Linear gemischte Modelle mit JMP® Pro: Ein Gesicht, viele Geschmacksrichtungen*
Jian Cao, PhD
SAS Institute, Inc.
24. März 2015
Brüssel, Belgien
Abstrakt
Eine der neuen Funktionen, die in JMP Pro 11 eingeführt wurden, sind gemischte Modelle. Diese neue Modellierungspersönlichkeit in der Fit Model-Plattform ermöglicht es, eine Vielzahl von Regressionsmodellen mit festen und zufälligen Effekten zusammen mit einer geeigneten Kovarianzstruktur anzupassen. Was ist ein gemischtes Modell? Wann und warum sollte man ein gemischtes Modell anpassen? Und wie passt JMP zu einem solchen Modell? In diesem Artikel werde ich versuchen, Mythen über die gemischten Modelle zu zerstreuen, indem ich 1) kurz den statistischen Hintergrund bespreche, 2) erörtere, warum gemischte Modelle bessere Schätzungen und Konsequenzen der Anpassung traditioneller Regressionsmodelle an Daten liefern, bei denen Messungen einer Antwortvariablen korrelieren, oder a wichtige erklärende Variable fehlt, und 3) Veranschaulichung der gemischten Modelle von JMP® Pro durch Anpassen verschiedener Arten von gemischten Modellen, die in realen Anwendungen weit verbreitet sind.
Danksagung: Ich möchte Christopher Gotwalt und Laura Lancaster für ihre Hilfe danken.
* Das in diesem Dokument vorgestellte Material gilt auch für JMP Pro 12.Die wichtigste Verbesserung im neuen JMP Pro 12 ist ein verbesserter Optimierungsalgorithmus, mit dem JMP bei großen Datenmengen schneller ausgeführt werden kann als in JMP Pro 11 .
JMP Pro 11 hat seiner Fit-Model-Plattform eine neue Modellierungspersönlichkeit, Mixed Model, hinzugefügt.Was ist ein gemischtes Modell? Wie passt JMP zu einem solchen Modell? Was sind die wichtigsten Anwendungen, bei denen gemischte Modelle angewendet werden können? In diesem Dokument werde ich versuchen, Mythen über gemischte Modelle zu zerstreuen und die Leistungsfähigkeit von JMP anhand von Beispielen aus dem wirklichen Leben zu demonstrieren.
Was ist ein lineares gemischtes Modell?
Lineare gemischte Modelle sind eine Verallgemeinerung linearer Regressionsmodelle , y=Xβ +ε . Erweiterung des Modells, um zufällige Effekte zu ermöglichen, Z , wird das neue Modell y=Xβ+Z γ + ε . Dies ist das lineare gemischte Modell, da es beide festen Effekte gibt, X, und Zufallseffekte, Z.
Dabei werden folgende Annahmen getroffen zufällige Effektparameter, γ und Zufallsfehler ε :
(1) γ und ε normalverteilt sind und (2) es keine Korrelationen zwischen ihnen gibt und ε .JMP bietet mehrere häufig verwendete Strukturen für ε . Die festen Effektkoeffizienten , , und Kovarianzmatrizen für und werden gemeinsam nach der eingeschränkten Maximum-Likelihood-Methode geschätzt. Das Anpassen gemischter Modelle erfordert a zusätzliche Daten zu jeder Querschnittseinheit oder, im Falle der Modellierung räumlicher Daten, Abmessungen von Messungen. Es gibt gemischte Modelle für nicht normalverteilte Antworten oder nichtlineare gemischte Modelle ; jedoch, Ich beschränke den Rahmen meiner Erörterung auf die linearen gemischten Modelle, die in JMP Pro unterstützt werden.
Warum gemischte Modelle
Wenn eine Korrelation zwischen den Antworten besteht oder an wichtige erklärende Variable fehlt, führt die Nichtberücksichtigung dessen zu verzerrten Schätzungen der Auswirkungen der Behandlung und anderer Faktoren.
