Bienvenue dans ma série sur la modélisation par équations structurelles. Mon premier message a présenté la modélisation par équation structurelle et a brièvement expliqué où elle a été utilisée dans le passé, ainsi que où elle pourrait être utilisée à l'avenir. Dans ce deuxième article, mon objectif est d'expliquer l'un des principaux concepts sous-jacents utilisés dans le SEM, les alternatives typiques et pourquoi nous utilisons les concepts que nous utilisons dans le SEM. Le concept sous-jacent couvert dans cet article est le sujet des techniques de réduction dimensionnelle et comment elles sont appliquées dans SEM ainsi que les avantages de ces méthodes. Je suppose que le lecteur a une certaine connaissance préalable de la réduction dimensionnelle, donc l'accent principal de cet article sera sur la façon dont les techniques sont différentes et ce qui rend certaines techniques meilleures pour SEM.
Réduction dimensionnelle
Alors, qu'est-ce que la réduction dimensionnelle et pourquoi l'utilisons-nous ? La réduction dimensionnelle est une technique utilisée en science des données pour réduire les données d'un espace de grande dimension à un espace de faible dimension. En d'autres termes, nous essayons de trouver un moyen de représenter nos données avec un plus petit nombre de variables tout en conservant les informations significatives de l'ensemble de données plus large.
Une réduction dimensionnelle est effectuée pour rendre un modèle plus simple des données. Généralement, dans les systèmes, les variables qui ont été mesurées sont en corrélation avec d'autres causes sous-jacentes, et il est généralement possible de réduire le modèle à ces causes sous-jacentes. Il existe deux méthodes principales pour effectuer une réduction dimensionnelle : l'analyse en composantes principales (ACP) et l'analyse factorielle (FA). Ces deux méthodes sont similaires mais présentent quelques différences uniques, que je vais explorer dans cet article.
L'image ci-dessous montre un exemple de la façon dont la réduction dimensionnelle peut être utilisée avec un ensemble de données. Disons que les données sont regroupées dans les cercles verts et sont initialement en trois dimensions de X, Y et Z. Pour réduire l'ensemble de données, nous pouvons essayer de supprimer certaines des dimensions les moins importantes des données telles que l'axe Z, ce qui donne le tracé XY qui contient toujours tous nos points de données. Une alternative à cette méthode consiste à former un tracé ZY, mais en réduisant ainsi les dimensions du modèle, nous perdons beaucoup de données de valeur. Comme vous pouvez le voir dans cet exemple, trouver la technique de réduction dimensionnelle optimale est essentiel pour préserver les informations importantes dans l'ensemble de données, et certaines données sont toujours perdues.
Contexte de l'étude de cas
Pour aider à l'explication de cette idée compliquée, j'utiliserai une étude de cas pour aider à comprendre ce que nous faisons, en utilisant un ensemble de données réelles. Dans cette étude de cas, nous examinons 78 solvants différents et diverses données de propriétés mesurées sur chaque solvant. Il existe quatre variables mesurées pour chaque solvant : point de fusion, point d'ébullition, lipophilicité et H 2 O Solubilité. Les cinq premiers solvants et leurs valeurs mesurées sont indiqués ci-dessous :
L'objectif de cette étude de cas est de réduire la dimensionnalité de nos données afin de simplifier la sélection des solvants pour les chimistes. Pour ce faire, nous visons à réduire les quatre mesures de courant en deux composantes ou facteurs principaux. Les idées de composantes et de facteurs principaux sont explorées ci-dessous.
Analyse des composants principaux
Une composante principale est une nouvelle variable qui est construite comme une combinaison linéaire ou un mélange des variables initiales. L'objectif de l'ACP est de dériver un petit nombre de ces composants qui capturent autant que possible la variabilité d'origine des données. L'objectif final est de trouver la forme la plus réduite du système qui conserve toujours les informations importantes. L'ACP est particulièrement utile lorsqu'il existe déjà une forte corrélation entre les variables d'origine dans le système, car cela signifie qu'il existe probablement une cause sous-jacente qui corrèle les variables.
L'analyse en composantes principales est la méthode typique de réduction dimensionnelle appliquée en ingénierie. La principale raison en est que les mesures prises en ingénierie ont presque toujours une erreur de mesure associée. En effectuant l'ACP, les principaux composants utilisés pour définir le système peuvent être trouvés, qui incluent les erreurs de mesure ainsi que les variations provenant d'autres sources.
