当谈到分布拟合时，您可能会觉得两者之间存在二分法分配和生命分布. 你可能认为生命分布是严格意义上的可靠性问题和分配对于其他一切。 尽管生命分布是为可靠性和生存量身定制的，重点是拟合累积分布函数，它也可以用于可用分布在分配功亏一篑。 无论您在何种情况下使用生命分布, 了解一些它包含的发行版及其应用方式会很有帮助。
最初，生命分配可能会因为选择太多而感到不知所措。 幸运的是，在可用的 23 个分布中（加上创建分布混合的能力）只有五个基本分布：普通的,物流,电动汽车（最小极值），列维（最大极值），和Gen伽玛（广义伽玛）。 剩下的 18 个分布可以从这五个基本分布派生出来。 首先，每个基本分布都有一个对数补码：对数正态分布,逻辑物流,威布尔,弗雷谢， 和对数生成伽玛， 分别。 通过采用数据值的（自然）对数，可以将适合对数补码的数据转换为其非对数前身。 其次，所有的对数分布，除了对数生成伽玛, 有三种特殊情况来解释阈值边界 ( TH 对数正态分布,物流物流,威布尔， 和TH弗雷谢), 零 ( ZI 对数正态分布,梓物流,子威布尔， 和ZI Fréchet) ，和（一个）有缺陷的亚群（ DS 对数正态分布, DS物流, DS威布尔， 和DS弗雷谢). 可以用任何基本五及其对数补码创建混合物，除了Gen伽玛使用适合混合物和拟合竞争风险组合. 最后，孤独的坚持，指数型, 是的一个特例威布尔. 在这篇文章中，我将讨论基本分布及其补充，将特殊情况和混合留待下次讨论。
极值分布是在追求分布模型最小值 (SEV) 和最大值 (LEV) 的过程中得出的。 1954 年，国家标准局（后来成为 NIST（美国国家标准与技术研究院））根据 Emil Gumbel 的一系列讲座发布了一份具有历史意义的重要文件，极值统计理论及一些实际应用. 它提出了极值理论的早期编纂。 你可以在这里下载. SEV 分布也称为 Gumbel 分布。
SEV 和 LEV 都可以是负数，具体取决于参数值，这使得它不适合用于严格正数的建模。 SEV 的一个有趣特征是它是左偏的，其中大多数观察值都高于平均值（即中位数大于平均值）。 它可用于对具有极左尾观测值的数据进行建模。
示例 1 – 德克萨斯州奥斯汀的年最低温度。
可以从世界各地的大量气象站下载天气数据，包括每日极端温度美国国家海洋和大气管理局 (NOAA) . 以下数据集来自全球历史气候学网络——每日一组数据，包含 1893 年至 2022 年在德克萨斯州奥斯汀市观测到的最低年气温。 原始数据来自两个站点：GHCND:USC00410420（美国德克萨斯州奥斯汀，1893 – 1938 年）和 GHCND:USW00013958（美国德克萨斯州马布里奥斯汀营地，1939 – 2022 年）。
直方图和偏度值显示要左偏的数据。
使用适合所有分布显示电动汽车提供最合适的。
任何这些分布的假设是观察是独立的。 使用年度数据可以改善月度极值会出现的序列相关性，因为您会期望相邻月份比相隔较远的月份更相似。 其他因素也可能会影响此类数据，从而降低观测的独立性，例如城市化和气候变化。
示例 2 – 最快室内英里跑时间的进展
可以查到资料在维基百科（在男子室内国际田联前和男子室内国际田联时代）。 格伦坎宁安在超大赛道上的观察已被删除。 仅使用时间列下的数据。 结果显示列维最好的对数正态分布非常接近第二。
如果分配平台被使用，列维会被错过的。 请注意， AICc , BIC ， 和-2*对数似然值在两个平台上匹配，使直接比较成为可能。
示例 3 – 一年中最大连续无雨天数，德克萨斯州奥斯汀（1927 年至 2022 年）
该数据也来自 NOAA。 示例 1 中的相同站点和日期是从 1927 年开始的数据。 像前面的例子一样，我们将同时考虑分配和生命分布平台。 生命分布节目对数广义伽玛提供最适合其次的弗雷谢. 这哈希表( Sinh-ArcSinh )是最佳拟合分布分配. 基于AICc ，这将是总体上第三好的，尽管接近另外两个在适合方面。 一般的经验法则是，相距小于 3-5 个单位的任何东西都不会被视为不同，因此我们可以考虑这三种分布中的任何一种。
如上所述，Fréchet 分布观测的日志是 LEV 分布的。 我们可以通过获取日志来看到这一点Max（自上次下雨以来的天数）并使用生命分布.
