Cuando se trata de ajuste de distribución, es posible que sienta que existe una dicotomía entre Distribución y Distribución de vida . Puede pensar que la Distribución de vida está destinada estrictamente a problemas de confiabilidad y la Distribución a todo lo demás. Si bien Life Distribution está diseñado para brindar confiabilidad y supervivencia, con énfasis en ajustar funciones de distribución acumulativas, también se puede usar en situaciones en las que las distribuciones disponibles en Distribution son insuficientes. Independientemente del contexto en el que esté utilizando Life Distribution , es útil saber un poco sobre las distribuciones que contiene y cómo se pueden aplicar.
Inicialmente, la Distribución de Vida puede parecer abrumadora debido a la abundancia de opciones. Afortunadamente, de las 23 distribuciones disponibles (más la capacidad de crear mezclas de distribuciones) solo hay cinco distribuciones fundamentales: Normal , Logística , SEV (valor extremo más pequeño), LEV (valor extremo más grande) y GenGamma (gamma generalizada). Las 18 distribuciones restantes se pueden derivar de estas cinco fundamentales. Primero, cada distribución fundamental tiene un complemento logarítmico: Lognormal , Loglogistic , Weibull , Fréchet y LogGenGamma , respectivamente. Los datos que se ajustan a un complemento logarítmico se pueden transformar a su predecesor no logarítmico tomando el registro (natural) de los valores de los datos. En segundo lugar, todas las distribuciones logarítmicas, excepto LogGenGamma , tienen tres casos especiales para tener en cuenta los límites de los umbrales ( TH Lognormal , TH Loglogistic , TH Weibull y TH Fréchet ), ceros ( ZI Lognormal , ZI Loglogistic , ZI Weibull y ZI Fréchet) . ) y (una única) subpoblación defectuosa ( DS Lognormal , DS Loglogistic , DS Weibull y DS Fréchet ). Se pueden crear mezclas con cinco fundamentales cualesquiera y sus complementos logarítmicos, excepto GenGamma, utilizando Fit Mixture y Fit Competing Risk Mixture . Finalmente, el único obstáculo, Exponencial , es un caso especial del Weibull . En este post hablaré de las distribuciones fundamentales y sus complementos, dejando para otro momento los casos especiales y las mezclas.
Las distribuciones de valores extremos se derivaron en busca de distribuciones para modelar valores mínimos (SEV) y máximos (LEV). En 1954, la Oficina Nacional de Estándares, que más tarde se convertiría en NIST (Instituto Nacional de Estándares y Tecnología) publicó un documento de importancia histórica basado en una serie de conferencias impartidas por Emil Gumbel, Teoría estadística de valores extremos y algunas aplicaciones prácticas . Presenta una codificación temprana de la teoría del valor extremo. Puedes descargarlo aquí . La distribución SEV también se conoce como distribución Gumbel.
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Tanto el SEV como el LEV pueden ser negativos, dependiendo de los valores de los parámetros, lo que los hace indeseables para modelar cantidades estrictamente positivas. Una característica interesante del SEV es que está sesgado a la izquierda, donde la mayoría de las observaciones caen por encima de la media (es decir, la mediana es mayor que la media). Puede resultar útil para modelar datos con observaciones de cola extrema izquierda.
Ejemplo 1 – Temperatura mínima anual, Austin, Texas.
Los datos meteorológicos, incluidas las temperaturas extremas diarias, se pueden descargar para una gran cantidad de estaciones meteorológicas de todo el mundo desde la Administración Nacional Oceánica y Atmosférica (NOAA) . El siguiente conjunto de datos proviene de la Red Global de Climatología Histórica: Conjunto de datos diarios y contiene la temperatura mínima anual observada en Austin, Texas, desde 1893 hasta 2022. Los datos originales se obtuvieron de dos estaciones: GHCND:USC00410420 (Austin, TX US , 1893 – 1938) y GHCND:USW00013958 (Austin Camp Mabry, TX, EE. UU., 1939 – 2022).
El histograma y el valor de asimetría muestran los datos que se dejarán sesgados.
El uso de Ajustar todas las distribuciones muestra el SEV para proporcionar el mejor ajuste.
Una suposición con cualquiera de estas distribuciones es que las observaciones son independientes. El uso de datos anuales mejora la correlación serial que ocurriría con los extremos mensuales, ya que se esperaría que los meses adyacentes fueran más similares que los meses más separados. También pueden entrar en juego factores adicionales con este tipo de datos que hacen que las observaciones sean menos independientes, como la urbanización y el cambio climático.