L'ACP peut être effectuée dans la plate-forme d'analyse en composantes principales de JMP et JMPPro . Cette plateforme est démontrée ici en utilisant les variables de chacun de nos solvants dans notre étude de cas. Pour paramétrer l'ACP, il faut sélectionner les quatre variables puis les ajouter à la plateforme, puis appuyer simplement sur « OK ». JMP calcule ensuite automatiquement les composants principaux du système et donne les valeurs propres pour chaque composant ainsi qu'un graphique de chargement montrant comment les variables d'origine sont corrélées aux composants principaux.
À partir des valeurs propres, nous pouvons voir que la composante principale 1 est responsable de la majeure partie de la variation dans les données, la composante principale 2 représentant une partie moindre mais toujours significative. Les autres composantes, avec une valeur propre inférieure à 1, expliquent chacune moins de variation que chacune des variables d'origine. Le diagramme de chargement à droite montre comment les variables d'origine s'alignent sur les composantes principales 1 et 2 (axes horizontal et vertical, respectivement). Cela signifie que les variables qui s'alignent sur chacun des axes de la composante principale sont corrélées entre elles via la composante principale.
Par exemple, dans cette étude de cas, nous voyons que le point d'ébullition et le point de fusion sont regroupés le long de l'axe du composant principal 2 ; cela signifie que ces deux variables sont fortement corrélées. D'un point de vue chimique, nous supposerions que c'est le cas puisque les points de fusion et les points d'ébullition des produits chimiques sont généralement corrélés aux forces entre les molécules. Cela signifie que le composant principal 2 est susceptible d'être l'attraction intermoléculaire entre les molécules.
En regardant l'axe de la composante principale 1 de la même manière, on constate que la lipophilie et H 2 Les solubilités d'O sont fortement corrélées avec le composant principal 1, mais inversement corrélées entre elles puisqu'elles se situent de part et d'autre de l'axe. Les variables à angle droit sur le graphique n'ont par conséquent aucune corrélation. Dans un contexte chimique, on peut supposer que le composant principal 1 est susceptible d'être la polarité des molécules. En effet, la polarité moléculaire affecte si une molécule peut se dissoudre dans un solvant polaire ou non polaire ; puisque c'est ce que H 2 O la solubilité et la lipophilicité sont des mesures de, il n'est pas surprenant qu'elles soient fortement corrélées avec ce composant principal. Nous savons également qu'une molécule peut se dissoudre quelle que soit sa taille moléculaire, ce qui signifie que ces deux mesures ne doivent pas être corrélées avec les points d'ébullition ou de fusion, que nous voyons dans le diagramme de charge.
Analyse factorielle
L'analyse factorielle est très similaire à l'ACP mais présente quelques différences importantes. La principale différence de cette méthode par rapport à l'ACP vient de la définition différente d'un facteur par rapport à une composante principale.
Une composante principale est une forme réduite des variables observées qui vise à saisir autant de variation que possible dans les données. Cela signifie qu'une composante principale n'est pas nécessairement une variable « réelle » puisqu'elle contient l'erreur de mesure des variables observées. Les facteurs de FA sont cependant légèrement différents. Un facteur est également appelé une variable latente, qui est un concept important en SEM. Une variable latente peut être considérée comme la raison sous-jacente (ou le facteur) responsable des variables observées dans le système.
En guise de remarque, un autre mot pour les variables observées utilisées dans SEM est les variables manifestes, et c'est ainsi que je ferai référence à ces variables à partir de maintenant. De cette façon, dans FA, les variables manifestes peuvent être considérées comme le résultat mesuré de la « vraie » variable latente, qui est non mesurable dans le système.
L'AF peut être effectuée via la plate-forme d'analyse factorielle de JMP Pro. Cela se fait presque de la même manière que dans la plate-forme PCA, nous effectuons donc la même analyse avec les mêmes quatre facteurs. La seule différence dans cette plateforme est qu'il y a plus d'options de personnalisation liées à l'analyse factorielle ; par souci de simplicité, ces options seront toutes conservées par défaut.
