En ce qui concerne l'ajustement de la distribution, vous pouvez avoir l'impression qu'il y a une dichotomie entre Distribution et Répartition de la vie . Vous pouvez penser que Répartition de la vie est destiné strictement aux problèmes de fiabilité et Distribution pour tout le reste. Alors que Répartition de la vie est adapté à la fiabilité et à la survie, en mettant l'accent sur l'ajustement des fonctions de distribution cumulatives, il peut également être utilisé dans des situations où les distributions disponibles dans Distribution échouer. Quel que soit le contexte dans lequel vous utilisez Répartition de la vie , il est utile d'en savoir un peu plus sur les distributions qu'il contient et sur la manière dont elles peuvent être appliquées.
Initialement, la distribution de la vie peut sembler accablant en raison de l'abondance de choix. Heureusement, sur les 23 distributions disponibles (plus la possibilité de créer des mélanges de distributions), il n'y a que cinq distributions fondamentales : Normal , La logistique , VSE (plus petite valeur extrême), NIV (plus grande valeur extrême), et GenGamma (gamma généralisé). Les 18 distributions restantes peuvent être dérivées de ces cinq distributions fondamentales. Premièrement, chaque distribution fondamentale a un complément logarithmique : Lognormal , Loglogistique , Weibull , Fréchet , et LogGenGamma , respectivement. Les données qui correspondent à un complément logarithmique peuvent être transformées en son prédécesseur non logrithmique en prenant le logarithme (naturel) des valeurs de données. Deuxièmement, toutes les distributions logarithmiques, à l'exception de LogGenGamma , ont trois cas particuliers pour tenir compte des frontières de seuil ( TH log-normal , TH Loglogistique , TH Weibull , et TH Fréchet ), des zéros ( ZI log-normale , ZI Loglogistique , ZI Weibull , et ZI Fréchet) , et (une seule) sous-population défectueuse ( Log-normal DS , DS Loglogistique , DS Weibull , et DS Frechet ). Des mélanges peuvent être créés avec n'importe quel cinq fondamentaux et leurs compléments logarithmiques sauf GenGamma en utilisant Ajuster le mélange et Ajuster la combinaison de risques concurrents . Enfin, le seul résistant, Exponentiel , est un cas particulier de Weibull . Dans cet article, je parlerai des distributions fondamentales et de leurs compléments, laissant les cas particuliers et les mélanges pour une autre fois.
Les distributions des valeurs extrêmes ont été dérivées à la recherche de distributions pour modéliser les valeurs minimales (SEV) et maximales (LEV). En 1954, le National Bureau of Standards, qui deviendra plus tard le NIST (National Institute of Standards and Technology) publie un document historiquement important basé sur une série de conférences données par Emil Gumbel, Théorie statistique des valeurs extrêmes et quelques applications pratiques . Il présente une première codification de la théorie des valeurs extrêmes. Vous pouvez le télécharger ici . La distribution SEV est également connue sous le nom de distribution de Gumbel.
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Le SEV et le LEV peuvent tous deux être négatifs, en fonction des valeurs des paramètres, ce qui le rend indésirable pour modéliser des quantités strictement positives. Une caractéristique intéressante de la SEV est qu'elle est asymétrique à gauche, où la majorité des observations se situent au-dessus de la moyenne (c'est-à-dire que la médiane est supérieure à la moyenne). Cela peut être utile pour modéliser des données avec des observations d'extrême gauche.
Exemple 1 – Température annuelle minimale, Austin, Texas.
Les données météorologiques, y compris les températures extrêmes quotidiennes, peuvent être téléchargées pour un grand nombre de stations météorologiques du monde entier à partir du Administration nationale des océans et de l'atmosphère (NOAA) . L'ensemble de données suivant provient de la Réseau mondial de climatologie historique – Quotidien ensemble de données et contient la température annuelle minimale observée à Austin, Texas, de 1893 à 2022. Les données originales ont été obtenues à partir de deux stations : GHCND :USC00410420 (Austin, TX US, 1893 - 1938) et GHCND:USW00013958 (Austin Camp Mabry, TX, US, 1939 - 2022).
L'histogramme et la valeur d'asymétrie indiquent les données à gauche.
En utilisant Adapter toutes les distributions montre le VSE pour offrir le meilleur ajustement.