Ejemplo 2: Progresión de los tiempos de carrera de milla cubierta más rápidos
Los datos se pueden encontrar en Wikipedia (en la era IAAF Indoor masculina y Pre-IAAF Indoor masculina). Se eliminó la observación de Glenn Cunningham en la pista de gran tamaño. Sólo se utilizaron los datos de la columna Hora. Los resultados muestran que LEV es el mejor con Lognormal en un segundo lugar muy cercano.
Si se hubiera utilizado la plataforma de Distribución , se habría perdido LEV . Observe que los valores AICc , BIC y -2*LogLikelihood coinciden en las dos plataformas, lo que hace posibles comparaciones directas.
Ejemplo 3: Máximo de días consecutivos sin lluvia en un año, Austin, Texas (1927 – 2022)
Estos datos también provienen de la NOAA. Las mismas estaciones y fechas del Ejemplo 1 tenían datos a partir de 1927. Al igual que en el ejemplo anterior, consideraremos tanto la plataforma de Distribución como la de Distribución de Vida . Life Distribution muestra Log Generalized Gamma para proporcionar el mejor ajuste, seguido de Fréchet . SHASH ( Sinh-ArcSinh ) es la distribución que mejor se adapta de Distribution . Según AICc , sería el tercer mejor en general, aunque cerca de los otros dos en términos de ajuste. Una regla general es que cualquier cosa que esté separada por menos de 3 a 5 unidades no se considera diferente, por lo que podríamos considerar cualquiera de estas tres distribuciones.
Como se mencionó anteriormente, el registro de observaciones distribuidas por Fréchet tiene distribución LEV. Podemos ver esto tomando el registro de Max (días desde la última lluvia) y usando Life Distribution .
La gamma generalizada ( GenGamma ) y la gamma logarítmica generalizada ( LogGenGamma ) contienen todas las distribuciones fundamentales y sus complementos logarítmicos, excepto la logística y la logística logarítmica. El exponencial, Weibull y Fréchet y el lognormal son casos especiales de gamma generalizada (como lo es la gamma, que se puede encontrar en Distribución ) y SEV, LEV y normal son casos especiales de gamma log generalizada. Ambas distribuciones generalizadas contienen un tercer parámetro, uno más que las distribuciones que contienen. La gamma generalizada y la gamma log generalizada se reducen a sus casos especiales cuando este parámetro (λ) es igual a 1 (SEV/Weibull), 0 (normal/lognormal) o –1 (LEV/Fréchet).
Para tener una idea de la flexibilidad que añaden las distribuciones generalizadas, podemos observar sus formas cuando sólo se varía λ. Empezaremos con la gamma generalizada. Si establecemos 𝛍 = 1 y σ = 0,25, aquí están las distribuciones de Fréchet, lognormal y Weibull (λ = –1, 0, 0, respectivamente). La densidad de probabilidad está a la izquierda y la distribución acumulativa a la derecha.
Los picos (modos) están aproximadamente en la misma ubicación. Al aumentar la magnitud absoluta de λ, la distribución se expande (es decir, se vuelve menos puntiaguda y la distribución acumulativa crece más lentamente). A medida que λ se vuelve más positivo, los datos se desplazan hacia la derecha (mayor probabilidad de valores más altos). Disminuir λ hace lo contrario, concentrando más observaciones a la derecha de la distribución.
Las distribuciones para la familia gamma log generalizada siguen un patrón similar. La normal (λ = 0) es el miembro más puntiagudo (y el único simétrico). A medida que λ disminuye desde 0, las distribuciones se vuelven más sesgadas hacia la derecha (es decir, la concentración de observaciones se desplaza hacia la izquierda con la cola hacia la derecha). Lo contrario ocurre cuando λ aumenta desde 0.
Ejemplo 4: Distribución de las magnitudes de los principales terremotos desde 1800
El Servicio Geológico de los Estados Unidos (USGS) pone a disposición para su descarga datos sobre terremotos en todo el mundo . Desde 1803, ha habido 1.506 terremotos importantes en todo el mundo (de magnitud 7,0 o superior). ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo gran terremoto sea de 8,0 o mayor?