À partir de la plate-forme, nous constatons qu'il existe deux facteurs principaux. Ces facteurs sont tracés sur le graphique de chargement ci-dessus pour montrer le pourcentage de variation que chaque facteur représente. Bien que cette intrigue et celle qui a été trouvée à partir de la plate-forme PCA se ressemblent, elles ne sont pas identiques.
Les principales différences peuvent être observées dans la quantité de variance que chaque facteur ou composante principale représente ; ceci est reporté sur chaque axe. Une autre différence est le point exact où chacune de nos variables est tracée sur les deux graphiques ; cela montre qu'ils sont corrélés différemment aux facteurs et composantes principales. Ces différences sont dues aux différences inhérentes dans la façon dont nous définissons un facteur et une composante principale, comme expliqué ci-dessus. Le principal exemple en est la position de la variable du point d'ébullition. Dans l'analyse PCA, il correspond presque exactement au point de fusion. Dans l'analyse FA, le point d'ébullition et le point de fusion ne sont pas autant corrélés. Cela démontre en outre que le facteur 2 et la composante principale 2 sont deux idées différentes.
Pour mettre cela simplement dans un contexte chimique, le composant principal 1 est une mesure de TOUTES les interactions intermoléculaires, c'est pourquoi le point d'ébullition et le point de fusion sont presque identiques sur ce diagramme de chargement. D'autre part, sur le diagramme de chargement de l'analyse factorielle, nous voyons que les points de fusion et d'ébullition ne sont plus les mêmes. Cela est probablement dû au fait que le facteur trouvé dans le FA n'est que les forces de Van der Waal, qui sont la plus grande contribution de force dans les forces intermoléculaires. Pour diverses raisons chimiques, cela signifie que ce facteur joue un rôle plus important dans le point de fusion d'une substance, mais lorsqu'il s'agit du point d'ébullition, d'autres forces intermoléculaires entrent en jeu. Ces autres forces ne sont pas prises en compte dans le facteur 1, mais dans la composante principale 1, en raison de l'erreur de mesure, qui est capturée par l'ACP.
En guise de conclusion sur cette idée, nous voyons sur l'axe de chaque facteur que chaque facteur explique moins de variation que les composantes principales. Il fallait s'y attendre puisque les données utilisées pour construire le modèle étaient empiriques et contiennent donc une erreur de mesure. Par conséquent, il est logique que les principales composantes (qui contiennent une erreur de mesure) expliquent davantage la variation des données d'origine.
Réduction dimensionnelle en SEM
Bien que l'ACP et la FA soient des concepts compliqués qui méritent des livres à part entière pour les comprendre à fond, ce que nous pouvons retenir de l'exploration de ces sujets, c'est que la FA donne des variables latentes qui ne contiennent aucune erreur, alors que l'ACP donne des composants principaux qui incluent d'autres sources d'erreur. La deuxième remarque importante est que dans FA, la variable latente produit les variables manifestes, alors que dans PCA, la composante principale résulte de la « simplification » des variables manifestes.
Les deux points sont visualisés dans le diagramme ci-dessus, qui montre les différences entre PCA et FA. En termes de compréhension du système sous-jacent, FA est la meilleure méthode. C'est parce que les composants principaux trouvés dans PCA ne sont pas des variables "réelles" qui affectent le système. Ce ne sont que des paramètres ajustés au modèle. Cela signifie que l'ACP est toujours utile mais a de bien meilleures applications dans d'autres domaines tels que la modélisation prédictive, car cela peut conduire à un modèle mieux ajusté. Par conséquent, dans SEM, nous utilisons FA car il permet une compréhension plus complète des causes sous-jacentes des variables manifestes dans un système. De cette façon, en utilisant SEM, nous pouvons quantifier les variables latentes par régression sur les variables manifestes. En fait, cette idée constitue la base du diagramme de chemin, qui est un concept clé en SEM que je couvrirai dans mon prochain article.
J'espère que cela vous a donné un aperçu des techniques de réduction dimensionnelle et pourquoi ces techniques sont et ne sont pas utilisées dans SEM. Une idée intéressante au sein du SEM que j'explorerai dans les prochains articles de blog est le cas particulier du SEM de l'analyse factorielle confirmatoire (CFA), qui n'est essentiellement qu'une méthode d'utilisation de l'analyse factorielle tout en mettant en place un SEM. Plus à ce sujet plus tard.
