Quando si tratta di adattamento alla distribuzione, potresti sentire che c'è una dicotomia tra Distribuzione E Distribuzione della vita . Potresti pensarlo Distribuzione della vita è inteso esclusivamente per problemi di affidabilità e Distribuzione per tutto il resto. Mentre Distribuzione della vita è adattato all'affidabilità e alla sopravvivenza, con un'enfasi sull'adattamento delle funzioni di distribuzione cumulativa, può essere utilizzato anche in situazioni in cui le distribuzioni disponibili in Distribuzione fallire. Indipendentemente dal contesto in cui lo stai utilizzando Distribuzione della vita , è utile conoscere un po' le distribuzioni che contiene e come potrebbero essere applicate.
Inizialmente, la distribuzione della vita potrebbe sembrare travolgente a causa dell'abbondanza di scelte. Fortunatamente, delle 23 distribuzioni disponibili (più la possibilità di creare miscele di distribuzioni) ci sono solo cinque distribuzioni fondamentali: Normale , Logistico , SEV (valore estremo più piccolo), LEV (valore estremo più grande), e Gen Gamma (gamma generalizzata). Le restanti 18 distribuzioni possono essere derivate da queste cinque fondamentali. Innanzitutto, ogni distribuzione fondamentale ha un complemento logaritmico: Lognormale , logistico , Weibull , Frechet , E LogGenGamma , rispettivamente. I dati che si adattano a un complemento logaritmico possono essere trasformati nel loro predecessore non logritmico prendendo il logaritmo (naturale) dei valori dei dati. In secondo luogo, tutte le distribuzioni logaritmiche, ad eccezione di LogGenGamma , hanno tre casi speciali per tenere conto dei limiti di soglia ( TH Lognormale , TH Loglogistica , TH Weibull , E TH Frechet ), zeri ( ZI Lognormale , ZI Loglogistica , ZI Weibull , E ZI Frechet) , e (una singola) sottopopolazione difettosa ( DS lognormale , DS Loglogistica , DS Weibull , E DS Frechet ). Le miscele possono essere create con qualsiasi cinque fondamentale e i loro complementi logaritmici tranne Gen Gamma utilizzando Miscela adatta E Miscela di rischio competitiva adatta . Infine, l'unica resistenza, Esponenziale , è un caso particolare di Weibull . In questo post parlerò delle distribuzioni fondamentali e dei loro complementi, lasciando casi speciali e miscele per un'altra volta.
Le distribuzioni di valori estremi sono state derivate alla ricerca di distribuzioni per modellare i valori minimo (SEV) e massimo (LEV). Nel 1954, il National Bureau of Standards, che sarebbe poi diventato NIST (National Institute of Standards and Technology) pubblicò un documento storicamente importante basato su una serie di conferenze tenute da Emil Gumbel, Teoria statistica dei valori estremi e alcune applicazioni pratiche . Presenta una prima codificazione della teoria del valore estremo. Potete scaricarlo qui . La distribuzione SEV è anche nota come distribuzione Gumbel.
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Sia SEV che LEV possono essere negativi, a seconda dei valori dei parametri, rendendolo indesiderabile per la modellazione di quantità strettamente positive. Una caratteristica interessante del SEV è che è lasciato distorto, dove la maggior parte delle osservazioni cade al di sopra della media (cioè, la mediana è maggiore della media). Può essere utile per modellare i dati con le osservazioni della coda estrema sinistra.
Esempio 1 – Temperatura minima annuale, Austin, Texas.
I dati meteorologici, comprese le temperature estreme giornaliere, possono essere scaricati per un gran numero di stazioni meteorologiche di tutto il mondo da Amministrazione nazionale oceanica e atmosferica (NOAA) . Il seguente set di dati proviene da Rete globale di climatologia storica - Quotidiano insieme di dati e contiene la temperatura annuale minima osservata ad Austin, in Texas, dal 1893 al 2022. I dati originali sono stati ottenuti da due stazioni: GHCND:USC00410420 (Austin, TX US, 1893 – 1938) e GHCND:USW00013958 (Austin Camp Mabry, TX, US, 1939 – 2022).
L'istogramma e il valore di asimmetria mostrano i dati da lasciare distorti.
Usando Adatta a tutte le distribuzioni mostra il SEV per fornire la migliore vestibilità.
