Cuando se trata de accesorios de distribución, puede sentir que existe una dicotomía entre Distribución y Distribución de vida . puedes pensar que Distribución de vida está destinado estrictamente a problemas de confiabilidad y Distribución para todo lo demás Mientras Distribución de vida se adapta a la fiabilidad y la supervivencia, con énfasis en el ajuste de las funciones de distribución acumulativa, también se puede utilizar en situaciones en las que las distribuciones disponibles en Distribución faltar. Independientemente del contexto en el que esté utilizando Distribución de vida , es útil saber un poco sobre las distribuciones que contiene y cómo se pueden aplicar.
Inicialmente, Distribución de Vida puede sentirse abrumador debido a la abundancia de opciones. Afortunadamente, de las 23 distribuciones disponibles (más la capacidad de crear mezclas de distribuciones) solo hay cinco distribuciones fundamentales: Normal , Logístico , SEV (valor extremo más pequeño), NIV (valor extremo más grande), y GenGamma (gamma generalizada). Las 18 distribuciones restantes se pueden derivar de estos cinco fundamentales. Primero, cada distribución fundamental tiene un complemento logarítmico: Lognormal , loglogistica , Weibull , Frechet , y LogGenGamma , respectivamente. Los datos que se ajustan a un complemento logarítmico se pueden transformar a su predecesor no logarítmico tomando el logaritmo (natural) de los valores de los datos. En segundo lugar, todas las distribuciones logarítmicas, a excepción de LogGenGamma , tiene tres casos especiales para tener en cuenta los límites del umbral ( TH Lognormal , TH Logística , TH Weibull , y TH Frechet ), ceros ( ZI Lognormal , Logística ZI , ZI Weibull , y ZI Frechet) , y (una sola) subpoblación defectuosa ( Lognormal de DS , Logística DS , DS Weibull , y DS Frechet ). Se pueden crear mezclas con cualquiera de los cinco fundamentales y sus complementos logarítmicos excepto GenGamma usando Mezcla de ajuste y Combinación de riesgo de competencia adecuada . Finalmente, el solitario reticente, Exponencial , es un caso especial de la Weibull . En este post hablaré de las distribuciones fundamentales y sus complementos, dejando para otro momento los casos especiales y las mezclas.
Las distribuciones de valores extremos se derivaron en busca de distribuciones para modelar valores mínimos (SEV) y máximos (LEV). En 1954, la Oficina Nacional de Estándares, que luego se convertiría en NIST (Instituto Nacional de Estándares y Tecnología) publicó un documento históricamente importante basado en una serie de conferencias impartidas por Emil Gumbel, Teoría estadística de valores extremos y algunas aplicaciones prácticas . Presenta una codificación temprana de la teoría del valor extremo. Puedes descargarlo aquí . La distribución SEV también se conoce como distribución Gumbel.
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Tanto el SEV como el LEV pueden ser negativos, dependiendo de los valores de los parámetros, lo que lo hace indeseable para modelar cantidades estrictamente positivas. Una característica interesante del SEV es que está sesgado hacia la izquierda, donde la mayoría de las observaciones caen por encima de la media (es decir, la mediana es mayor que la media). Puede ser útil para modelar datos con observaciones de cola extrema izquierda.
Ejemplo 1 – Temperatura mínima anual, Austin, Texas.
Los datos meteorológicos, incluidas las temperaturas extremas diarias, se pueden descargar para una gran cantidad de estaciones meteorológicas de todo el mundo desde el Administración Nacional Oceánica y Atmosférica (NOAA) . El siguiente conjunto de datos proviene de la Red Global de Climatología Histórica – Diariamente conjunto de datos y contiene la temperatura mínima anual observada en Austin, Texas, desde 1893 hasta 2022. Los datos originales se obtuvieron de dos estaciones: GHCND:USC00410420 (Austin, TX EE. UU., 1893 - 1938) y GHCND: USW00013958 (Austin Camp Mabry, TX, EE. UU., 1939 - 2022).
El histograma y el valor de sesgo muestran los datos que se dejan sesgados.
Usando Ajustar todas las distribuciones muestra el SEV para proporcionar el mejor ajuste.
