马克·贝利（ @马克贝利) SAS 教育和培训首席分析培训顾问
克莱·巴克（ @clay_barker ) JMP 高级研究统计师开发人员，SAS
注意：本文最初发表于 JMPer Cable，第 28 期，2013 年夏季。 它已进行更新，以反映自 2013 年以来 JMP 所做的更改。
在许多情况下，对变量变化的响应是线性的。 在其他情况下，响应不是线性的。 非线性响应有时可以通过参数为线性的模型（线性模型）来近似。 这些模型是项的线性组合，其中参数单独出现在每项中并且仅作为系数。 非线性响应的常见线性模型是多项式函数，例如：
y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β12 x1x2 + β11x12 + β22 x22。
最后，非线性响应的其他情况需要参数非线性的模型（非线性模型）。 这样的模型有无数种，例如 y = α + β e−γ x ，它们被广泛应用于各个学科。
让我们看看 Fit Curve 平台处理两种常见情况：
- 确定指数衰减的有效期（保质期）
- 使用生物测定或免疫测定中使用的逻辑校准曲线将样品与标准品进行比较。
氯降解示例
氯降解数据表（此处显示）包含 42 批次消毒剂在不同期限（制备后的天数）下的氯含量测量值。 您需要确定水平何时低于规格下限 0.4 (LSL)。
跟随：
- 选择分析 > 专业建模 > 拟合曲线。
- 选择浓度并单击 Y，响应。
- 选择“年龄”，单击“X”、“回归量”，然后单击“确定”。
从散点图可以明显看出氯含量随时间的下降（图 1）。
Figure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fits图 1 具有探索性拟合的散点图
您可以使用“拟合曲线”标题栏上的红色小三角菜单中的命令探索数据的形状。 该变化不是线性的，因此从二次多项式开始。
- 选择多项式 > 拟合二次。
该模型捕获了曲率，但随着年龄增加超过最低点，抛物线形状必须出现，但未来氯含量不会上升。 接下来尝试一个简单的增长（衰减）模型。
- 选择指数增长和衰减 > 拟合指数 2P。
随着年龄趋向无穷大，这条曲线被迫为零——它的表现比多项式更差。 现在使用渐近线非零的增长曲线。
- 选择指数增长和衰减 > 拟合指数 3P。
这种选择提供了一个合理的模型。
比较型号
模型比较报告（图 2）提供了基本的性能指标。 型号列表按 AICc 排序。 最好的模型具有最小的 AICc。 请注意，第二好的模型的 AICc 高出 7.8，这表明数据的支持要少得多。
Figure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reports图2 模型比较报告
散点图下方的预测模型报告（此处所示）提供了模型的形式以及适合数据的每个模型的参数解释。
渐近线表明退化在给定的 LSL（较低规格水平）0.40 附近停止。负增长率表示每天衰减 0.125 个单位。 注：尺度与渐近线之和表示起始水平，0.394464+0.2653471=0.6598111。
逆预测
您可以执行逆向预测来确定到期时间。 从指数 3P 标题栏上的红色小三角中选择自定义逆预测。 使用 0.95 作为置信水平。 从下拉菜单中选择“Lower One Sided”，输入“浓度”0.40，然后单击“确定”。图 3 显示了拟合的衰减曲线和点估计。 95% 置信区间下限表明消毒剂必须在 26 天后丢弃并重新配制。
Figure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiry图 3 用于估计到期时间的反转预测图
多个样品
现在观看拟合曲线平台联合管理计划在剂量反应曲线分析中使用特殊功能。 标准品和样品剂量反应分析数据表。 图 4 包括样品类型（“标准”或“样品”）的指示符（样品）、浓度（Conc (ug/mL)）和对数浓度（Log Conc）、三个标准化重复测定以及平均测定（平均测定）。
Figure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data table图4 剂量反应分析数据表的部分列表
跟随：
- 选择分析 > 专业建模 > 拟合曲线。
- 选择平均测定并单击 Y，响应。
- 选择对数浓度并单击 X，回归量。
