분포 피팅에 관해서는 사이에 이분법이 있다고 느낄 수 있습니다. 분포 그리고 생명 분배 . 당신은 생각할 수 있습니다 생명 분배 엄격하게 신뢰성 문제를 의미하며 분포 다른 모든 것. 하는 동안 생명 분배 누적 분포 함수를 맞추는 데 중점을 두고 신뢰성과 생존에 맞춰져 있으며, 다음에서 사용 가능한 분포가 있는 상황에서도 사용할 수 있습니다. 분포 부족하다. 사용 중인 컨텍스트와 상관없이 생명 분배 , 포함된 배포판과 적용 방법에 대해 조금 알아두면 도움이 됩니다.
처음에는 생명 분배 선택의 폭이 넓기 때문에 압도적으로 느껴질 수 있습니다. 다행스럽게도 사용 가능한 23개의 배포판(배포 혼합 생성 기능 포함) 중 기본 배포판은 5개뿐입니다. 정상 , 물류 , SEV (최소 극단값), LEV (가장 큰 극단값) 및 젠감마 (일반화된 감마). 나머지 18개 분포는 이러한 기본 5개에서 파생될 수 있습니다. 첫째, 각 기본 분포에는 대수 보수가 있습니다. 대수정규분포 , 로그로지스틱 , 와이블 , 프레셰 , 그리고 LogGenGamma , 각각. 대수 보수에 맞는 데이터는 데이터 값의 (자연) 로그를 취함으로써 비대수 전임자로 변환될 수 있습니다. 둘째, 다음을 제외한 모든 로그 분포 LogGenGamma , 임계값 경계를 설명하는 세 가지 특별한 경우가 있습니다( TH 대수 정규 , TH 로그로지스틱 , TH 와이블 , 그리고 TH 프레셰 ), 0( ZI 대수 정규 , ZI 로그로지스틱 , ZI 와이블 , 그리고 지 프레셰) , 및 (단일) 결함 하위 모집단( DS 로그 정규 , DS 로그로지스틱 , DS 와이블 , 그리고 DS 프레셰 ). 다음을 제외하고 기본 5와 해당 로그 보수를 사용하여 혼합물을 생성할 수 있습니다. 젠감마 사용 적합 혼합물 그리고 경쟁 위험 혼합 적합 . 마지막으로 고독한 버팀목, 지수 , 의 특수한 경우입니다. 와이블 . 이 게시물에서는 기본 분포와 그 보완에 대해 이야기하고 특수한 경우와 혼합에 대해서는 나중에 설명하겠습니다.
모델 최소값(SEV) 및 최대값(LEV) 값에 대한 분포를 추구하여 극한값 분포를 도출했습니다. 1954년에 나중에 NIST(National Institute of Standards and Technology)가 되는 National Bureau of Standards는 Emil Gumbel의 일련의 강의를 기반으로 역사적으로 중요한 문서를 출판했습니다. 극한값의 통계 이론과 일부 실제 응용 . 그것은 극단값 이론의 초기 체계화를 제시합니다. 여기에서 다운로드할 수 있습니다. . SEV 분포는 Gumbel 분포라고도 합니다.
SEV와 LEV는 모두 매개변수 값에 따라 음수가 될 수 있으므로 엄격하게 양수 수량을 모델링하는 데 바람직하지 않습니다. SEV의 흥미로운 특징은 대부분의 관측값이 평균보다 큰(즉, 중앙값이 평균보다 큰) 왼쪽으로 치우쳐 있다는 것입니다. 극단적인 왼쪽 꼬리 관찰을 통해 데이터를 모델링하는 데 유용할 수 있습니다.
예 1 – 최저 연간 기온, 텍사스주 오스틴.
일일 극한 기온을 포함한 기상 데이터는 전 세계 수많은 기상 관측소에서 다운로드할 수 있습니다. 국립해양대기청(NOAA) . 다음 데이터 세트는 글로벌 역사 기후 네트워크 – 매일 1893년부터 2022년까지 텍사스주 오스틴에서 관측된 최소 연간 기온을 포함합니다. 원본 데이터는 GHCND:USC00410420(Austin, TX US, 1893 – 1938) 및 GHCND:USW00013958(Austin Camp Mabry, TX, US, 1939 – 2022)의 두 스테이션에서 얻었습니다.
히스토그램과 왜도 값은 왼쪽으로 치우친 데이터를 보여줍니다.
사용 모든 분포에 적합 보여줍니다 SEV 최상의 핏을 제공합니다.