Une hypothèse avec l'une de ces distributions est que les observations sont indépendantes. L'utilisation de données annuelles améliore la corrélation en série qui se produirait avec des extrêmes mensuels, car vous vous attendriez à ce que des mois adjacents soient plus similaires que des mois plus éloignés. Des facteurs supplémentaires peuvent également entrer en jeu avec ce type de données rendant les observations moins indépendantes, comme l'urbanisation et le changement climatique.
Exemple 2 – Progression des temps de course les plus rapides en salle
Les données peuvent être trouvées sur Wikipédia (Sous l'ère Men's Indoor Pre-IAAF et Men Indoor IAAF). L'observation pour Glenn Cunningham sur la piste surdimensionnée a été supprimée. Seules les données de la colonne Heure ont été utilisées. Les résultats montrent NIV être le meilleur avec Lognormal un 2e très proche.
Si la Distribution plate-forme a été utilisée, NIV aurait été manqué. Remarquez que le AICc , BIC , et -2*LogProbabilité les valeurs correspondent sur les deux plates-formes, ce qui permet des comparaisons directes.
Exemple 3 – Nombre maximum de jours consécutifs sans pluie dans une année, Austin, Texas (1927 – 2022)
Ces données proviennent également de la NOAA. Les mêmes stations et dates de l'exemple 1 étaient avec les données commençant en 1927. Comme dans l'exemple précédent, nous considérerons à la fois les Distribution et Répartition de la vie plates-formes. Répartition de la vie montre Journal Gamma généralisé pour fournir le meilleur ajustement suivi par le Fréchet . Le CHASSE ( Sinh-ArcSinh ) est la distribution la mieux adaptée à partir de Distribution . Basé sur AICc , ce serait le troisième meilleur au classement général, quoique proche du deux autres en termes d'ajustement. Une règle générale est que tout ce qui est séparé de moins de 3 à 5 unités n'est pas considéré comme différent, nous pouvons donc considérer l'une de ces trois distributions.
Comme mentionné ci-dessus, le log des observations distribuées de Fréchet sont distribuées LEV. Nous pouvons le voir en prenant le journal de Max (jours depuis la dernière pluie) et en utilisant Répartition de la vie .
Le gamma généralisé ( GenGamma ) et log gamma généralisé ( LogGenGamma ) contiennent toutes les distributions fondamentales et leurs compléments logarithmiques à l'exception de la logistique et de la logistique logarithmique. L'exponentielle, Weibull et Fréchet, et la log-normale sont des cas particuliers du gamma généralisé (tout comme le gamma, que l'on trouve sous Distribution ) et les valeurs SEV, LEV et normale sont des cas particuliers du log gamma généralisé. Les deux distributions généralisées contiennent un troisième paramètre, un de plus que les distributions qu'elles contiennent. Le gamma généralisé et le log gamma généralisé se réduisent à leurs cas particuliers lorsque ce paramètre (λ) vaut 1 (SEV/Weibull), 0 (normal/lognormal) ou –1 (LEV/Fréchet).
Pour avoir une idée de la flexibilité que les distributions généralisées ajoutent, nous pouvons regarder leurs formes lorsque seul λ varie. Nous allons commencer par le gamma généralisé. Paramètre 𝛍 = 1 et σ = 0,25, voici les distributions de Fréchet, log-normale et Weibull (λ = –1, 0, 0, respectivement). La densité de probabilité est à gauche et la distribution cumulative à droite.
Les pics (modes) se trouvent approximativement au même endroit. L'augmentation de l'amplitude absolue de λ étale la distribution (c'est-à-dire qu'elle devient moins pointue et que la distribution cumulative croît plus lentement). Lorsque λ devient plus positif, les données se déplacent vers la droite (plus grande probabilité de valeurs plus élevées). Diminuer λ fait le contraire, concentrant plus d'observations à droite de la distribution.
Les distributions pour la famille logarithmique gamma généralisée suivent un schéma similaire. La normale (λ = 0) est le membre le plus pointu (et le seul membre symétrique). Lorsque λ diminue à partir de 0, les distributions deviennent plus asymétriques vers la droite (c'est-à-dire que la concentration des observations se déplace vers la gauche avec la queue vers la droite). L'inverse est vrai lorsque λ augmente à partir de 0.
