ディストリビューション フィッティングに関しては、二分法があると感じるかもしれません。分布と生命分布. と思うかもしれません生命分布信頼性の問題を厳密に意図しており、分布他のすべてのために。 その間生命分布累積分布関数のフィッティングに重点を置いて、信頼性と生存率に合わせて調整されているため、利用可能な分布が分布及ばない。 使用しているコンテキストに関係なく生命分布に含まれるディストリビューションと、それらがどのように適用されるかについて少し知っておくと役に立ちます。
当初、ライフディストリビューション選択肢が豊富なため、圧倒されるかもしれません。 幸いなことに、利用可能な 23 のディストリビューション (およびディストリビューションの混合を作成する機能) のうち、基本的なディストリビューションは 5 つだけです。普通、物流、 SEV (最小極値)、レフ(最大極値)、およびゲンガンマ(一般化ガンマ)。 残りの 18 の分布は、これらの基本的な 5 つの分布から導き出すことができます。 まず、各基本分布には対数補数があります。対数正規、対数ロジスティック、ワイブル、フレシェ、 とLogGenGamma 、 それぞれ。 対数補数に適合するデータは、データ値の (自然) 対数を取ることによって、その非対数先行データに変換できます。 第二に、以下を除くすべての対数分布。 LogGenGammaには、しきい値の境界を説明する 3 つの特殊なケースがあります ( TH 対数正規形、 TH ロジスティック、 THワイブル、 とTH フレシェ)、ゼロ ( ZI 対数正規、 ZI ロジスティック、 ZIワイブル、 とZI フレシェ） 、および (単一の) 欠陥のある部分母集団 ( DS 対数正規、 DS ロジスティック、 DSワイブル、 とDS フレシェ）。 混合物は、基本的な 5 とその対数補数を使用して作成できます。ゲンガンマ使用して適合混合物と競合するリスク混合の適合. 最後に、唯一のホールドアウト、指数関数的、の特殊なケースですワイブル. この投稿では、基本的な分布とその補数について説明します。特殊なケースと混合物については別の機会に譲ります。
極値分布は、モデルの最小 (SEV) 値と最大 (LEV) 値への分布を追求して導出されました。 1954 年、後に NIST (国立標準技術研究所) となる全米標準局は、エミル ガンベルによる一連の講義に基づいて、歴史的に重要な文書を公開しました。極値の統計理論といくつかの実用的なアプリケーション. 極値理論の初期の体系化を提示します。 ここからダウンロードできます. SEV 分布はガンベル分布とも呼ばれます。
パラメータ値によっては、SEV と LEV の両方が負になる可能性があるため、厳密に正の量をモデル化することは望ましくありません。 SEV の興味深い特徴は、観測値の大部分が平均を上回っている (つまり、中央値が平均より大きい) 左に歪んでいることです。 これは、極端な左裾の観測を含むデータのモデル化に役立ちます。
例 1 – 年間最低気温、テキサス州オースティン。
毎日の極端な気温を含む気象データは、世界中の多数の気象観測所からダウンロードできます。米国海洋大気庁 (NOAA) . 次のデータセットは、グローバル歴史気候学ネットワーク – 毎日データのセットで、1893 年から 2022 年までにテキサス州オースティンで観測された年間最低気温が含まれています。 元のデータは、GHCND:USC00410420 (米国テキサス州オースティン、1893 – 1938) と GHCND:USW00013958 (米国テキサス州オースティン キャンプ マブリー、1939 – 2022) の 2 つの観測所から取得されました。
ヒストグラムと歪度の値は、データが左に歪んでいることを示しています。
使用するすべての分布をあてはめるを示しますSEV最高のフィット感を提供します。
これらの分布はいずれも、観測値が独立しているという前提があります。 年次データを使用すると、月極値で発生する系列相関が改善されます。これは、隣接する月が離れた月よりも類似していると予想されるためです。 このタイプのデータには、都市化や気候変動など、観測の独立性を低下させる追加の要因も関係している可能性があります。
例 2 – 最速の屋内マイル実行時間の推移
データが見つかりますウィキペディアで(男子インドア Pre-IAAF および男子インドア IAAF 時代)。 特大トラックでの Glenn Cunningham の観測は削除されました。 時間列の下のデータのみが使用されました。 結果が示すレフ一緒に最高になる対数正規非常に近い2番目。
もし分布プラットフォームが使用され、レフ見逃されたでしょう。 注意してくださいAICc 、ビック、 と-2*対数尤度値は 2 つのプラットフォーム間で一致するため、直接比較できます。
例 3 – テキサス州オースティン (1927 – 2022) における 1 年間の最大連続降雨日数
このデータも NOAA から提供されています。 例 1 と同じ測点と日付は、1927 年に始まるデータを使用していました。 前の例のように、両方を考慮します。分布と生命分布プラットフォーム。 生命分布ショー一般化ガンマの対数最適なフィット感を提供するために、フレシェ. のシャッシュ(シン-アークシン)からの最適適合分布です。分布. に基づくAICcに近いとはいえ、全体で 3 番目に優れたものになります。他の二つフィット感で。 一般的な経験則では、3 ～ 5 ユニット未満の間隔は異なるとは見なされないため、これら 3 つの分布のいずれかを考慮することができます。
前述のように、フレシェ分布観測のログは LEV 分布です。 これは、ログを取ることで確認できますMax(最後の雨からの日数)と使用生命分布.