- 选择示例，单击分组，然后单击确定。
您可以在图 5 中看到，两个样本的数据分别绘制在一起和单独绘制（蓝色是“标准”，红色是“样本”）。
Figure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log Conc图 5 按 Log Conc 的平均测定的总图和分组图
现在使用逻辑模型拟合数据：
- 从拟合曲线标题栏上的红色小三角中选择 Sigmoid 曲线 > Logistic 曲线 > 拟合 Logistic 3P。
该模型考虑了两条渐近线，这对于多项式模型来说是不可能的。 考虑一个更复杂的模型：
- 从拟合曲线标题栏上的红色小三角中选择 Sigmoid 曲线 > Logistic 曲线 > 拟合 Logistic 4P。
该模型提供的额外灵活性更适合数据。
添加另一个参数可以实现渐近线的不对称性：
- 从拟合曲线标题栏上的红色小三角中选择 Sigmoid 曲线 > Logistic 曲线 > 拟合 Logistic 5P。
查看图 6 中的模型比较表，可以看到最好的模型是 Logistic 4P。 Logistic 3P 模型基本上没有数据支持（增量 AICc 为 92.80 – 60.38 = 32.42）。 更灵活的 Logistic 5P 模型并没有提供任何真正的改进。 AICc 权重有助于模型选择（图 6）。 您可以将此情况解释为，假设三个拟合模型之一为真，则 Logistic 4P 为真模型的可能性为 83% (AICcWeight = .8259)。
Figure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P model图 6 Logistic 4P 模型的 AICc 结果
由于样本变量是分析中的组变量，因此每个组都有单独的参数估计值集。
Figure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each group图 7 每组的参数估计
图 8 显示了基于拟合模型的曲线，这些曲线绘制在一起并为每组单独绘制。 样本的下渐近线似乎与标准的下渐近线不同。
Figure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample Groups图 8 总平均含量和样品组的拟合曲线
样品和标准曲线看起来具有相似的形状。 如果是这样，则可以估计相对效力。 为此，请从 Logistic 4P 标题栏上的红色小三角菜单中选择测试并行性。
提供了两个假设检验。 两项测试都将完整模型与简化模型进行比较。 完整模型分别估计样本和标准的每个参数。
简化模型估计组合数据的每个参数（拐点除外）。 在此示例中，F 检验显着 (0.0219)，但 χ2 检验在 α=0.05 时不显着。 F 检验结果可能是 I 类错误，或者可能表明样本和标准的下渐近线不同。
当判断曲线平行时可以使用相对效力。 在这种情况下，样品的效力与标准品的效力相似。 效力是对应于 EC50 响应的浓度对数。
JMP 提供了一种更新的方法来决定一般的相对形状，特别是并行性，该方法基于每个参数的等效性测试。
较新的方法基于两种单侧 t= 检验 (TOST) 方法，但它以图形方式呈现并带有置信区间，以便于解释。 样品和标准的形状参数估计值之比的置信区间应在被视为等效的范围内。 拐点参数可能超出此范围，表明相对效力发生变化。
要查看此方法：
- 从 Logistic 4P 标题栏上的红色小三角菜单中选择等效测试。
- 选择“标准”作为参考组，然后单击“确定”。
两个单侧 t= 检验确定参数估计值是否超出默认的 25% 比率差异。很明显，下渐近线与标准不等效，因此这些曲线不平行（图 9）。 等价汇总表证实了这一点。
Figure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence Test图 9 TOST 等价测试的图形结果
参考
Burnham, Kenneth P. 和 Anderson, David R. (2002) 模型选择和多模型推理：实用信息理论方法（第二版），施普林格，纽约州，第 70 页。
SAS Institute Inc. (2012)，建模和多元方法，北卡罗来纳州卡里：SAS Institute Inc.