이러한 분포에 대한 가정은 관측값이 독립적이라는 것입니다. 연간 데이터를 사용하면 인접한 달이 더 떨어져 있는 달보다 더 유사할 것으로 예상할 수 있으므로 월별 극단값에서 발생하는 직렬 상관 관계가 개선됩니다. 이러한 유형의 데이터에는 도시화 및 기후 변화와 같은 관측의 독립성이 떨어지는 추가 요인이 작용할 수 있습니다.
예 2 – 가장 빠른 실내 주행 시간의 진행
데이터를 찾을 수 있습니다 위키백과에서 (남자 실내 Pre-IAAF 및 남자 실내 IAAF 시대). 대형 트랙에서 Glenn Cunningham에 대한 관찰이 제거되었습니다. 시간 열 아래의 데이터만 사용되었습니다. 결과는 보여줍니다 LEV 최고가 되기 위해 대수정규분포 아주 가까운 2위.
만약 분포 플랫폼을 사용했고, LEV 놓쳤을 것입니다. 주의 AICc , 빅 , 그리고 -2*로그 우도 두 플랫폼에서 값이 일치하므로 직접 비교가 가능합니다.
예 3 – 연간 최대 연속 비가 내리지 않는 날, 텍사스주 오스틴(1927 – 2022)
이 데이터도 NOAA에서 가져옵니다. 예 1과 같은 관측소와 날짜는 1927년에 시작된 데이터를 사용했습니다. 이전 예와 마찬가지로 두 가지를 모두 고려할 것입니다. 분포 그리고 생명 분배 플랫폼. 생명 분배 쇼 로그 일반화 감마 다음에 가장 잘 맞는 것을 제공하기 위해 프레셰 . 그만큼 샤쉬 ( Sinh-ArcSinh ) 에서 가장 적합한 분포입니다. 분포 . 기반으로 AICc 에 가깝지만 전반적으로 세 번째로 좋습니다. 다른 두 핏면에서. 일반적으로 3-5 단위 미만의 차이는 다른 것으로 간주되지 않으므로 이 세 분포 중 하나를 고려할 수 있습니다.
위에서 언급했듯이 Fréchet 분산 관측 로그는 LEV 분산입니다. 로그를 취함으로써 이것을 알 수 있습니다. 최대(마지막 비 이후 일수) 그리고 사용 생명 분배 .
일반화된 감마( 젠감마 ) 및 로그 일반화 감마( LogGenGamma )에는 로지스틱 및 로그 로지스틱을 제외한 모든 기본 분포와 해당 로그 보완이 포함됩니다. 지수, Weibull, Fréchet 및 로그 정규는 일반화된 감마의 특수한 경우입니다(감마는 다음에서 찾을 수 있습니다). 분포 ) 및 SEV, LEV 및 정상은 로그 일반화 감마의 특수한 경우입니다. 일반화된 두 분포 모두 포함된 분포보다 하나 더 많은 세 번째 매개변수를 포함합니다. 일반화 감마 및 로그 일반화 감마는 이 매개변수(λ)가 1(SEV/Weibull), 0(정상/로그정규) 또는 –1(LEV/Fréchet)과 같을 때 특수한 경우로 축소됩니다.
일반화된 분포가 추가하는 유연성에 대한 아이디어를 얻으려면 λ만 변경될 때 모양을 볼 수 있습니다. 일반화된 감마부터 시작하겠습니다. 환경 𝛍 = 1 및 σ = 0.25, 여기에 Fréchet, 로그 정규 및 Weibull 분포가 있습니다(각각 λ = –1, 0, 0). 확률 밀도는 왼쪽에 있고 누적 분포는 오른쪽에 있습니다.
피크(모드)는 거의 같은 위치에 있습니다. λ의 절대 크기를 늘리면 분포가 퍼집니다(즉, 덜 뾰족해지고 누적 분포가 더 느리게 증가합니다). λ가 더 양수일수록 데이터가 오른쪽으로 이동합니다(높은 값의 더 큰 확률). λ를 줄이면 반대로 분포 오른쪽에 더 많은 관측치가 집중됩니다.
로그 일반화 감마 계열의 분포는 유사한 패턴을 따릅니다. 법선(λ = 0)은 가장 뾰족한 것입니다(그리고 유일한 대칭 요소). λ가 0에서 감소함에 따라 분포는 더 오른쪽으로 치우쳐집니다(즉, 관측치의 집중이 꼬리가 오른쪽으로 왼쪽으로 이동함). λ가 0에서 증가하면 그 반대입니다.