Alors pourquoi s'embêter avec les cas particuliers ? Quelques raisons. Premièrement, les gens sont plus familiers avec les distributions standard telles que Weibull et log-normale. Deuxièmement, à mesure que lambda augmente en amplitude, il peut y avoir une instabilité dans l'ajustement de la distribution généralisée aux données. De plus, JMP limite λ entre –12 et 12. Pour les valeurs de paramètres proches ou à la limite, les intervalles de confiance peuvent être trop larges.
Exemple 4 – Prédire le prochain tremblement de terre majeur en Californie
Disons que nous souhaitons prédire quand le prochain tremblement de terre majeur (7,0 ou plus sur l'échelle de Richter) se produira en Californie. Le United States Geological Survey (USGS) fait données sismiques disponible. Il y a eu 18 événements de ce type depuis 1800, le dernier ayant eu lieu le 6 juillet 2019. Quelle est la probabilité d'un tremblement de terre majeur dans les deux prochaines années ? Cinq ans?
Les 2 meilleures distributions d'ajustement utilisant Répartition de la vie sont le gamma généralisé et l'exponentielle. La différence entre les deux est d'environ trois unités (AICc). Nous aurions pu utiliser Distribution et trouvé l'exponentielle, mais il aurait fallu plus de travail pour répondre aux questions. Si nous utilisons le gamma généralisé, nous pouvons utiliser le Distribution Profiler pour obtenir des probabilités de 0,195 et 0,339 pour deux et cinq ans, respectivement. Malheureusement, ce ne sont que des estimations ponctuelles. Si nous voulons le 95 supérieur e intervalle de confiance (IC) centiles à la place, nous nous heurtons à un petit problème. Dans les deux cas, la probabilité est de 1. Les larges IC sont probablement dus à la distribution gamma généralisée ayant une estimation de al à l'une de ses limites (λ = 12). Dans ce cas, si nous utilisons plutôt la distribution exponentielle, nous obtenons une estimation ponctuelle de 0,157 et un intervalle de confiance supérieur de 0,24 pour deux ans, et une estimation ponctuelle de 0,337 et un intervalle de confiance supérieur de 0,484 pour cinq ans.
Modélisation des tremblements de terre avec la distribution gamma généralisée
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Modélisation des tremblements de terre avec la distribution gamma généralisée
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Pour conclure cet article, parlons des deux distributions symétriques, la normale et la logistique, et de leurs compléments logarithmiques. La plupart d'entre vous devraient être familiers avec la normale et la log-normale, et elles sont toutes deux disponibles sous Distribution .Concentrons-nous sur les deux autres, la logistique et la log logistique. La distribution logistique concentre plus d'observations dans ses queues que la normale. Ceci est utile lorsqu'il y a plus d'observations dans les extrêmes que ce qui serait prédit par la normale. Vous trouverez ci-dessous une comparaison de la normale et de la logistique avec 𝛍 = 0 et σ = 1.
Exemple 5 – Écarts mensuels par rapport aux températures maximales mensuelles moyennes historiques, Austin, Texas
Il s'agit de la même série de données que ci-dessus, à partir de 1893. Six mois ont été supprimés car ils avaient moins de la moitié des observations quotidiennes pour le mois (3/1894, 6/1894, 11/1894, 9/1900, 11/1922, 8/1924). Ajuster les données avec Distribution montre CHASSE être le mieux adapté, avec les quatre, voire les cinq premiers, suffisamment proches pour être utilisés de manière interchangeable. La normale n'est pas dans ce groupe.
L'ajustement du mélange Normal 2 si bien peut sembler étrange au premier abord. L'examen des estimations des paramètres donne un aperçu de ce qui se passe. Les moyennes des deux distributions sont suffisamment proches et les écarts-types suffisamment différents pour suggérer une distribution unimodale avec des queues plus lourdes. La performance de T de l'étudiant soutient cela.
Alternativement, en utilisant Répartition de la vie mène à La logistique ayant le meilleur ajustement. Ceci est attrayant en ce qu'il est à la fois unimodal et symétrique, ce à quoi on pourrait s'attendre avec des écarts par rapport à une moyenne. Alors que l'ajustement est légèrement inférieur à T de l'étudiant, dans environ 1 unité, et le CHASSE , à environ 2 unités, il nécessite moins de paramètres que l'un ou l'autre.
C'est assez pour l'instant. Dans le prochain post je parlerai des versions spécialisées de ces distributions.