Una suposición con cualquiera de estas distribuciones es que las observaciones son independientes. El uso de datos anuales mejora la correlación serial que ocurriría con los extremos mensuales, ya que esperaría que los meses adyacentes fueran más similares que los meses separados. También pueden entrar en juego factores adicionales con este tipo de datos que hacen que las observaciones sean menos independientes, como la urbanización y el cambio climático.
Ejemplo 2: Progresión de los tiempos de carrera de milla en interiores más rápidos
Los datos se pueden encontrar en Wikipedia (En la era Pre-IAAF Indoor Masculina e IAAF Indoor Masculina). Se eliminó la observación de Glenn Cunningham en la pista de gran tamaño. Solo se utilizaron los datos de la columna Tiempo. Los resultados muestran NIV ser mejor con Lognormal un 2do muy cercano.
Si el Distribución se utilizó la plataforma, NIV se hubiera echado de menos. Note que el AICc , BIC , y -2*Logaritmo de probabilidad los valores coinciden en las dos plataformas, lo que hace posible las comparaciones directas.
Ejemplo 3: Máximo de días consecutivos sin lluvia en un año, Austin, Texas (1927 - 2022)
Estos datos también provienen de la NOAA. Las mismas estaciones y fechas del Ejemplo 1 estaban con los datos a partir de 1927. Al igual que en el ejemplo anterior, consideraremos tanto el Distribución y Distribución de vida plataformas Distribución de vida espectáculos Log Generalizado Gamma para proporcionar el mejor ajuste seguido por el Frechet . El SHASH ( Sinh-ArcSinh ) es la mejor distribución de ajuste de Distribución . Residencia en AICc , sería el tercero mejor en general, aunque cerca del otros dos en términos de ajuste. Una regla general es que cualquier cosa que esté a menos de 3-5 unidades de distancia no se considera diferente, por lo que podríamos considerar cualquiera de estas tres distribuciones.
Como se mencionó anteriormente, el registro de las observaciones distribuidas de Fréchet se distribuyen en LEV. Podemos ver esto tomando el registro de Max (días desde la última lluvia) y usando Distribución de vida .
La gamma generalizada ( GenGamma ) y log gamma generalizada ( LogGenGamma ) contienen todas las distribuciones fundamentales y sus complementos logarítmicos excepto la logística y la logística logarítmica. La exponencial, Weibull, Fréchet y lognormal son casos especiales de la gamma generalizada (al igual que la gamma, que se puede encontrar en Distribución ) y SEV, LEV y normal son casos especiales del logaritmo de gamma generalizada. Ambas distribuciones generalizadas contienen un tercer parámetro, uno más que las distribuciones que contienen. La gamma generalizada y la gamma logarítmica generalizada se reducen a sus casos especiales cuando este parámetro (λ) es igual a 1 (SEV/Weibull), 0 (normal/lognormal) o –1 (LEV/Fréchet).
Para tener una idea de qué flexibilidad agregan las distribuciones generalizadas, podemos observar sus formas cuando solo se varía λ. Empezaremos con la gamma generalizada. Configuración 𝛍 = 1 y σ = 0.25, aquí están las distribuciones Fréchet, lognormal y Weibull (λ = –1, 0, 0, respectivamente). La densidad de probabilidad está a la izquierda y la distribución acumulada a la derecha.
Los picos (modos) están aproximadamente en la misma ubicación. El aumento de la magnitud absoluta de λ dispersa la distribución (es decir, se vuelve menos puntiaguda y la distribución acumulativa crece más lentamente). A medida que λ se vuelve más positivo, los datos se desplazan hacia la derecha (mayor probabilidad de valores más altos). La disminución de λ hace lo contrario, concentrando más observaciones a la derecha de la distribución.
Las distribuciones de la familia gamma logarítmica generalizada siguen un patrón similar. La normal (λ = 0) es la más puntiaguda (y el único miembro simétrico). A medida que λ disminuye desde 0, las distribuciones se vuelven más sesgadas a la derecha (es decir, la concentración de observaciones se desplaza hacia la izquierda con la cola hacia la derecha). Lo contrario es cierto cuando λ aumenta desde 0.
