马克·贝利 ( @Mark_Bailey ) SAS 教育和培训首席分析培训顾问
粘土巴克 ( @clay_barker ) JMP 高级研究统计开发人员，SAS
注意：本文最初出现在 JMPer Cable，第 28 期，2013 年夏季。 它已更新以反映自 2013 年以来对 JMP 所做的更改。
在许多情况下，对变量变化的响应是线性的。 在其他情况下，响应不是线性的。 非线性响应有时可以通过参数中的线性模型（线性模型）来近似。 这些模型是项的线性组合，其中参数在每个项中单独出现并且仅作为系数出现。 非线性响应的常见线性模型是多项式函数，例如：
y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β12 x1x2 + β11x12 + β22 x22。
最后，非线性响应的其他情况需要一个参数为非线性的模型（非线性模型）。 有无数这样的模型，例如 y = α + β e−γ x ，它们用于广泛的学科。
让我们看看 Fit Curve 平台处理两种常见情况：
- 以指数衰减确定到期（保质期）
- 将样品与标准品与生物测定或免疫测定中使用的逻辑校准曲线进行比较。
氯降解示例
氯降解数据表（此处显示）包含 42 批消毒剂在不同年龄（制备后的天数）的氯含量测量值。 您需要确定该水平何时低于较低的规格水平 0.4 (LSL)。
跟随：
- 选择分析 > 专业建模 > 拟合曲线。
- 选择浓度并单击 Y，响应。
- 选择年龄，单击 X，回归器，然后单击确定。
从散点图（图 1）可以明显看出氯含量随时间的下降。
Figure 1 Scatterplot with exploratory fits图 1 具有探索性拟合的散点图
您可以使用拟合曲线标题栏上的红色小三角菜单中的命令探索数据的形状。 变化不是线性的，所以从二次多项式开始。
- 选择多项式 > 拟合二次。
该模型捕获了曲率，但抛物线形状必须随着年龄增加超过最小点而出现，但未来氯含量不会上升。 接下来尝试一个简单的增长（衰减）模型。
- 选择指数增长和衰减 > 拟合指数 2P。
随着年龄趋于无穷大，这条曲线被迫为零——它的表现比多项式差。 现在使用具有非零渐近线的增长曲线。
- 选择指数增长和衰减 > 拟合指数 3P。
这种选择提供了一个合理的模型。
比较模型
模型比较报告（图 2）提供了基本的性能指标。 模型列表按 AICc 排序。 最好的模型具有最小的 AICc。 请注意，第二好的模型的 AICc 高出 7.8，这表明数据的支持要少得多。
Figure 2 Model Comparison reports图 2 模型比较报告
散点图下方的预测模型报告（此处显示）提供模型的形式以及拟合数据的每个模型的参数解释。
渐近线表示退化在给定的 LSL（较低规格水平）0.40 附近停止。负增长率表示衰减为每天 0.125 个单位。 注：刻度与渐近线之和表示起始水平，0.394464+0.2653471=0.6598111。
逆向预测
您可以执行逆向预测来确定到期时间。 从指数 3P 标题栏上的红色三角形中选择自定义逆预测。 使用 0.95 作为置信水平。 从下拉菜单中选择 Lower One Sided，输入 0.40 作为 Concentration 并单击 OK。图 3 显示了拟合的衰减曲线和点估计。 较低的 95% 置信区间表明消毒剂必须在 26 天后丢弃并重新制备。
Figure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiry图 3 用于估计到期的反转预测图
多个样本
现在观看拟合曲线平台JMP在剂量反应曲线分析中使用特殊功能。 标准和样品剂量反应分析数据表。 图 4 包括样品类型（“标准”或“样品”）、浓度 (Conc (ug/mL)) 和对数浓度 (Log Conc)、三个标准化重复测定和平均测定 (平均分析）。
Figure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data table图 4 剂量反应分析数据表的部分列表
跟随：
- 选择分析 > 专业建模 > 拟合曲线。
- 选择平均分析并单击 Y，响应。
- 选择 Log Conc 并单击 X，回归器。