그렇다면 왜 특수한 경우에 신경을 써야 할까요? 몇 가지 이유가 있습니다. 첫째, 사람들은 Weibull 및 로그 정규 분포와 같은 표준 분포에 더 익숙합니다. 둘째, 람다의 크기가 커질수록 일반화된 분포를 데이터에 맞추는 데 불안정할 수 있습니다. 또한 JMP는 λ를 –12에서 12 사이로 제한합니다. 한계에 가깝거나 한계에 있는 매개변수 값의 경우 신뢰 구간이 지나치게 넓을 수 있습니다.
예 4 – 캘리포니아에서 다음 주요 지진 예측
다음 주요 지진(리히터 규모 7.0 이상)이 캘리포니아에서 언제 발생할지 예측하는 데 관심이 있다고 가정해 보겠습니다. 미국 지질조사국(USGS)은 지진 데이터 사용 가능. 1800년 이후로 그러한 행사가 18번 있었으며, 마지막 행사는 2019년 7월 6일이었습니다. 향후 2년 동안 큰 지진이 발생할 확률은 얼마입니까? 오년?
다음을 사용하는 상위 2개의 피팅 분포 생명 분배 일반화된 감마와 지수입니다. 둘 사이의 차이는 약 3단위(AICc)입니다. 우리는 사용할 수 있었다 분포 지수를 찾았지만 질문에 답하는 데 더 많은 작업이 필요했을 것입니다. 일반화된 감마를 사용하면 Distribution Profiler를 사용하여 각각 2년과 5년 동안 0.195와 0.339의 확률을 얻을 수 있습니다. 불행히도 이것은 점 추정치일 뿐입니다. 우리가 상위 95를 원한다면 일 백분위수 신뢰 구간(CI) 대신 약간의 문제가 발생합니다. 두 경우 모두 확률은 1입니다. 넓은 CI는 경계 중 하나(λ = 12)에서 모든 추정치를 갖는 일반화된 감마 분포로 인한 것 같습니다. 이 경우 지수 분포를 대신 사용하면 2년 동안 점 추정치 0.157과 상위 신뢰 구간 0.24, 5년 동안 점 추정치 0.337과 상위 신뢰 구간 0.484를 얻습니다.
이 게시물의 내용을 마무리하기 위해 두 가지 대칭 분포인 정규 및 로지스틱과 해당 로그 보수에 대해 이야기해 보겠습니다. 대부분의 사용자는 정규 및 로그 정규에 익숙해야 하며 둘 다 아래에서 사용할 수 있습니다. 분포 .다른 두 가지인 물류 및 로그 물류에 초점을 맞추겠습니다. 로지스틱 분포는 정규 분포보다 꼬리에 더 많은 관측값을 집중시킵니다. 이는 정상에 의해 예측되는 것보다 극단에 더 많은 관측치가 있을 때 유용합니다. 아래는 𝛍 = 0 및 σ = 1인 정규 및 로지스틱을 비교한 것입니다.
예 5 – 과거 평균 월 최고 기온과의 월간 편차, 텍사스 주 오스틴
이것은 1893년부터 위와 동일한 일련의 데이터입니다. 6개월은 해당 월(1894년 3월, 1894년 6월, 1894년 11월, 1900년 9월, 1922년 11월, 1924년 8월)에 대한 일일 관찰의 절반 미만이었기 때문에 제거되었습니다. 데이터 피팅 분포 쇼 샤쉬 상위 4개, 가능하면 5개가 서로 바꿔서 사용할 수 있을 만큼 근접한 가장 적합한 것입니다. 정상은 이 그룹에 없습니다.
Normal 2 Mixture 피팅이 너무 잘 맞아서 처음에는 이상하게 보일 수 있습니다. 매개변수 추정치를 보면 진행 상황에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다. 두 분포의 평균은 충분히 가깝고 표준 편차는 꼬리가 두꺼운 단봉 분포를 제안할 만큼 충분히 다릅니다. 성능 학생의 t 이것을 지원합니다.
또는 다음을 사용하여 생명 분배 ~으로 이끌다 물류 최고의 핏을 가지고 있습니다. 이것은 평균과의 편차를 예상할 수 있는 단봉 및 대칭이라는 점에서 매력적입니다. 핏이 조금 떨어지는 반면 학생의 t, 약 1 단위 내에서 샤쉬 , 약 2단위 내에서 어느 것보다 더 적은 매개변수가 필요합니다.
지금은 충분합니다. 다음 게시물에서는 이러한 배포판의 특수 버전에 대해 이야기하겠습니다.
