Willkommen zurück zu meiner Serie über Strukturgleichungsmodellierung. Mein erster Beitrag führte in die Strukturgleichungsmodellierung ein und erläuterte kurz, wo sie in der Vergangenheit eingesetzt wurde und wo sie in Zukunft eingesetzt werden könnte. In diesem zweiten Beitrag möchte ich eines der wichtigsten zugrunde liegenden Konzepte erklären, die im SEM verwendet werden, typische Alternativen und warum wir die Konzepte verwenden, die wir im SEM verwenden. Das zugrunde liegende Konzept, das in diesem Beitrag behandelt wird, ist das Thema der Dimensionsreduktionstechniken und wie sie im SEM angewendet werden, zusammen mit den Vorteilen dieser Methoden. Ich gehe davon aus, dass der Leser über Vorkenntnisse in der Dimensionsreduktion verfügt, daher wird der Schwerpunkt dieses Beitrags darauf liegen, wie sich die Techniken unterscheiden und was bestimmte Techniken für SEM besser macht.
Dimensionsreduktion
Also, was ist Dimensionsreduktion und warum verwenden wir sie? Dimensionsreduktion ist eine Technik, die in der Datenwissenschaft verwendet wird, um die Daten von einem hochdimensionalen Raum in einen niedrigdimensionalen Raum zu reduzieren. Mit anderen Worten, wir versuchen, einen Weg zu finden, unsere Daten mit einer kleineren Anzahl von Variablen darzustellen und gleichzeitig die aussagekräftigen Informationen aus dem größeren Datensatz beizubehalten.
Eine Dimensionsreduktion wird durchgeführt, um ein einfacheres Modell der Daten zu erstellen. Typischerweise korrelieren in Systemen die gemessenen Variablen mit anderen zugrunde liegenden Ursachen, und es ist normalerweise möglich, das Modell auf diese zugrunde liegenden Ursachen zu reduzieren. Es gibt zwei Hauptmethoden zur Durchführung der Dimensionsreduktion: Hauptkomponentenanalyse (PCA) und Faktoranalyse (FA). Diese beiden Methoden sind ähnlich, weisen jedoch einige einzigartige Unterschiede auf, die ich in diesem Beitrag untersuchen werde.
Das Bild unten zeigt ein Beispiel dafür, wie die Dimensionsreduktion mit einem Datensatz verwendet werden kann. Angenommen, die Daten sind innerhalb der grünen Kreise geclustert und liegen anfänglich in den drei Dimensionen X, Y und Z vor. Um den Datensatz zu reduzieren, können wir versuchen, einige der weniger wichtigen Dimensionen aus den Daten zu entfernen, wie z. B. die Z-Achse, die das XY-Diagramm ergibt, das immer noch alle unsere Datenpunkte enthält. Eine Alternative zu dieser Methode besteht darin, ein ZY-Diagramm zu erstellen, aber wenn wir die Dimensionen des Modells auf diese Weise reduzieren, verlieren wir viele Wertdaten. Wie Sie an diesem Beispiel sehen können, ist das Finden der optimalen Dimensionsreduktionstechnik von entscheidender Bedeutung, um die wichtigen Informationen im Datensatz zu erhalten, und einige Daten gehen immer verloren.
Hintergrund der Fallstudie
Um bei der Erklärung dieser komplizierten Idee zu helfen, werde ich eine Fallstudie verwenden, um zu verstehen, was wir tun, indem ich einen realen Datensatz verwende. In dieser Fallstudie betrachten wir 78 verschiedene Lösungsmittel und verschiedene gemessene Eigenschaftsdaten für jedes Lösungsmittel. Für jedes Lösungsmittel gibt es vier Messgrößen: Schmelzpunkt, Siedepunkt, Lipophilie und H 2 O Löslichkeit. Die ersten fünf Lösungsmittel und ihre gemessenen Werte sind nachstehend aufgeführt:
Das Ziel dieser Fallstudie ist es, die Dimensionalität unserer Daten zu reduzieren, um die Lösungsmittelauswahl für die Chemiker zu vereinfachen. Dazu zielen wir darauf ab, die vier Strommessungen auf zwei Hauptkomponenten oder Faktoren zu reduzieren. Die Ideen der Hauptkomponenten und -faktoren werden unten untersucht.