Hier sind einige häufige Anwendungsfälle für gemischte Modelle:
- Zulassen Koeffizienten
- Analyse von randomisierten Blockdesigns und Split-Plot-Designs, bei denen schwer zu ändernde und leicht zu ändernde Faktoren zu mehreren Fehlertermen führen;
- Kontrollieren auf unbeobachtete individuelle Heterogenität in Form von Zufallseffekten (dh Paneldatenmodelle);
- Analyse wiederholter Messungen wo Innersubjektfehler korreliert sind;
- Mehrere Antworten, die korreliert sind, weil Maßnahmen von denselben Subjekten genommen werden;
- Fächer sind hierarchisch (dh Schüler innerhalb von Schulen) . Dies wird als hierarchisches lineares Modell oder mehrstufige Modelle bezeichnet;
- Räumliche Variabilität (dh georäumliche Regression);
Mit JMP Pro können Sie all diese Modelle einfach spezifizieren und anpassen, indem Sie die Point-and-Click-Oberfläche verwenden und die Ergebnisse auf benutzerfreundliche Weise überprüfen.
Schritte zum Festlegen eines gemischten Modells in JMP Pro
- 1. Auswählen Analysieren =>Modell anpassen , und wähle Gemischte Modellpersönlichkeit ;
- 2. Wählen Sie eine kontinuierliche Antwortvariable aus Ihrer Datentabelle als aus Y und konstruieren Sie feste Effekte, wie Sie es normalerweise mit einer standardmäßigen Anpassung nach der Methode der kleinsten Quadrate tun würden;
3A. Verwenden Zufällige Effekte Registerkarte zur Angabe von Zufallskoeffizienten oder Zufallseffekten;
3B. Verwenden Wiederholte Struktur Registerkarte zur Auswahl einer Kovarianzstruktur für Modellfehler;
- 4. Klicken Sie auf Laufen .
Ich werde mich nun einem Beispiel zuwenden, um vier verschiedene Arten von gemischten Modellen zu zeigen: Zufallskoeffizientenmodell, Analyse wiederholter Messungen, Paneldatenmodell und georäumliche Regression.
Beispiel 1: Zufallskoeffizientenmodelle— Ermöglichen von Abfangen und Hängen zwischen den Fächern zufällig zu variieren
In diesem Beispiel sind wir daran interessiert, die Auswirkung der Bodenfeuchte vor dem Pflanzen auf den Weizenertrag abzuschätzen, während jede Weizensorte zufällige Abweichungen von Populationseffekten aufweisen kann. Daher ist ein Zufallskoeffizientenmodell erforderlich. Das Experiment wählt zufällig 10 Sorten aus der Weizenpopulation aus und ordnet jede zu sechs Grundstücke .Insgesamt werden 60 Beobachtungen mit 6 Ertragsmessungen für jede Sorte gesammelt. (Die Daten „Weizen“ sind im Sample Data-Verzeichnis von JMP verfügbar.)
Ich habe die oben beschriebenen Schritte befolgt, um das Modell zu spezifizieren. Aus Feste Effekte Geben Sie auf der Registerkarte Feuchtigkeit zusammen mit einem Standardschnittpunkt als feste Effekte an.
Fit Model: Fixed EffectsModell anpassen: Feste Effekte
Als nächstes von der Zufällige Effekte Registerkarte, verwenden Zufallskoeffizienten verschachteln Schaltfläche, um einen zufälligen Schnittpunkt und Feuchtigkeitseffekt für jede Sorte anzufordern. 
Fit Model: Random EffectsModell anpassen: Zufällige Effekte
Endlich ab Wiederholte Struktur Registerkarte, auswählen Restwert für den Modellfehlerterm.
Fit Model: Repeated Structures Modell anpassen: Wiederholte Strukturen
Der folgende Screenshot zeigt Kovarianzparameterschätzungen für zufällige Effekte, Parameterschätzungen für feste Effekte und Zufällige Koeffizienten .Lassen Sie uns sie der Reihe nach besprechen.
Die Varianzschätzung für Intercept beträgt 18,89 mit einer Standardfehlerschätzung von 9,11, sodass der Z-Score 2,07 (= 18,89/9,11) beträgt. Unter Verwendung der Normalverteilungsfunktion von JMP Formula Editor können wir den p-Wert als 0,0192 ermitteln, was darauf hinweist, dass die Variation des Basisertrags zwischen den Sorten statistisch signifikant ist.Ebenso die p -Wert für Cov (Feuchtigkeit, Intercept) , 0,3777 und p-Wert für Var(Feuchtigkeit) ist 0,0380.
