Bentornato alla mia serie sulla modellazione di equazioni strutturali. Il mio primo post ha introdotto la modellazione delle equazioni strutturali e ha spiegato brevemente dove è stata utilizzata in passato e dove potrebbe essere utilizzata in futuro. In questo secondo post, mi propongo di spiegare uno dei principali concetti alla base utilizzati in SEM, le alternative tipiche e perché impieghiamo i concetti che facciamo in SEM. Il concetto alla base di questo post è l'argomento delle tecniche di riduzione dimensionale e come vengono applicate in SEM insieme ai vantaggi di questi metodi. Presumo che il lettore abbia una conoscenza preliminare della riduzione dimensionale, quindi l'obiettivo principale di questo post sarà su come le tecniche sono diverse e cosa rende alcune tecniche migliori per SEM.
Riduzione dimensionale
Allora, cos'è la riduzione dimensionale e perché la usiamo? La riduzione dimensionale è una tecnica impiegata nella scienza dei dati per ridurre i dati da uno spazio dimensionale elevato a uno spazio dimensionale basso. In altre parole, tentiamo di trovare un modo per rappresentare i nostri dati con un numero minore di variabili pur conservando le informazioni significative dal set di dati più ampio.
La riduzione dimensionale viene eseguita per creare un modello più semplice dei dati. Tipicamente, nei sistemi, le variabili che sono state misurate sono correlate ad altre cause sottostanti e di solito è possibile ridurre il modello a queste cause sottostanti. Esistono due metodi principali per eseguire la riduzione dimensionale: analisi delle componenti principali (PCA) e analisi fattoriale (FA). Questi due metodi sono simili ma presentano alcune differenze uniche, che esplorerò in questo post.
L'immagine seguente mostra un esempio di come è possibile utilizzare la riduzione dimensionale con un set di dati. Supponiamo che i dati siano raggruppati all'interno dei cerchi verdi e siano inizialmente in tre dimensioni di X, Y e Z. Per ridurre il set di dati, possiamo tentare di rimuovere alcune delle dimensioni meno importanti dei dati come l'asse Z, che produce il grafico XY che contiene ancora tutti i nostri punti dati. Un'alternativa a questo metodo consiste nel formare un grafico ZY, ma riducendo le dimensioni del modello in questo modo, perdiamo molti dati di valore. Come puoi vedere da questo esempio, trovare la tecnica di riduzione dimensionale ottimale è fondamentale per preservare le informazioni importanti nel set di dati e alcuni dati vanno sempre persi.
Sfondo del caso di studio
Per aiutare con la spiegazione di questa idea complicata, userò un caso di studio per aiutare a capire cosa stiamo facendo, usando un set di dati reale. In questo caso di studio, esaminiamo 78 diversi solventi e vari dati sulle proprietà misurate su ciascun solvente. Ci sono quattro variabili misurate per ogni solvente: punto di fusione, punto di ebollizione, lipofilia e H 2 Oh solubilità. Di seguito sono riportati i primi cinque solventi e i loro valori misurati:
L'obiettivo in questo caso di studio è ridurre la dimensionalità dei nostri dati per rendere più semplice la selezione dei solventi per i chimici. Per fare ciò, miriamo a ridurre le quattro misurazioni di corrente in due componenti o fattori principali. Di seguito vengono esplorate le idee dei componenti e dei fattori principali.
Analisi del componente principale
Una componente principale è una nuova variabile costruita come una combinazione lineare o una miscela delle variabili iniziali. Lo scopo della PCA è ricavare un piccolo numero di questi componenti che catturino la maggior parte possibile della variabilità originale nei dati. L'obiettivo finale è trovare la forma più ridotta del sistema che conserva ancora le informazioni importanti. La PCA è particolarmente utile quando esiste già una forte correlazione tra le variabili originali nel sistema poiché ciò significa che esiste probabilmente una causa sottostante che correla le variabili.
L'analisi delle componenti principali è il metodo tipico per la riduzione dimensionale applicato in ingegneria. La ragione principale di ciò è che le misurazioni effettuate in ingegneria hanno quasi sempre un errore di misurazione associato. Eseguendo la PCA, è possibile trovare i componenti principali utilizzati per definire il sistema, che includono errori di misurazione e variazioni da altre fonti.