一般化されたガンマ (ゲンガンマ) および一般化されたガンマのログ ( LogGenGamma ) には、ロジスティックと対数ロジスティックを除くすべての基本分布とその対数補数が含まれます。 指数関数、ワイブル、フレシェ、および対数正規形は、一般化されたガンマの特殊なケースです (ガンマと同様に、以下で見つけることができます)。分布)、SEV、LEV、法線は対数一般化ガンマの特殊なケースです。 両方の一般化された分布には、含まれる分布よりも 1 つ多い 3 番目のパラメーターが含まれます。 一般化ガンマと対数一般化ガンマは、このパラメーター (λ) が 1 (SEV/ワイブル)、0 (正規/対数正規)、または -1 (LEV/フレシェ) に等しい場合に特殊なケースに縮小されます。
一般化された分布がどのような柔軟性を追加するかを理解するために、λ のみが変化したときの形状を見ることができます。 一般化されたガンマから始めます。 設定𝛍 = 1 および σ = 0.25、ここにフレシェ分布、対数正規分布、およびワイブル分布があります (それぞれ λ = –1、0、0)。 左側が確率密度、右側が累積分布です。
ピーク (モード) はほぼ同じ位置にあります。 λ の絶対値を大きくすると、分布が広がります (つまり、ピークが少なくなり、累積分布の成長が遅くなります)。 λ がより正になると、データは右にシフトします (値が大きくなる可能性が高くなります)。 λ を小さくすると逆になり、分布の右側により多くの観測値が集中します。
対数一般化ガンマ族の分布は、同様のパターンに従います。 法線 (λ = 0) が最も尖っています (そして唯一の対称メンバー)。 λ が 0 から減少するにつれて、分布はより右に偏っていきます (つまり、観測の集中が左にシフトし、テールが右にシフトします)。 λ が 0 から増加すると、その逆になります。
では、なぜ特殊なケースを気にする必要があるのでしょうか。 いくつかの理由。 まず、人々はワイブルや対数正規分布などの標準的な分布に慣れています。 第 2 に、ラムダの大きさが大きくなると、一般化された分布をデータに適合させる際に不安定になる可能性があります。 さらに、JMP は λ を –12 から 12 の間に制限します。 パラメーター値が限界に近いか限界にある場合、信頼区間が過度に広くなる可能性があります。
例 4 – カリフォルニアでの次の大地震の予測
次の大地震 (リヒター スケールで 7.0 以上) がカリフォルニアでいつ発生するかを予測することに関心があるとします。 米国地質調査所 (USGS) は、地震データ利用可能。 1800 年以来、このようなイベントは 18 回あり、最後のイベントは 2019 年 7 月 6 日です。 今後 2 年間に大地震が発生する確率は? 5年？
を使用した上位 2 つのフィッティング分布生命分布一般化されたガンマと指数です。 両者の差は約3単位（AICc）。 使用できたはずです分布指数関数を見つけましたが、質問に答えるのはもっと大変だったでしょう。 一般化されたガンマを使用すると、分布プロファイラーを使用して、2 年と 5 年でそれぞれ 0.195 と 0.339 の確率を得ることができます。 残念ながら、これらは点推定にすぎません。 上位95が必要な場合番目代わりにパーセンタイル信頼区間 (CI) を使用すると、少し問題が発生します。 どちらの場合も、確率は 1 です。 幅の広い CI は、一般化されたガンマ分布がその境界の 1 つ (λ = 12) で推定値を持っているためである可能性があります。 この場合、代わりに指数分布を使用すると、2 年間で 0.157 の点推定値と 0.24 の上限信頼区間が得られ、5 年間で 0.337 の点推定値と 0.484 の上限信頼区間が得られます。
この記事のまとめとして、正規分布とロジスティック分布の 2 つの対称分布と、それらの対数補数について説明します。 あなたのほとんどは正規と対数正規に精通しているはずで、どちらも以下で利用できます分布.残りの 2 つ、ロジスティックとログ ロジスティックに注目しましょう。 ロジスティック分布では、正規分布よりも裾に多くの観測値が集中しています。 これは、正規で予測されるよりも多くの極端な観測がある場合に役立ちます。 以下は、𝛍 = 0 および σ = 1 の場合の正規分布とロジスティック分布の比較です。
例 5 – テキサス州オースティンの過去の平均月間最高気温からの月間偏差
これは、1893 年から始まる、上記と同じ一連のデータです。 6 か月は、その月 (1894 年 3 月、1894 年 6 月、1894 年 11 月、1900 年 9 月、1922 年 11 月、1924 年 8 月) の毎日の観測の半分未満だったため、削除されました。 データの当てはめ分布ショーシャッシュ上位 4 つ、場合によっては 5 つが最も適切であり、互換的に使用できるほど近いものです。 法線はこのグループにはありません。
Normal 2 Mixture フィッティングが非常にうまくいくと、最初は奇妙に思えるかもしれません。 パラメータの推定値を見ると、何が起こっているかについての洞察が得られます。 2 つの分布の平均は十分に近く、標準偏差は十分に異なっており、裾が重い単峰分布を示唆しています。 の性能学生のtこれをサポートします。
または、生命分布につながる物流最高のフィット感を持っています。 これは、単峰性と対称性の両方であるという点で魅力的です。これは、平均からの偏差で予想される可能性があります。 フィット感は若干劣りますが、学生のt、約1単位以内、およびシャッシュ、約 2 単位以内で、必要なパラメーターはどちらよりも少なくなります。
今はそれで十分です。 次の投稿では、これらのディストリビューションの特殊バージョンについて説明します。