Un presupposto con una qualsiasi di queste distribuzioni è che le osservazioni siano indipendenti. L'utilizzo di dati annuali migliora la correlazione seriale che si verificherebbe con gli estremi mensili, poiché ci si aspetterebbe che i mesi adiacenti siano più simili dei mesi più distanti. Ulteriori fattori possono anche entrare in gioco con questo tipo di dati rendendo le osservazioni meno indipendenti, come l'urbanizzazione e il cambiamento climatico.
Esempio 2 – Progressione dei tempi di percorrenza indoor più veloci
I dati possono essere trovati su Wikipedia (Sotto l'era Pre-IAAF indoor maschile e IAAF indoor maschile). L'osservazione per Glenn Cunningham sulla pista sovradimensionata è stata rimossa. Sono stati utilizzati solo i dati nella colonna Ora. I risultati mostrano LEV stare al meglio con Lognormale un secondo molto vicino.
Se la Distribuzione è stata utilizzata la piattaforma, LEV ci sarebbe mancato. Si noti che il AICc , BIC , E -2*LogProbabilità i valori corrispondono tra le due piattaforme, rendendo possibili confronti diretti.
Esempio 3 - Numero massimo di giorni consecutivi senza pioggia in un anno, Austin, Texas (1927-2022)
Anche questi dati provengono dal NOAA. Le stesse stazioni e date dell'Esempio 1 erano con i dati a partire dal 1927. Come nell'esempio precedente, considereremo entrambi i file Distribuzione E Distribuzione della vita piattaforme. Distribuzione della vita Spettacoli Log gamma generalizzata per fornire il miglior adattamento seguito dal Frechet . IL SHASH ( Sinh-ArcSinh ) è la distribuzione più adatta da Distribuzione . Basato su AICc , sarebbe il terzo miglior assoluto, anche se vicino al altri due in termini di vestibilità. Una regola generale è che qualsiasi cosa a meno di 3-5 unità di distanza non è considerata diversa, quindi potremmo considerare una qualsiasi di queste tre distribuzioni.
Come accennato in precedenza, il registro delle osservazioni distribuite di Fréchet è distribuito LEV. Possiamo vederlo prendendo il registro di Max(Giorni dall'ultima pioggia) e usando Distribuzione della vita .
La gamma generalizzata ( Gen Gamma ) e log gamma generalizzata ( LogGenGamma ) contengono tutte le distribuzioni fondamentali e i loro complementi logaritmici tranne la logistica e la logistica logaritmica. L'esponenziale, Weibull e Fréchet e il lognormale sono casi speciali della gamma generalizzata (così come la gamma, che può essere trovata sotto Distribuzione ) e SEV, LEV e normale sono casi speciali del log gamma generalizzato. Entrambe le distribuzioni generalizzate contengono un terzo parametro, uno in più rispetto alle distribuzioni che contengono. La gamma generalizzata e la gamma generalizzata log si riducono ai loro casi speciali quando questo parametro (λ) è uguale a 1 (SEV/Weibull), 0 (normale/lognormale) o –1 (LEV/Fréchet).
Per avere un'idea di quale flessibilità aggiungano le distribuzioni generalizzate, possiamo osservare le loro forme quando varia solo λ. Inizieremo con la gamma generalizzata. Collocamento 𝛍 = 1 e σ = 0.25, ecco le distribuzioni di Fréchet, lognormale e Weibull (λ = –1, 0, 0, rispettivamente). La densità di probabilità è a sinistra e la distribuzione cumulativa a destra.
I picchi (modalità) si trovano approssimativamente nella stessa posizione. Aumentando la grandezza assoluta di λ si allarga la distribuzione (vale a dire, diventa meno picco, e la distribuzione cumulativa cresce più lentamente). Man mano che λ diventa più positivo, i dati si spostano a destra (maggiore probabilità di valori più alti). Diminuendo λ si ottiene l'opposto, concentrando più osservazioni a destra della distribuzione.
Le distribuzioni per la famiglia gamma generalizzata logaritmica seguono uno schema simile. Il normale (λ = 0) è il membro con il picco più alto (e l'unico simmetrico). Man mano che λ diminuisce da 0, le distribuzioni diventano più asimmetriche a destra (ovvero, la concentrazione delle osservazioni si sposta a sinistra con la coda a destra). È vero il contrario poiché λ aumenta da 0.