La PCA può essere eseguita nella piattaforma di analisi dei componenti principale in JMP e JMP Pro . Questa piattaforma è dimostrata qui utilizzando le variabili per ciascuno dei nostri solventi nel nostro caso di studio. Per impostare la PCA, è necessario selezionare le quattro variabili e quindi aggiungerle alla piattaforma, quindi premere semplicemente "OK". JMP quindi calcola automaticamente i componenti principali del sistema e fornisce gli autovalori per ciascun componente insieme a un diagramma di caricamento che mostra come le variabili originali sono correlate ai componenti principali.
Dagli autovalori, possiamo vedere che la componente principale 1 è responsabile della maggior parte della variazione all'interno dei dati, con la componente principale 2 che rappresenta una parte minore ma comunque significativa. Le altre componenti, con un autovalore inferiore a 1, rappresentano ciascuna una variazione minore rispetto a ciascuna delle variabili originali. Il diagramma di caricamento a destra mostra come le variabili originali si allineano con le componenti principali 1 e 2 (rispettivamente assi orizzontale e verticale). Ciò significa che le variabili che si allineano con ciascuno degli assi del componente principale sono correlate tra loro tramite il componente principale.
Ad esempio, in questo caso di studio, vediamo che il punto di ebollizione e il punto di fusione sono raggruppati insieme lungo l'asse della componente principale 2; ciò significa che queste due variabili sono altamente correlate. Da un punto di vista chimico, supponiamo che sia così poiché i punti di fusione e di ebollizione delle sostanze chimiche sono tipicamente correlati alle forze tra le molecole. Ciò significa che è probabile che il componente principale 2 sia l'attrazione intermolecolare tra le molecole.
Osservare allo stesso modo l'asse della componente principale 1 ci mostra che la lipofilia e H 2 La solubilità dell'O è altamente correlata con il componente principale 1, ma inversamente correlati tra loro poiché giacciono su entrambi i lati dell'asse. Le variabili ad angolo retto sul grafico di conseguenza non hanno alcuna correlazione. In un contesto chimico, possiamo supporre che il componente principale 1 sia probabilmente la polarità delle molecole. Questo perché la polarità molecolare influenza se una molecola può dissolversi in un solvente polare o non polare; poiché questo è ciò che H 2 O solubilità e lipofilia sono misure di, non sorprende che siano altamente correlate con questo componente principale. Sappiamo anche che una molecola può dissolversi indipendentemente dalle dimensioni molecolari, il che significa che queste due misurazioni non dovrebbero essere correlate con i punti di ebollizione o di fusione, che vediamo nel diagramma di carico.
Analisi fattoriale
L'analisi fattoriale è molto simile alla PCA ma presenta alcune differenze importanti. La principale differenza di questo metodo rispetto al PCA deriva dalla diversa definizione di un fattore rispetto a una componente principale.
Una componente principale è una forma ridotta delle variabili osservate che mira a catturare quanta più variazione possibile nei dati. Ciò significa che una componente principale non è necessariamente una variabile "reale" poiché contiene l'errore di misurazione dalle variabili osservate. I fattori in FA tuttavia sono leggermente diversi. Un fattore è anche chiamato variabile latente, che è un concetto importante in SEM. Una variabile latente può essere considerata come la ragione (o fattore) sottostante responsabile delle variabili osservate nel sistema.
Come nota, un'altra parola per le variabili osservate usata in SEM è variabili manifest, ed è così che d'ora in poi mi riferirò a queste variabili. In questo modo, in FA, le variabili manifeste possono essere pensate come il risultato misurato della variabile latente “reale”, che non è misurabile nel sistema.
La FA può essere eseguita tramite la piattaforma di analisi fattoriale in JMP Pro. Questo viene fatto quasi allo stesso modo della piattaforma PCA, quindi eseguiamo la stessa analisi con gli stessi quattro fattori. L'unica differenza in questa piattaforma è che ci sono più opzioni di personalizzazione relative all'analisi fattoriale; per semplicità, queste opzioni saranno tutte mantenute come impostazioni predefinite.