Das Zufällige Koeffizienten Bericht gibt den BLUP (B est linearer unverzerrter Prädiktor) Werte dafür, wie sich jede Sorte von dem Populationsschnittpunkt und dem Populationsfeuchtigkeitseffekt unterscheidet, die in berichtet werden Parameterschätzungen für feste Effekte. Für Sorte 1 beträgt der geschätzte Feuchtigkeitseffekt auf ihren Ertrag 0,61 (= 0,66–0,05), und der Basisertrag beträgt 34,39 (= 33,43 + 0,96) und die vorhergesagte Ertragsgleichung lautet
Durch die Kombination sowohl der festen Effekte als auch der zufälligen Koeffizientenschätzungen finden wir einen signifikanten Gesamteffekt auf den Weizenertrag an Feuchtigkeit und entdecken eine signifikante Variation des Feuchtigkeitseffekts bei verschiedenen Sorten.
Andere Anwendungen von Zufallskoeffizientenmodellen
Das individuelle Wachstumsmodell ist eine Art Zufallskoeffizientenmodell, bei dem zufällig Zeit Wirkung ist pro Person geschätzt.Dies geschieht durch die Angabe eines kontinuierlichen Zeitvariable wie z Tag oder Monat als Zufallseffekt und u singen Zufallskoeffizienten verschachteln Schaltfläche, um eine separate Steigung (dh Wachstum) und einen Schnittpunkt für jedes Individuum anzufordern.
In der Bildungsforschung werden Fächer oft hierarchisch verschachtelt.Indem Sie mehrere Gruppen von zufälligen Effektanweisungen hinzufügen, können Sie sie anpassen Hierarchische lineare Modelle/Mehrebenenmodelle .
Beispiel 2: Analyse wiederholter Messungen – Berücksichtigung korrelierter Fehler
Wiederholte Messungen sind die mehrfachen Messungen einer Antwort, die im Laufe der Zeit von denselben Probanden gesammelt wurden.In dieser klinischen Studie wurden Probanden (dh Patienten) nach dem Zufallsprinzip verschiedenen Behandlungsgruppen zugeteilt. Der Gesamtcholesterinspiegel jedes Probanden wurde während des Versuchs mehrmals gemessen. Ziel der Studie ist es zu prüfen, ob Neue Medikamente senken den Cholesterinspiegel wirksam. Was die Analyse von Messwiederholungen deutlich macht, ist die Korrelation der Messwerte innerhalb eines Probanden. Eine Nichtberücksichtigung führt oft zu falschen Schlussfolgerungen über den Behandlungseffekt. (Die Daten, Cholesterin gestapelt , ist im Sample Data-Verzeichnis von JMP verfügbar.
JMP Pro bietet drei häufig verwendete Kovarianzstrukturen:
- Unstrukturiert
- AR(1) (autoregressiv erster Ordnung) schätzt die Korrelation zwischen zwei Messungen, die eine Zeiteinheit voneinander entfernt sind.Die Korrelation nimmt mit zunehmender Zeitdifferenz ab.
- CS
Der folgende Screenshot zeigt die Feste Effekte Teil der Analyse wiederholter Messungen, die beinhaltet Behandlung , Monat , AM/PM , und ihre Wechselwirkungen.
Fixed effects part of the model Feste Effekte Teil des Modells
Ich werde drei verschiedene Kovarianzstrukturen für die Innersubjektfehler betrachten.Lassen Sie uns zuerst verwenden Unstrukturiert. Sich bewerben Zeit Spalte als Wiederholt, und Geduldig Spalte als Thema --dies definiert die wiederholten Messungen innerhalb eines Subjekts. Es ist wichtig zu beachten, dass JMP dies erfordert Thema Spalte einzigartig bewertet werden und das Wiederholt Spalte kategorisch für die sein Unstrukturiert Möglichkeit.
Unstructured Covariance Structure Unstrukturierte Kovarianzstruktur
Schlüsselberichte enthalten Schätzungen der Kovarianzparameter für wiederholte Effekte, Fixed-Effects-Parameter-Schätzungen, und Tests Fixed-Effects-Tests .
