當談到分佈擬合時，您可能會覺得兩者之間存在二分法分配和生命分佈. 你可能認為生命分佈是嚴格意義上的可靠性問題和分配對於其他一切。 儘管生命分佈是為可靠性和生存量身定制的，重點是擬合累積分佈函數，它也可以用於可用分佈在分配功虧一簣。 無論您在何種情況下使用生命分佈, 了解一些它包含的發行版及其應用方式會很有幫助。
最初，生命分配可能會因為選擇太多而感到不知所措。 幸運的是，在可用的 23 個分佈中（加上創建分佈混合的能力）只有五個基本分佈：普通的,物流,電動汽車（最小極值），列維（最大極值），和Gen伽瑪（廣義伽馬）。 剩下的 18 個分佈可以從這五個基本分佈派生出來。 首先，每個基本分佈都有一個對數補碼：對數正態分佈,邏輯物流,威布爾,弗雷謝， 和對數生成伽瑪， 分別。 通過採用數據值的（自然）對數，可以將適合對數補碼的數據轉換為其非對數前身。 其次，所有的對數分佈，除了對數生成伽瑪, 有三種特殊情況來解釋閾值邊界 ( TH 對數正態分佈,物流物流,威布爾， 和TH弗雷謝), 零 ( ZI 對數正態分佈,梓物流,子威布爾， 和ZI Fréchet) ，和（單個）有缺陷的亞群（ DS 對數正態分佈, DS物流, DS威布爾， 和DS弗雷謝). 可以用任何基本五及其對數補碼創建混合物，除了Gen伽馬使用適合混合物和擬合競爭風險組合. 最後，孤獨的堅持，指數型, 是的一個特例威布爾. 在這篇文章中，我將討論基本分佈及其補充，將特殊情況和混合留待下次討論。
極值分佈是在追求分佈模型最小值 (SEV) 和最大值 (LEV) 的過程中得出的。 1954 年，國家標準局（後來成為 NIST（美國國家標準與技術研究院））根據 Emil Gumbel 的一系列講座發布了一份具有歷史意義的重要文件，極值統計理論及一些實際應用. 它提出了極值理論的早期編纂。 你可以在這裡下載. SEV 分佈也稱為 Gumbel 分佈。
SEV 和 LEV 都可以是負數，具體取決於參數值，這使得它不適合用於嚴格正數的建模。 SEV 的一個有趣特徵是它是左偏的，其中大多數觀察值都高於平均值（即中位數大於平均值）。 它可用於對具有極左尾觀測值的數據進行建模。
示例 1 – 德克薩斯州奧斯汀的年最低溫度。
可以從世界各地的大量氣象站下載天氣數據，包括每日極端溫度美國國家海洋和大氣管理局 (NOAA) . 以下數據集來自全球歷史氣候學網絡——每日一組數據，包含 1893 年至 2022 年在德克薩斯州奧斯汀市觀測到的最低年氣溫。 原始數據來自兩個站點：GHCND:USC00410420（美國德克薩斯州奧斯汀，1893 – 1938 年）和 GHCND:USW00013958（美國德克薩斯州馬布里奧斯汀營地，1939 – 2022 年）。
直方圖和偏度值顯示要左偏的數據。
使用適合所有分佈顯示電動汽車提供最合適的。
任何這些分佈的假設是觀察是獨立的。 使用年度數據可以改善月度極值會出現的序列相關性，因為您會期望相鄰月份比相隔較遠的月份更相似。 其他因素也可能會影響此類數據，從而降低觀測的獨立性，例如城市化和氣候變化。
示例 2 – 最快室內英里跑時間的進展
可以查到資料在維基百科（在男子室內國際田聯前和男子室內國際田聯時代）。 格倫坎寧安在超大賽道上的觀察已被刪除。 僅使用時間列下的數據。 結果顯示列維最好的對數正態分佈非常接近第二。
如果分配平台被使用，列維會被錯過的。 請注意， AICc , BIC ， 和-2*對數似然值在兩個平台上匹配，使直接比較成為可能。
示例 3 – 一年中最大連續無雨天數，德克薩斯州奧斯汀（1927 年至 2022 年）
該數據也來自 NOAA。 示例 1 中的相同站點和日期是從 1927 年開始的數據。 像前面的例子一樣，我們將同時考慮分配和生命分佈平台。 生命分佈節目對數廣義伽瑪提供最適合其次的弗雷謝. 這哈希表( Sinh-ArcSinh )是最佳擬合分佈分配. 基於AICc ，這將是總體上第三好的，儘管接近另外兩個在適合方面。 一般的經驗法則是，相距小於 3-5 個單位的任何東西都不會被視為不同，因此我們可以考慮這三種分佈中的任何一種。
如上所述，Fréchet 分佈觀測的日誌是 LEV 分佈的。 我們可以通過獲取日誌來看到這一點Max（自上次下雨以來的天數）並使用生命分佈.
