilleur ajustement, les quatre premiers, voire cinq, étant suffisamment proches pour être utilisés de manière interchangeable. La normale n'est pas dans ce groupe.
Le mélange Normal 2 s'adapte si bien peut sembler étrange au début. L'examen des estimations des paramètres donne un aperçu de ce qui se passe. Les moyennes des deux distributions sont suffisamment proches et les écarts types suffisamment différents pour suggérer une distribution unimodale avec des queues plus lourdes. Les performances du t de Student soutiennent cela.
Alternativement, l’utilisation de Life Distribution permet à Logistic d’avoir la meilleure adéquation. Ceci est attrayant dans la mesure où il est à la fois unimodal et symétrique, ce à quoi on pourrait s'attendre en cas d'écarts par rapport à une moyenne. Bien que l'ajustement soit légèrement inférieur au t de Student, à environ 1 unité près, et au SHASH , à environ 2 unités près, il nécessite moins de paramètres que l'un ou l'autre.
C'est suffisant pour l'instant. Dans le prochain article, je parlerai des versions spécialisées de ces distributions.