Results using Unstructured Ergebnisse mit Unstrukturiert
Eine Möglichkeit, die statistische Signifikanz der Kovarianzschätzungen zu testen, besteht darin, die z-Scores zu berechnen und ihre p-Werte zu finden, wie ich es im vorherigen Beispiel für das Zufallskoeffizientenmodell getan habe. Wir können jedoch die Konfidenzgrenzen überprüfen: Wenn das 95%-Konfidenzintervall für eine Kovarianzschätzung Null enthält, können wir sagen, dass die Schätzung von Null an nicht statistisch signifikant ist a = 5%.Wie wir sehen können, unterscheiden sich alle sechs Varianzschätzungen signifikant von Null, aber die meisten davon Kovarianzschätzungen sind es nicht. Dies legt nahe, dass sparsame Strukturen wie AR (1) in Betracht gezogen werden sollten.
Tests mit festen Effekten Bericht zeigt einen hochsignifikanten Behandlungseffekt. C Cholesterinspiegel Es wird auch festgestellt, dass sie von Monat zu Monat und von morgens bis nachmittags erheblich variiert.
Als nächstes betrachten wir AR(1) als Kovarianzstruktur für die Innersubjektfehler. Bitte beachte, dass Wiederholt Spalte, die in AR(1) von JMP verwendet wird, muss eine kontinuierliche Variable sein.Also, d ja— Anzahl der Tage ab dem Versuchsstartdatum bei jeder Messung – wird anstelle einer kategorialen Variablen verwendet, die für die UN-Option verwendet wird.
AR(1) Covariance Structure AR(1) Kovarianzstruktur
Das Wiederholte Effekte Kovarianzparameterschätzung Bericht zeigt eine hochsignifikante Innersubjektkorrelation von 0,95. Die Ergebnisse mit festen Effekten sind ähnlich wie bei der UN-Option (nicht gezeigt) – Behandlungseffekt und Zeiteffekte sind statistisch signifikant.
Results using AR(1) Ergebnisse mit AR(1)
Um unser Beispiel zu vervollständigen, passen wir das Modell schließlich mit a an CS Struktur. Wählen Sie dazu aus Restwert als die Wiederholte Kovarianzstruktur – muss aber nicht angegeben werden Wiederholt und Thema Spalten mit dieser Option; Stattdessen fügen wir die Betreff-ID hinzu, Geduldig, als zufälliger Effekt auf die Zufällige Effekte Tab. Das ist
w ithin-Subjekt-Kovarianz wird durch das Subjekt ef modelliert fekt.
CS Covariance Structure with random subject effect and residual error CS-Kovarianzstruktur mit zufälligem Subjekteffekt und Restfehler
Results using CSErgebnisse mit CS
Gemessen an den 95 %-Konfidenzgrenzen ist die Kovarianz zwischen zwei beliebigen Messwerten zum selben Thema statistisch nicht signifikant a =0,05 (eigentlich p-Wert= 0,0621 ). Die Testergebnisse mit festen Effekten sind ähnlich wie bei den vorherigen Modellen und werden daher hier nicht gezeigt.
Welche wiederholte Struktur sollte also angenommen werden? Ein Kriterium für den Modellvergleich ist AICc. Von dem Fit-Statistik berichtet von JMP (nicht gezeigt), AICcs sind: Unstrukturiert —703,84, AR(1) —652,63 und CS —832,55. So, AR(1) ist der Gewinner.
Beispiel 3: Panel-Datenmodelle – Kontrolle für unbeobachtete Heterogenität
Dieses Beispiel ist entnommen Vella und Verbeek (1998), die in diskutiert wird Einführung in die Ökonometrie von Jeffrey Woodridge als Beispiel 14.4 . Siehe Referenzen unten für weitere Informationen.
Die Originaldaten stammen aus der Nationale Längsschnittstudie der Jugend 1979 Kohorte (NLSY79). In den Daten arbeitete jeder der 545 männlichen Arbeiter jedes Jahr von 1980 bis 1987. Wir sind daran interessiert, die Auswirkungen der Gewerkschaftsmitgliedschaft auf das Lohneinkommen abzuschätzen, wobei Bildung, Berufserfahrung, ethnische Zugehörigkeit usw. berücksichtigt werden.
Obwohl NLSY79 detaillierte Hintergrundinformationen zu den Arbeitern sammelt, die als Kontrollvariablen verwendet werden sollen, gibt es dennoch individuelle Unterschiede, die nicht beobachtet oder gemessen werden können. Paneldaten bieten eine Möglichkeit, individuelle Heterogenität zu berücksichtigen: Wenn angenommen werden kann, dass die unbeobachtete Heterogenität nicht mit allen im Modell enthaltenen erklärenden Variablen korreliert, können wir sie berücksichtigen, indem wir sie als zufälligen Effekt behandeln.