Hauptkomponentenanalyse
Eine Hauptkomponente ist eine neue Variable, die als lineare Kombination oder Mischung der Ausgangsvariablen konstruiert wird. Der Zweck der PCA besteht darin, eine kleine Anzahl dieser Komponenten abzuleiten, die so viel wie möglich von der ursprünglichen Variabilität in den Daten erfassen. Das Endziel besteht darin, die am stärksten reduzierte Form des Systems zu finden, die dennoch die wichtigen Informationen enthält. PCA ist besonders nützlich, wenn bereits eine starke Korrelation zwischen den ursprünglichen Variablen im System besteht, da dies bedeutet, dass es wahrscheinlich eine zugrunde liegende Ursache gibt, die die Variablen korreliert.
Die Hauptkomponentenanalyse ist die typische Methode zur Dimensionsreduktion, die im Ingenieurwesen angewendet wird. Der Hauptgrund dafür ist, dass die in der Technik durchgeführten Messungen fast immer mit einem Messfehler verbunden sind. Durch die Durchführung von PCA können die Hauptkomponenten gefunden werden, die zur Definition des Systems verwendet werden, einschließlich Messfehlern sowie Abweichungen von anderen Quellen.
PCA kann in der Hauptkomponentenanalyseplattform in durchgeführt werden JMP und JMP Pro . Diese Plattform wird hier anhand der Variablen für jedes unserer Lösungsmittel in unserer Fallstudie demonstriert. Um die PCA einzurichten, müssen die vier Variablen ausgewählt und dann der Plattform hinzugefügt werden, und dann drücken Sie einfach „OK“. JMP berechnet dann automatisch die Hauptkomponenten des Systems und gibt die Eigenwerte für jede Komponente zusammen mit einem Belastungsdiagramm aus, das zeigt, wie die ursprünglichen Variablen mit den Hauptkomponenten korrelieren.
Aus den Eigenwerten können wir ersehen, dass die Hauptkomponente 1 für die meisten Schwankungen innerhalb der Daten verantwortlich ist, während die Hauptkomponente 2 einen geringeren, aber immer noch signifikanten Anteil ausmacht. Die anderen Komponenten mit einem Eigenwert kleiner als 1 tragen jeweils zu einer geringeren Streuung bei als jede der ursprünglichen Variablen. Das Ladungsdiagramm auf der rechten Seite zeigt, wie die ursprünglichen Variablen mit den Hauptkomponenten 1 und 2 (horizontale bzw. vertikale Achse) ausgerichtet sind. Das bedeutet, dass Variablen, die mit jeder der Hauptkomponentenachsen ausgerichtet sind, über die Hauptkomponente miteinander korreliert sind.
In dieser Fallstudie sehen wir beispielsweise, dass der Siedepunkt und der Schmelzpunkt entlang der Achse der Hauptkomponente 2 zusammen gruppiert sind; Dies bedeutet, dass diese beiden Variablen stark korreliert sind. Aus chemischer Sicht würden wir davon ausgehen, dass die Schmelz- und Siedepunkte von Chemikalien typischerweise mit den Kräften zwischen Molekülen korrelieren. Dies bedeutet, dass Hauptkomponente 2 wahrscheinlich die intermolekulare Anziehung zwischen Molekülen ist.