La que mejor se adapta a la distribución de vida es Log Generalized Gamma . Usando el Perfilador de Distribución , la probabilidad de un terremoto de 8.0 o mayor es 0.064332 (1 – 0.935668). Si hubiéramos ajustado los datos utilizando Distribution , nuestro mejor ajuste sería con SHASH , un ajuste considerablemente peor (AICc: 188,1 frente a 67,8).
Entonces, ¿por qué preocuparse por los casos especiales? Algunas razones. Primero, la gente está más familiarizada con distribuciones estándar como Weibull y lognormal. En segundo lugar, a medida que lambda aumenta en magnitud, puede haber inestabilidad al ajustar la distribución generalizada a los datos. Además, JMP limita λ a estar entre –12 y 12. Para valores de parámetros cercanos o en el límite, los intervalos de confianza pueden ser demasiado amplios.
Ejemplo 4: Predicción del próximo gran terremoto en California
Digamos que estamos interesados en predecir cuándo ocurrirá el próximo gran terremoto en California. Ha habido 18 eventos de este tipo desde 1803, el último fue el 6 de julio de 2019. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca un terremoto importante en los próximos dos años? ¿Cinco años?
Las dos distribuciones que se ajustan mejor al utilizar la distribución de vida son la gamma generalizada y la exponencial. La diferencia entre ambos es de unas tres unidades (AICc). Podríamos haber usado Distribución y encontrar la exponencial, pero habría sido más trabajo responder las preguntas. Si utilizamos la gamma generalizada, podemos utilizar el Perfilador de distribución para obtener probabilidades de 0,195 y 0,339 para dos y cinco años, respectivamente. Desafortunadamente, estas son sólo estimaciones puntuales. Si en cambio queremos el intervalo de confianza (IC) del percentil 95 superior , nos encontramos con un pequeño problema. En ambos casos, la probabilidad es 1. Los IC amplios probablemente se deban a que la distribución gamma generalizada tiene una estimación en uno de sus límites (λ = 12). En este caso, si utilizamos la distribución exponencial, obtenemos una estimación puntual de 0,157 y un intervalo de confianza superior de 0,24 para dos años, y una estimación puntual de 0,337 y un intervalo de confianza superior de 0,484 para cinco años.
Modelado de terremotos con la distribución gamma generalizada
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Modelado de terremotos con la distribución gamma generalizada
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Para concluir esta publicación, hablemos de las dos distribuciones simétricas, la normal y la logística, y sus complementos logarítmicos. La mayoría de ustedes deberían estar familiarizados con lo normal y lo lognormal, y ambos están disponibles en Distribución . Centrémonos en los otros dos, el logístico y el logístico. La distribución logística concentra más observaciones en sus colas que la normal. Esto es útil cuando hay más observaciones en los extremos de las que predice lo normal. A continuación se muestra una comparación de lo normal y lo logístico con 𝛍 = 0 y σ = 1.
Ejemplo 5: Desviaciones mensuales de las temperaturas máximas mensuales promedio históricas, Austin, Texas
Esta es la misma serie de datos que la anterior, comenzando en 1893. Se han eliminado seis meses porque tenían menos de la mitad de las observaciones diarias del mes (3/1894, 6/1894, 11/1894, 9/1900, 11/ 1922, 8/1924). Ajustar los datos con Distribución muestra que SHASH es el que mejor se adapta, con los cuatro primeros, posiblemente cinco, lo suficientemente cerca como para usarlos indistintamente. Lo normal no está en este grupo.
Que la Mezcla Normal 2 encaje tan bien puede parecer extraño al principio. Observar las estimaciones de los parámetros da una idea de lo que está sucediendo. Las medias de las dos distribuciones son lo suficientemente cercanas y las desviaciones estándar lo suficientemente diferentes como para sugerir una distribución unimodal con colas más pesadas. El desempeño de la t de Student respalda esto.
Alternativamente, usar Life Distribution hace que Logistics tenga la mejor opción. Esto es atractivo porque es a la vez unimodal y simétrico, lo que uno podría esperar con desviaciones de una media. Si bien el ajuste es ligeramente inferior a la t de Student, dentro de aproximadamente 1 unidad, y al SHASH , dentro de aproximadamente 2 unidades, requiere menos parámetros que cualquiera de los dos.
Es suficiente por ahora. En el próximo post hablaré de las versiones especializadas de estas distribuciones.