Nach Woodridges Erörterung wird eine Log(Lohn)-Gleichung angepasst, in die die ID des Arbeiters als Zufallseffekt eingegeben wird, um die unbeobachteten Unterschiede zu erfassen.
Fixed effects part of the Log(Wage) Equation Behobener Effektteil der Log(Lohn)-Gleichung
Random effects part of the Log(Wage) EquationZufällige Effekte sind Teil der Log(Lohn)-Gleichung
Ich wähle Restwert für den Modusfehlerterm. Das Modell heißt Einwegmodell mit zufälligen Effekten in der Ökonometrie .
Die Ergebnisse sind unten gezeigt.
Panel Model Results Ergebnisse des Panelmodells
Von dem Kovarianzparameterschätzungen für zufällige Effekte berichten, dass wir diese Person gefunden haben Heterogenität macht 47,8 % (= 0,11/(0,11 + 0,12)) der Gesamtvariation aus, was auf einen großen unbeobachteten Heterogenitätseffekt hinweist. Mit anderen Worten, eine OLS-Analyse würde wahrscheinlich irreführende Ergebnisse liefern.
Das Parameterschätzungen für feste Effekte Der Bericht zeigt eine geschätzte Bildungsrendite von 9,2 % und eine Gewerkschaftsprämie von 10,5 %, die beide statistisch hoch signifikant sind. Zum Vergleich: Ein gepoolter OLS würde die Gewerkschaftsprämie auf 18,2 % schätzen. Siehe Woodridge (2013, Seite 495).
Verweise
Francis Vella und Marno Verbeek (1998), " Wessen Löhne erheben die Gewerkschaften? Ein dynamisches Modell des Gewerkschaftswesens und der Lohnsatzbestimmung für junge Männer ", Journal of Applied Econometrics, Vol. 13, No. 2, S. 163-183. Daten können von der Website des Journals heruntergeladen werden http://qed.econ.queensu.ca/jae/1998-v13.2/vella-verbeek/
Jeffrey M. Woodridge (2013), Einführung in die Ökonometrie: Ein moderner Ansatz (5 th ed), CENGAGE-Lernen.
Beispiel 4: Modellierung von Geodaten – unter Berücksichtigung räumlicher Korrelation
So wie wiederholte Messungen über die Zeit korreliert werden, sind räumliche Daten wahrscheinlich räumlich korreliert.Das heißt, Messungen, die sind relativ nah beieinander ähneln sich mehr als weiter auseinander liegende. Daher müssen wir die räumliche Abhängigkeit in der Analyse berücksichtigen.
Räumliche Daten werden zusammen mit Koordinaten wie aufgezeichnet Breiten- und Längengrad, Positionen von Zeilen und Spalten, Nord-Süd- und Ost-West-Richtungen. Der Abstand zwischen zwei Messungen wird mit a berechnet Euklidische Entfernung Funktion, die verwendet wird, um eine Kovarianzstruktur zu bilden. ich f Die Abstandsfunktion hängt nicht von den Richtungen der Messungen ab, dann sagt man, die Kovarianz sei isotrop; ansonsten ist es anisotrop .Zusätzlich, a Klumpen Effekt kann hinzugefügt werden, um abrupte Änderungen über kleine Entfernungen in einem lokalen Bereich zu berücksichtigen.
JMP Pro bietet vier Euklidische Entfernung Funktionen für isotrope Strukturen: Potenz, Exponential, Gaußsche und sphärische.Es stehen verschiedene Formen anisotroper Strukturen zur Verfügung.Kovarianzstrukturen kann auch ein Nugget-Effekt hinzugefügt werden.
Das folgende Beispiel ist entnommen SAS für gemischte Modelle, 2. Auflage , 2006, S. 457-460. ( http://www.sas.com/store/prodBK_59882_en.htm ). Zur Untersuchung des Wasserabflusses auf einer Sondermülldeponie wurden 30 Proben an verschiedenen Stellen des Geländes entnommen und in Nord-Süd- und Ost-West-Richtung aufgenommen.Eine lineare Beziehung zwischen Wasserabfluss (gemessen an log-Transmission) und die Dicke einer Salzschicht wurde vorgeschlagen. ( T er Daten, Gefährliche Abfälle , ist Datensatz 11.6 in der gezippten Datei
http://support.sas.com/publishing/bbu/59882/59882.zip .)