廣義伽馬 ( Gen伽馬) 和對數廣義伽瑪 (對數生成伽瑪) 包含除 logistic 和 log logistic 之外的所有基本分佈及其對數補集。 指數、Weibull、Fréchet 和對數正態是廣義伽瑪的特例（伽瑪也是，可以在下面找到分配) 和 SEV、LEV 和正常是對數廣義伽馬的特例。 兩種廣義分佈都包含第三個參數，比它們包含的分佈多一個。 當此參數 (λ) 等於 1 (SEV/Weibull)、0（正態/對數正態）或 –1 (LEV/Fréchet) 時，廣義伽馬和對數廣義伽馬歸約為它們的特殊情況。
為了了解廣義分佈增加了多大的靈活性，我們可以在只有 λ 變化時查看它們的形狀。 我們將從廣義伽瑪開始。 環境𝛍 = 1 和 σ = 0.25，這裡是 Fréchet、對數正態分佈和 Weibull 分佈（分別為 λ = –1、0、0）。 概率密度在左邊，累積分佈在右邊。
峰值（模式）位於大致相同的位置。 增加 λ 的絕對幅度會擴展分佈（即，它變得不那麼尖銳，並且累積分佈增長得更慢）。 隨著 λ 變得更正，數據向右移動（更高值的可能性更大）。 減小 λ 則相反，將更多的觀察值集中在分佈的右側。
對數廣義伽瑪族的分佈遵循類似的模式。 法線 (λ = 0) 是最尖的（也是唯一的對稱成員）。 隨著 λ 從 0 減小，分佈變得更加右偏（即觀察值的集中向左移動，尾部向右移動）。 當 λ 從 0 開始增加時，情況正好相反。
那麼為什麼要為特殊情況煩惱呢？ 幾個原因。 首先，人們更熟悉 Weibull 和對數正態分佈等標準分佈。 其次，隨著 lambda 的量級變大，將廣義分佈擬合到數據中可能會不穩定。 此外，JMP 將 λ 限制在 –12 到 12 之間。 對於接近或處於極限的參數值，置信區間可能過寬。
示例 4 – 預測加利福尼亞的下一次大地震
假設我們有興趣預測下一次大地震（里氏 7.0 級或以上）何時會在加利福尼亞發生。 美國地質調查局 (USGS)地震資料可用的。 自 1800 年以來，已經發生了 18 次此類事件，最後一次發生在 2019 年 7 月 6 日。 未來兩年發生大地震的概率是多少？ 5年？
使用的前 2 個擬合分佈生命分佈是廣義伽瑪和指數。 兩者之間的差異大約是三個單位（AICc）。 我們本可以使用分配並找到了指數，但回答問題會需要更多的工作。 如果我們使用廣義伽馬，我們可以使用分佈刻畫器分別獲得兩年和五年的概率 0.195 和 0.339。 不幸的是，這些只是點估計。 如果我們想要上 95日百分位數置信區間 (CI) 相反，我們遇到了一些問題。 在這兩種情況下，概率都是 1。 較寬的 CI 可能是由於廣義伽馬分佈在其邊界之一 (λ = 12) 處具有 al 估計值。 在這種情況下，如果我們改用指數分佈，則兩年的點估計值為 0.157，置信區間上限為 0.24，五年的點估計值為 0.337，置信區間上限為 0.484。
為了總結這篇文章，讓我們談談兩種對稱分佈，正態分佈和邏輯分佈，以及它們的對數補集。 你們中的大多數人應該熟悉正態分佈和對數正態分佈，它們都可以在分配.讓我們關注另外兩個，logistic 和 log logistic。 與正態分佈相比，邏輯分佈在其尾部集中了更多觀察值。 當極端情況下的觀察結果多於正常情況下的預測結果時，這很有用。 下面是 𝛍 = 0 和 σ = 1 時正態和邏輯的比較。
示例 5 – 與歷史平均月高溫的月度偏差，得克薩斯州奧斯汀
這是從 1893 年開始的同一系列數據。 六個月已被刪除，因為他們對該月的日常觀察不到一半（3/1894、6/1894、11/1894、9/1900、11/1922、8/1924）。 擬合數據分配節目哈希表是最合適的，前四名，可能是前五名，足夠接近可以互換使用。 正常人不在這個群裡。
Normal 2 Mixture 擬合得如此之好，起初可能看起來很奇怪。 查看參數估計可以深入了解正在發生的事情。 兩個分佈的均值足夠接近，標準差也足夠不同，表明存在尾部較重的單峰分佈。 的性能學生的t支持這一點。
或者，使用生命分佈導致物流擁有最合適的。 這是有吸引力的，因為它既是單峰的又是對稱的，人們可能會期望偏離均值。 雖然合身性略遜於學生的t，在大約 1 個單位內，並且哈希表，在大約 2 個單位內，它需要的參數比任何一個都少。
現在就夠了。 在下一篇文章中，我將討論這些發行版的專用版本。