Dalla piattaforma, scopriamo che ci sono due fattori principali. Questi fattori sono tracciati sul grafico di carico sopra per mostrare la percentuale di variazione che ogni fattore rappresenta. Sebbene questa trama e quella trovata dalla piattaforma PCA sembrino simili, non sono la stessa cosa.
Le differenze chiave possono essere viste nella quantità di varianza che ciascun fattore o componente principale rappresenta; questo è riportato su ciascun asse. Un'altra differenza è il punto esatto in cui ciascuna delle nostre variabili è tracciata su entrambi i grafici; questo mostra che sono correlati in modo diverso ai fattori e alle componenti principali. Queste differenze sono dovute alle differenze intrinseche nel modo in cui definiamo un fattore e una componente principale, come spiegato sopra. L'esempio principale è la posizione della variabile del punto di ebollizione. Nell'analisi PCA, è correlato quasi esattamente al punto di fusione. Nell'analisi FA, il punto di ebollizione e il punto di fusione non sono molto correlati. Ciò dimostra ulteriormente che il fattore 2 e la componente principale 2 sono due idee diverse.
Per dirla semplicemente in un contesto chimico, il componente principale 1 è una misura di TUTTE le interazioni intermolecolari, motivo per cui il punto di ebollizione e il punto di fusione sono quasi identici su quel diagramma di carico. D'altra parte, sul diagramma di caricamento dell'analisi fattoriale, vediamo che i punti di fusione e di ebollizione ora non sono gli stessi. Ciò è probabilmente dovuto al fatto che il fattore trovato nella FA sono solo le forze di Van der Waal, che è il più grande contributo di forza nelle forze intermolecolari. Per vari motivi chimici, ciò significa che questo fattore gioca un ruolo più importante nel punto di fusione di una sostanza, ma quando si tratta del punto di ebollizione, entrano in gioco altre forze intermolecolari. Queste altre forze non sono contabilizzate nel Fattore 1 ma sono nel Componente principale 1, a causa dell'errore di misurazione, che viene acquisito tramite PCA.
Come conclusione su questa idea, vediamo sull'asse di ciascun fattore che ogni fattore rappresenta meno della variazione rispetto alle componenti principali. Questo è prevedibile poiché i dati utilizzati per costruire il modello erano empirici e quindi contengono errori di misurazione. Di conseguenza, ha senso che le componenti principali (che contengono errori di misurazione) rappresentino una maggiore variazione nei dati originali.
Riduzione dimensionale in SEM
Sebbene PCA e FA siano entrambi concetti complicati che meritano libri a sé stanti per capirli a fondo, ciò che possiamo trarre dall'esplorazione di questi argomenti è che FA produce variabili latenti che non contengono errori, mentre PCA produce componenti principali che includono altri fonti di errore. La seconda nota importante è che in FA la variabile latente produce le variabili manifest, mentre in PCA la componente principale è il risultato della “semplificazione” delle variabili manifest.
Entrambi i punti sono visualizzati nel diagramma sopra, che mostra le differenze tra PCA e FA. In termini di comprensione del sistema sottostante, FA è il metodo migliore. Questo perché i componenti principali che si trovano in PCA non sono variabili "reali" che influiscono sul sistema. Sono solo parametri adattati al modello. Ciò significa che la PCA è ancora utile ma ha applicazioni di gran lunga migliori in altri campi come la modellazione predittiva poiché ciò potrebbe portare a un modello più adattato. Di conseguenza, in SEM impieghiamo FA poiché consente una comprensione più completa delle cause alla base delle variabili manifest in un sistema. In questo modo, utilizzando il SEM, possiamo quantificare le variabili latenti attraverso la regressione sulle variabili manifest. In effetti, questa idea costituisce la base del diagramma del percorso, che è un concetto chiave in SEM che tratterò nel prossimo post.
Spero che questo ti abbia dato un'idea delle tecniche di riduzione dimensionale e del motivo per cui queste tecniche sono e non sono impiegate in SEM. Un'idea interessante all'interno di SEM che esplorerò in futuri post sul blog è il caso speciale in SEM dell'analisi fattoriale di conferma (CFA), che è essenzialmente solo un metodo per utilizzare l'analisi fattoriale e allo stesso tempo impostare un SEM. Ne parleremo più avanti.