Ein räumliches Regressionsmodell wird unter Verwendung einer räumlichen anisotropen Leistungsstruktur mit Nugget-Effekt angepasst. Diese Struktur ermöglicht, dass (1) die Entfernung eine Potenzfunktion der räumlichen Korrelation ist, (2) sich räumliche Korrelationen in verschiedene Richtungen unterscheiden und (3) eine Variation über kleine Entfernungen erfolgt.
Spatial anisotropic power with nugget Räumliche anisotrope Kraft mit Nugget
Results using spatial anisotropic power with nuggetErgebnisse unter Verwendung der räumlichen anisotropen Leistung mit Nugget
Kovarianzparameterschätzung Der Bericht legt eine hochsignifikante räumliche Korrelation nahe und dass zwei Korrelationskoeffizienten 0,81 (Ost-West) bzw. 0,91 (Nord-Süd) betragen. Es scheint jedoch kein Nugget zu geben, das auf den Vertrauensgrenzen basiert.Parameterschätzungen für feste Effekte zeigen einen signifikanten negativen Effekt (-0,025) auf die Wasserdrainage der Salzdicke.
Ich passe das Modell an, indem ich den Nugget-Effekt entferne.
Results using spatial anisotropic power without nugget Ergebnisse unter Verwendung der räumlichen anisotropen Leistung ohne Nugget
Wir stellen einige geringfügige Änderungen fest: Die geschätzten räumlichen Korrelationen betragen 0,86 bzw. 0,82, und die Wirkung der Salzdicke beträgt -0,021. Beim Vergleich der Anpassungsgüte mit AICc ist das zweite Modell etwas besser, da seine AICs kleiner sind (84,7 vs. 86,4).
Um die Existenz einer räumlichen Korrelation formal zu testen, passen wir ein unabhängiges Fehlermodell an, indem wir auswählen Restwert als die Struktur (dh unter der Annahme keiner räumlichen Korrelation). Die Differenz im Residual-Log-Likelihood-Wert von -2 zwischen den beiden Modellen bildet einen χ2-Likelihood-Quotienten-Test. Die Residual-Log-Wahrscheinlichkeit von -2 aus dem unabhängigen Fehlermodell beträgt 94,07, die Differenz beträgt also 13,72 (= 94,07-80,35). Dies ergibt einen p-Wert von 0,001 für DF=2. Daher wird an dieser Stelle eine signifikante räumliche Korrelation gefunden.
Zusammenfassung
Hoffentlich haben diese Beispiele die Vielseitigkeit linearer gemischter Modelle und die einfache Anpassung eines gemischten Modells mit JMP veranschaulicht. Bevor ich schließe, möchte ich einige allgemeine Tipps geben.
- Um ein gemischtes Modell auszuführen, müssen Daten in einem „großen und dünnen“ Format organisiert werden, in dem mehrere Maße einer Antwort in einer einzigen Spalte gestapelt werden. Wenn Ihre Daten in einem „kurzen und breiten“ Format vorliegen, verwenden Sie die JMP-Tabellenfunktion Stapel zu transponieren.
- Folge dem JMP-Anforderungen für wiederholte Kovarianzstrukturen bei der Eingabe von Wiederholungs- und Betreffspalten.http://www.jmp.com/support/help/Launch_the_Mixed_Model_Personality.shtml#1013652
- Probieren Sie verschiedene Kovarianzstrukturen aus und bewerten Sie verschiedene Modelle, indem Sie AICc oder BIC vergleichen. Je kleiner der AICc (oder BIC), desto besser passt ein Modell.Ceteris paribus , ein sparsames Modell ist besser.
- Ein unabhängiges Fehlermodell (dh ein Modell mit nur festen Effekten) kann als Basismodell dienen, um einen χ2-Likelihood-Quotienten-Test auf das Vorhandensein einer Kovarianz-e-Struktur durchzuführen.
- Denken Sie daran, dass, wenn sowohl zufällige Effekte als auch wiederholte Effekte in ein Modell einbezogen werden, häufig nicht genügend Daten vorhanden sind, um beide Effekte abzuschätzen.