Entonces, ¿por qué molestarse con los casos especiales? Algunas razones. Primero, las personas están más familiarizadas con las distribuciones estándar como Weibull y lognormal. En segundo lugar, a medida que lambda crece en magnitud, puede haber inestabilidad al ajustar la distribución generalizada a los datos. Además, JMP limita que λ esté entre -12 y 12. Para valores de parámetros cercanos o en el límite, los intervalos de confianza pueden ser demasiado amplios.
Ejemplo 4: Predicción del próximo gran terremoto en California
Digamos que estamos interesados en predecir cuándo ocurrirá el próximo gran terremoto (7.0 o más en la escala de Richter) en California. El Servicio Geológico de los Estados Unidos (USGS) hace datos del terremoto disponible. Ha habido 18 eventos de este tipo desde 1800, el último el 6 de julio de 2019. ¿Cuál es la probabilidad de un gran terremoto en los próximos dos años? ¿Cinco años?
Las 2 mejores distribuciones de ajuste usando Distribución de vida son la gamma generalizada y la exponencial. La diferencia entre los dos es de unas tres unidades (AICc). Podríamos haber usado Distribución y encontró la exponencial, pero hubiera sido más trabajo responder las preguntas. Si usamos la gamma generalizada, podemos usar Distribution Profiler para obtener probabilidades de 0.195 y 0.339 para dos y cinco años, respectivamente. Desafortunadamente, estas son solo estimaciones puntuales. Si queremos el superior 95 el percentiles intervalo de confianza (IC) en cambio, nos encontramos con un pequeño problema. En ambos casos, la probabilidad es 1. Los IC amplios probablemente se deban a que la distribución gamma generalizada tiene una estimación en uno de sus límites (λ = 12). En este caso, si usamos la distribución exponencial, obtenemos una estimación puntual de 0,157 y un intervalo de confianza superior de 0,24 para dos años, y una estimación puntual de 0,337 y un intervalo de confianza superior de 0,484 para cinco años.
Modelado de terremotos con la distribución gamma generalizada
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Modelado de terremotos con la distribución gamma generalizada
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Para concluir esta publicación, hablemos de las dos distribuciones simétricas, la normal y la logística, y sus complementos logarítmicos. La mayoría de ustedes debe estar familiarizado con el normal y lognormal, y ambos están disponibles en Distribución .Centrémonos en los otros dos, la logística y la logística de troncos. La distribución logística concentra más observaciones en sus colas que la normal. Esto es útil cuando hay más observaciones en los extremos de lo que predeciría la normal. A continuación se muestra una comparación de la normal y la logística con 𝛍 = 0 y σ = 1.
Ejemplo 5: Desviaciones mensuales de las temperaturas máximas mensuales medias históricas, Austin, Texas
Esta es la misma serie de datos que la anterior, comenzando en 1893. Se han eliminado seis meses porque tenían menos de la mitad de las observaciones diarias del mes (3/1894, 6/1894, 11/1894, 9/1900, 11/1922, 8/1924). Ajustando los datos con Distribución espectáculos SHASH para ser el que mejor se ajuste, con los cuatro primeros, posiblemente cinco, lo suficientemente cerca como para usarlos indistintamente. Lo normal no está en este grupo.
El ajuste de Normal 2 Mixture tan bien puede parecer extraño al principio. Mirar las estimaciones de los parámetros da una idea de lo que está pasando. Las medias de las dos distribuciones son lo suficientemente cercanas y las desviaciones estándar lo suficientemente diferentes como para sugerir una distribución unimodal con colas más pesadas. El rendimiento de camiseta de estudiante apoya esto.
Alternativamente, usando Distribución de vida lleva a Logístico teniendo el mejor ajuste. Esto es atractivo porque es tanto unimodal como simétrico, lo que uno podría esperar con desviaciones de una media. Mientras que el ajuste es ligeramente inferior a camiseta de estudiante, dentro de aproximadamente 1 unidad, y el SHASH , dentro de aproximadamente 2 unidades, requiere menos parámetros que cualquiera de los dos.
Es suficiente por ahora. En el próximo post hablaré de las versiones especializadas de estas distribuciones.