广义伽马 ( Gen伽玛) 和对数广义伽玛 (对数生成伽玛) 包含除 logistic 和 log logistic 之外的所有基本分布及其对数补集。 指数、Weibull、Fréchet 和对数正态是广义伽玛的特例（伽玛也是，可以在下面找到分配) 和 SEV、LEV 和正常是对数广义伽马的特例。 两种广义分布都包含第三个参数，比它们包含的分布多一个。 当此参数 (λ) 等于 1 (SEV/Weibull)、0（正态/对数正态）或 –1 (LEV/Fréchet) 时，广义伽马和对数广义伽马归约为它们的特殊情况。
为了了解广义分布增加了多大的灵活性，我们可以在只有 λ 变化时查看它们的形状。 我们将从广义伽玛开始。 环境𝛍 = 1 和 σ = 0.25，这里是 Fréchet、对数正态分布和 Weibull 分布（分别为 λ = –1、0、0）。 概率密度在左边，累积分布在右边。
峰值（模式）位于大致相同的位置。 增加 λ 的绝对幅度会扩展分布（即，它变得不那么尖锐，并且累积分布增长得更慢）。 随着 λ 变得更正，数据向右移动（更高值的可能性更大）。 减小 λ 则相反，将更多的观察值集中在分布的右侧。
对数广义伽玛族的分布遵循类似的模式。 法线 (λ = 0) 是最尖的（也是唯一的对称成员）。 随着 λ 从 0 减小，分布变得更加右偏（即观察值的集中向左移动，尾部向右移动）。 当 λ 从 0 开始增加时，情况正好相反。
那么为什么要为特殊情况烦恼呢？ 几个原因。 首先，人们更熟悉 Weibull 和对数正态分布等标准分布。 其次，随着 lambda 的量级变大，将广义分布拟合到数据中可能会不稳定。 此外，JMP 将 λ 限制在 –12 到 12 之间。 对于接近或处于极限的参数值，置信区间可能过宽。
示例 4 – 预测加利福尼亚的下一次大地震
假设我们有兴趣预测下一次大地震（里氏 7.0 级或以上）何时会在加利福尼亚发生。 美国地质调查局 (USGS)地震资料可用的。 自 1800 年以来，已经发生了 18 次此类事件，最后一次发生在 2019 年 7 月 6 日。 未来两年发生大地震的概率是多少？ 5年？
使用的前 2 个拟合分布生命分布是广义伽玛和指数。 两者之间的差异大约是三个单位（AICc）。 我们本可以使用分配并找到了指数，但回答问题会需要更多的工作。 如果我们使用广义伽马，我们可以使用分布刻画器分别获得两年和五年的概率 0.195 和 0.339。 不幸的是，这些只是点估计。 如果我们想要上 95日百分位数置信区间 (CI) 相反，我们遇到了一些问题。 在这两种情况下，概率都是 1。 较宽的 CI 可能是由于广义伽马分布在其边界之一 (λ = 12) 处具有 al 估计值。 在这种情况下，如果我们改用指数分布，则两年的点估计值为 0.157，置信区间上限为 0.24，五年的点估计值为 0.337，置信区间上限为 0.484。
为了总结这篇文章，让我们谈谈两种对称分布，正态分布和逻辑分布，以及它们的对数补集。 你们中的大多数人应该熟悉正态分布和对数正态分布，它们都可以在分配.让我们关注另外两个，logistic 和 log logistic。 与正态分布相比，逻辑分布在其尾部集中了更多观察值。 当极端情况下的观察结果多于正常情况下的预测结果时，这很有用。 下面是 𝛍 = 0 和 σ = 1 时正态和逻辑的比较。
示例 5 – 与历史平均月高温的月度偏差，得克萨斯州奥斯汀
这是从 1893 年开始的同一系列数据。 六个月已被删除，因为他们对该月的日常观察不到一半（3/1894、6/1894、11/1894、9/1900、11/1922、8/1924）。 拟合数据分配节目哈希表是最合适的，前四名，可能是前五名，足够接近可以互换使用。 正常人不在这个群里。
Normal 2 Mixture 拟合得如此之好，起初可能看起来很奇怪。 查看参数估计可以深入了解正在发生的事情。 两个分布的均值足够接近，标准差也足够不同，表明存在尾部较重的单峰分布。 的性能学生的t支持这一点。
或者，使用生命分布导致物流拥有最合适的。 这是有吸引力的，因为它既是单峰的又是对称的，人们可能会期望偏离均值。 虽然合身性略逊于学生的t，在大约 1 个单位内，并且哈希表，在大约 2 个单位内，它需要的参数比任何一个都少。
现在就够了。 在下一篇文章中，我将讨论这些发行版的专用版本。