- 选择 Sample，单击 Group，然后单击 OK。
您在图 5 中看到，两个样本的数据被绘制在一起并单独绘制（蓝色是“标准”，红色是“样本”）。
Figure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log Conc图 5 Log Conc 的均值分析的总图和组图
现在使用逻辑模型拟合数据：
- 从拟合曲线标题栏上的红色三角形中选择 Sigmoid 曲线 > Logistic 曲线 > 拟合 Logistic 3P。
该模型考虑了两个渐近线，这对于多项式模型是不可能的。 考虑一个更复杂的模型：
- 从 Fit Curve 标题栏上的红色三角形中选择 Sigmoid Curves > Logistic Curves > Fit Logistic 4P。
该模型提供的额外灵活性更适合数据。
添加另一个参数允许渐近线中的不对称性：
- 从 Fit Curve 标题栏上的红色三角形中选择 Sigmoid Curves > Logistic Curves > Fit Logistic 5P。
查看图 6 中的模型比较表，可以看出最佳模型是 Logistic 4P。 Logistic 3P 模型基本上没有数据支持（delta AICc 为 92.80 – 60.38 = 32.42）。 更灵活的 Logistic 5P 模型并没有提供任何真正的改进。 AICc 权重有助于模型选择（图 6）。 您可以将此案例解释为，假设三个拟合模型之一为真，则 Logistic 4P 为真模型的可能性为 83% (AICcWeight = .8259)。
Figure 6 AICc results for Logistic 4P model图 6 Logistic 4P 模型的 AICc 结果
由于样本变量是分析中的组变量，因此每个组都有单独的参数估计集。
Figure 7 Parameter estimates for each group图 7 每组的参数估计
图 8 显示了基于拟合模型绘制的曲线，并为每组单独绘制。 看起来样本的下渐近线与标准的不同。
Figure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample Groups图 8 总平均分析和样品组的拟合曲线
样品和标准曲线似乎具有相似的形状。 如果是这样，可以估计相对效力。 为此，请从 Logistic 4P 标题栏上的红色小三角菜单中选择测试并行度。
提供了两个假设检验。 两个测试都将完整模型与简化模型进行比较。 完整模型分别为样本和标准估计每个参数。
简化模型估计组合数据的每个参数，拐点除外。 在此示例中，F 检验显着 (0.0219)，但 χ2 检验不在 α=0.05 处。 F 检验结果可能是 I 类错误，也可能表明样本和标准的下渐近线不同。
当曲线被判断为平行时，可以使用相对效力。 在这种情况下，样品的效力与标准品的效力相似。 效力是对应于 EC50 响应的对数浓度。
JMP 提供了一种更新的方法来确定总体上的相对形状，特别是并行度，该方法基于每个参数的等效性测试。
较新的方法基于两个单侧 t=tests (TOST) 方法，但它以图形方式显示，带有置信区间以便于解释。 样品和标准的形状参数估计值之比的置信区间应在被视为等效的范围内。 拐点参数可能超过此范围，表明相对效力发生变化。
要查看此方法：
- 从 Logistic 4P 标题栏上的红色小三角菜单中选择等价检验。
- 选择“标准”作为参考组，然后单击“确定”。
两个单侧 t=检验确定参数估计值是否超过默认的 25% 的比率差异。很明显，下渐近线与标准不等价，因此这些曲线不平行（图 9）。 等效汇总表证实了这一点。
Figure 9 Graphical Results of TOST Equivalence Test图 9 TOST 等价检验的图形结果
参考
Burnham, Kenneth P. 和 Anderson, David R. (2002) 模型选择和多模型推理：实用信息理论方法（第二版），纽约州施普林格，第 70 页。
SAS Institute Inc. (2012)，建模和多变量方法，北卡罗来纳州卡里：SAS Institute Inc.