Die gleiche Betrachtung der Achse der Hauptkomponente 1 zeigt uns, dass Lipophilie und H 2 O-Löslichkeit sind stark mit der Hauptkomponente 1 korreliert, aber umgekehrt zueinander korreliert, da sie auf beiden Seiten der Achse liegen. Variablen im rechten Winkel auf dem Graphen haben folglich keine Korrelation. Im chemischen Zusammenhang können wir davon ausgehen, dass die Hauptkomponente 1 wahrscheinlich die Polarität der Moleküle ist. Dies liegt daran, dass die molekulare Polarität beeinflusst, ob sich ein Molekül in einem polaren oder unpolaren Lösungsmittel lösen kann; denn das ist es, was H 2 O-Löslichkeit und Lipophilie sind Maße dafür, es ist nicht überraschend, dass sie stark mit dieser Hauptkomponente korrelieren. Wir wissen auch, dass sich ein Molekül unabhängig von der Molekülgröße auflösen kann, was bedeutet, dass diese beiden Messungen nicht mit den Siede- oder Schmelzpunkten korreliert werden sollten, die wir im Ladungsdiagramm sehen.
Faktorenanalyse
Die Faktorenanalyse ist der PCA sehr ähnlich, weist jedoch einige wichtige Unterschiede auf. Der Hauptunterschied dieser Methode im Vergleich zur PCA ergibt sich aus der unterschiedlichen Definition eines Faktors im Vergleich zu einer Hauptkomponente.
Eine Hauptkomponente ist eine reduzierte Form der beobachteten Variablen, die darauf abzielt, so viele Schwankungen wie möglich in den Daten zu erfassen. Das bedeutet, dass eine Hauptkomponente nicht unbedingt eine „echte“ Größe ist, da sie den Messfehler aus den beobachteten Größen enthält. Faktoren in FA sind jedoch etwas anders. Ein Faktor wird auch als latente Variable bezeichnet, was ein wichtiges Konzept in SEM ist. Eine latente Variable kann als der zugrunde liegende Grund (oder Faktor) betrachtet werden, der für die beobachteten Variablen im System verantwortlich ist.
Als Anmerkung, ein anderes Wort für beobachtete Variablen, das in SEM verwendet wird, ist manifeste Variablen, und so werde ich mich von nun an auf diese Variablen beziehen. Auf diese Weise können manifeste Variablen in FA als das gemessene Ergebnis der „echten“ latenten Variablen betrachtet werden, die im System nicht messbar ist.
FA kann über die Faktoranalyseplattform in JMP Pro durchgeführt werden. Dies geschieht auf fast die gleiche Weise wie in der PCA-Plattform, sodass wir dieselbe Analyse mit denselben vier Faktoren durchführen. Der einzige Unterschied bei dieser Plattform besteht darin, dass es mehr Anpassungsoptionen im Zusammenhang mit der Faktoranalyse gibt; Der Einfachheit halber werden diese Optionen alle als Standardwerte beibehalten.
Von der Plattform aus stellen wir fest, dass es zwei Hauptfaktoren gibt. Diese Faktoren werden im obigen Ladediagramm dargestellt, um den Prozentsatz der Variation anzuzeigen, den jeder Faktor ausmacht. Obwohl diese Darstellung und die von der PCA-Plattform gefundene ähnlich aussehen, sind sie nicht identisch.
Die Hauptunterschiede sind in der Höhe der Varianz zu sehen, die jeder Faktor oder jede Hauptkomponente berücksichtigt; dies wird auf jeder Achse gemeldet. Ein weiterer Unterschied ist der genaue Punkt, an dem jede unserer Variablen in beiden Diagrammen dargestellt wird; dies zeigt, dass sie unterschiedlich mit den Faktoren und Hauptkomponenten korrelieren. Diese Unterschiede sind auf die inhärenten Unterschiede in der Art und Weise zurückzuführen, wie wir einen Faktor und eine Hauptkomponente definieren, wie oben erläutert. Das Hauptbeispiel hierfür ist die Position der Siedepunktvariablen. In der PCA-Analyse korreliert er fast genau mit dem Schmelzpunkt. Bei der FA-Analyse korrelieren Siedepunkt und Schmelzpunkt weniger stark. Dies zeigt weiter, dass Faktor 2 und Hauptkomponente 2 zwei verschiedene Ideen sind.