Allora perché perdere tempo con i casi speciali? Alcuni motivi. Innanzitutto, le persone hanno più familiarità con le distribuzioni standard come Weibull e lognormal. In secondo luogo, man mano che lambda aumenta di grandezza, potrebbe esserci instabilità nell'adattare la distribuzione generalizzata ai dati. Inoltre, JMP limita λ in modo che sia compreso tra –12 e 12. Per i valori dei parametri vicini o al limite, gli intervalli di confidenza possono essere eccessivamente ampi.
Esempio 4 – Previsione del prossimo grande terremoto in California
Diciamo che siamo interessati a prevedere quando si verificherà il prossimo grande terremoto (7.0 o superiore sulla scala Richter) in California. Lo fa lo United States Geological Survey (USGS). dati sui terremoti disponibile. Ci sono stati 18 eventi di questo tipo dal 1800, l'ultimo il 6 luglio 2019. Qual è la probabilità di un forte terremoto nei prossimi due anni? Cinque anni?
Le prime 2 distribuzioni di adattamento utilizzando Distribuzione della vita sono la gamma generalizzata e l'esponenziale. La differenza tra i due è di circa tre unità (AICc). Avremmo potuto usare Distribuzione e ho trovato l'esponenziale, ma sarebbe stato più faticoso rispondere alle domande. Se usiamo la gamma generalizzata, possiamo usare il Distribution Profiler per ottenere probabilità di 0,195 e 0,339 rispettivamente per due e cinque anni. Sfortunatamente, queste sono solo stime puntuali. Se vogliamo i 95 superiori th percentili dell'intervallo di confidenza (CI) invece, ci imbattiamo in un piccolo problema. In entrambi i casi la probabilità è 1. Gli intervalli di confidenza ampi sono probabilmente dovuti alla distribuzione gamma generalizzata che ha una stima in uno dei suoi limiti (λ = 12). In questo caso, se usiamo invece la distribuzione esponenziale, otteniamo una stima puntuale di 0,157 e un intervallo di confidenza superiore di 0,24 per due anni, e una stima puntuale di 0,337 e un intervallo di confidenza superiore di 0,484 per cinque anni.
Modellazione dei terremoti con la distribuzione gamma generalizzata
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Modellazione dei terremoti con la distribuzione gamma generalizzata
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Per concludere questo post, parliamo delle due distribuzioni simmetriche, normale e logistica, e dei loro complementi logaritmici. La maggior parte di voi dovrebbe avere familiarità con il normale e il lognormale, e sono entrambi disponibili sotto Distribuzione .Concentriamoci sugli altri due, la logistica e la loglogistica. La distribuzione logistica concentra più osservazioni nelle sue code rispetto al normale. Questo è utile quando ci sono più osservazioni negli estremi di quanto sarebbe previsto dal normale. Di seguito è riportato un confronto tra il normale e il logistico entrambi con 𝛍 = 0 e σ = 1.
Esempio 5 – Deviazioni mensili dalle temperature massime mensili medie storiche, Austin, Texas
Questa è la stessa serie di dati di cui sopra, a partire dal 1893. Sei mesi sono stati rimossi perché avevano meno della metà delle osservazioni giornaliere per il mese (3/1894, 6/1894, 11/1894, 9/1900, 11/1922, 8/1924). Adattamento dei dati con Distribuzione Spettacoli SHASH per essere la soluzione migliore, con i primi quattro, forse cinque, abbastanza vicini da poter essere usati in modo intercambiabile. Il normale non è in questo gruppo.
L'adattamento della miscela Normale 2 così bene può sembrare strano all'inizio. Osservare le stime dei parametri fornisce informazioni su cosa sta succedendo. Le medie delle due distribuzioni sono abbastanza vicine e le deviazioni standard abbastanza diverse da suggerire una distribuzione unimodale con code più pesanti. Le prestazioni di Studente t supporta questo.
In alternativa, utilizzando Distribuzione della vita porta a Logistico avere la migliore vestibilità. Ciò è interessante in quanto è sia unimodale che simmetrico, cosa che ci si potrebbe aspettare con deviazioni da una media. Mentre la vestibilità è leggermente inferiore a Studente t, entro circa 1 unità, e il SHASH , entro circa 2 unità, richiede meno parametri di entrambi.
Questo è abbastanza per ora. Nel prossimo post parlerò delle versioni specializzate di queste distribuzioni.