Chemisch einfach ausgedrückt ist die Hauptkomponente 1 ein Maß für ALLE zwischenmolekularen Wechselwirkungen, weshalb Siedepunkt und Schmelzpunkt auf diesem Ladungsplot nahezu identisch sind. Andererseits sehen wir im Belastungsdiagramm der Faktoranalyse, dass die Schmelz- und Siedepunkte jetzt nicht gleich sind. Dies liegt wahrscheinlich daran, dass der im FA gefundene Faktor nur die Van-der-Waal-Kräfte sind, die den größten Kraftbeitrag zu den intermolekularen Kräften darstellen. Aus verschiedenen chemischen Gründen bedeutet dies, dass dieser Faktor eine größere Rolle beim Schmelzpunkt einer Substanz spielt, aber wenn es um den Siedepunkt geht, kommen andere zwischenmolekulare Kräfte ins Spiel. Diese anderen Kräfte werden nicht in Faktor 1 berücksichtigt, sind aber aufgrund des Messfehlers, der durch PCA erfasst wird, in Hauptkomponente 1 enthalten.
Als Schlussfolgerung zu dieser Idee sehen wir auf der Achse jedes Faktors, dass jeder Faktor weniger für die Variation verantwortlich ist als die Hauptkomponenten. Dies ist zu erwarten, da die zum Erstellen des Modells verwendeten Daten empirisch waren und daher Messfehler enthalten. Folglich ist es sinnvoll, dass die Hauptkomponenten (die Messfehler enthalten) einen größeren Teil der Variation in den Originaldaten ausmachen würden.
Dimensionsreduktion in SEM
Obwohl PCA und FA beide komplizierte Konzepte sind, die eigene Bücher verdienen, um sie gründlich zu verstehen, können wir aus der Untersuchung dieser Themen mitnehmen, dass FA latente Variablen liefert, die keinen Fehler enthalten, während PCA Hauptkomponenten liefert, die andere enthalten Fehlerquellen. Die zweite wichtige Anmerkung ist, dass bei FA die latente Variable die manifesten Variablen erzeugt, während bei PCA die Hauptkomponente ein Ergebnis der „Vereinfachung“ der manifesten Variablen ist.
Beide Punkte sind im obigen Diagramm visualisiert, das die Unterschiede zwischen PCA und FA zeigt. In Bezug auf das Verständnis des zugrunde liegenden Systems ist FA die bessere Methode. Dies liegt daran, dass die in PCA gefundenen Hauptkomponenten keine „echten“ Variablen sind, die das System beeinflussen. Sie sind nur modellangepasste Parameter. Dies bedeutet, dass PCA immer noch nützlich ist, aber weitaus bessere Anwendungen in anderen Bereichen wie der Vorhersagemodellierung hat, da dies zu einem besser angepassten Modell führen kann. Folglich verwenden wir im SEM FA, da es ein umfassenderes Verständnis der zugrunde liegenden Ursachen der manifesten Variablen in einem System ermöglicht. Auf diese Weise können wir mithilfe von SEM die latenten Variablen durch Regression auf die manifesten Variablen quantifizieren. Tatsächlich bildet diese Idee die Grundlage des Pfaddiagramms, das ein Schlüsselkonzept in SEM ist, das ich in meinem nächsten Beitrag behandeln werde.
Ich hoffe, dass Ihnen dies einen Einblick in Dimensionsreduktionstechniken gegeben hat und warum diese Techniken in SEM verwendet werden und warum nicht. Eine interessante Idee innerhalb von SEM, die ich in zukünftigen Blogbeiträgen untersuchen werde, ist der Sonderfall der konfirmatorischen Faktorenanalyse (CFA) im SEM, die im Wesentlichen nur eine Methode zur Anwendung der Faktoranalyse bei gleichzeitiger Einrichtung eines SEM ist. Dazu später mehr.
