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Perché l'interazione tra un termine al quadrato e un effetto principale è sempre correlata all'effetto principale?

Sto impostando un disegno sperimentale personalizzato con tre fattori, due continui e uno categorico. Voglio esaminare gli effetti principali, le interazioni unidirezionali e un termine quadrato per uno dei fattori continui, tutto questo è abbastanza semplice. Quello che voglio considerare è anche l'interazione tra i termini principali e il termine al quadrato. Per me questo significa come il livello di un dato fattore influenza la forma della curvatura descritta dal termine al quadrato.

Per i seguenti fattori ho quindi il dialogo successivo nella visualizzazione del design personalizzato.

 

R: Continuo

B: Continuo

Gatto: categoriale, 2 livello

 

 

Tuttavia, quando costruisco il progetto, indipendentemente dal numero di esecuzioni che decido, la mappa di correlazione mostra correlazioni molto elevate (~0,8) tra:

B e A*A*B

Gatto e A*A*Gatto

 

 

 

Qualcuno può aiutarmi a capire il motivo di questo problema, se si tratta di un problema e se esiste una soluzione alternativa. Il mio pensiero iniziale è che poiché A*A avrà sempre un segno positivo, il segno di A*A*B avrà sempre lo stesso segno di B (e in modo equivalente per A*A*Cat e Cat).

 

Grazie molto,

Dave

 

 

Progettazione di esperimentiPersonalizzazione di massaRi: Perché l'interazione tra un termine al quadrato e un effetto principale è sempre correlata all'effetto principale?

La correlazione tra le stime dei parametri gonfia la varianza delle stime (errori standard). Questa correlazione degrada il potere, ma i parametri sono ancora stimabili. Se la correlazione è 1 (effetti confusi, termini con alias), allora il VIF è infinito e i parametri sono inestimabili. Quindi le regole pratiche come VIF <10 sono sciocche secondo me. Dipende dalla dimensione dell'effetto e dalla varianza. Un VIF > 10 potrebbe essere tollerabile/accettabile se la varianza è inizialmente bassa o se l'effetto è ampio rispetto alla varianza. D'altra parte, un VIF <10 potrebbe essere intollerabile se la varianza è elevata all'inizio o se l'effetto è piccolo. Tutto dipende. L'analisi della potenza e la stima dell'efficienza forniscono informazioni sulla situazione particolare. Tutto dipende.

Ri: Perché l'interazione tra un termine al quadrato e un effetto principale è sempre correlata all'effetto principale?

Hai detto, " Se Time interagisce in qualche modo con l'autointerazione di Temp*Temp, deve anche interagire in qualche modo con Temp da solo. In questo esempio, non è possibile far interagire fisicamente Time con (Temp*Temp) senza interagire in qualche modo anche solo con Temp. Non avrebbe senso che Time interagisca con la curvatura della risposta con Temp senza interagire anche con la pendenza della risposta con Temp. "

 

In realtà, questo è matematicamente, statisticamente e fisicamente possibile. mi piace @statman la spiegazione. Il grado di non linearità potrebbe dipendere dal livello del fattore categorico mentre la risposta lineare no. Devi solo vedere cosa hanno da dire i dati e il modello al riguardo.

Ri: Perché l'interazione tra un termine al quadrato e un effetto principale è sempre correlata all'effetto principale?

Innanzitutto, grazie a tutti per il loro aiuto, questo si è trasformato in un vero dibattito!, Cercherò di rispondere a tutti i vari punti da lei sollevati.

 

In risposta alla tua dichiarazione sull'analisi del potere @Mark_Bailey , significa quindi che a condizione che la correlazione tra diverse stime non sia 1 allora i parametri possono essere stimati a condizione che la potenza sia sufficientemente elevata? cioè a condizione che il coefficiente atteso sia sostanzialmente inferiore all'errore standard. Generalmente miriamo a VIF bassi, ma c'è qualcosa di intrinsecamente sbagliato nell'avere valori elevati di questo? Suppongo che ciò significhi che, sebbene il modello preveda la risposta ben all’interno dello spazio dei fattori, fare inferenze sugli effetti sottostanti è più problematico.

 

penso che @statman hai concettualizzato il problema in modo simile al mio. Ad esempio, la risposta ad A alto e basso potrebbe essere la stessa, quindi l'effetto lineare di A è trascurabile e non è influenzato dal livello di B. Tuttavia esiste un comportamento non lineare tale per cui la risposta all'intermedio A è maggiore che agli estremi, e questa deviazione dipende dal livello di B. Il profilo di interazione assomiglierebbe quindi all'immagine allegata (ci scusiamo per l'esempio un po' frettoloso). In linea di principio non vedo alcun motivo per cui ciò non possa avvenire. Ovviamente come @SDF1 sottolinea correttamente che potrebbe esserci un fattore di covariazione determinato dalla combinazione di A*B ma in questo caso, in base alla conoscenza del sistema, non credo che sia vero. Ritorno quindi alla questione se, da un punto di vista statistico astratto, sia possibile generare un disegno in cui A*A*B abbia una correlazione molto bassa con B, oppure se ciò non sia strettamente possibile e dobbiamo prendere in considerazione l'approccio di aumentare il numero di esecuzioni in modo tale che la potenza di progettazione sia sufficientemente elevata da poter stimare l'effetto?

Ri: Perché l'interazione tra un termine al quadrato e un effetto principale è sempre correlata all'effetto principale?

Scusa, potrei essere confuso dalle tue affermazioni... cos'è un " termine di auto-interazione"? Se è A*A, questo è l'effetto quadratico di A o l'effetto non lineare di A.Forse questo non dovrebbe essere discusso in un forum aperto, ma non sono d'accordo con te. Solo perché l'effetto quadratico di una variabile (diciamo A^2) dipende dal livello di un altro fattore (diciamo , NON implica (né richiede) che ci debba essere un'interazione degli effetti lineari (A e B: A*B ). Pensa all'effetto quadratico come ad un allontanamento dal lineare. Se la deviazione è maggiore a un livello di B rispetto a un altro livello di B, si parla di interazione (A^2*B). Le pendenze potrebbero essere trascurabili. Naturalmente, in generale seguiamo il principio della gerarchia, e potrebbero esserci lineari di primo e secondo ordine che sembrano probabili nel caso in cui un effetto non lineare o un altro effetto di ordine superiore fosse significativo... lascio le cose a questo.

 

Ma sto divagando... mi scuso con l'OP.

Ri: Perché l'interazione tra un termine al quadrato e un effetto principale è sempre correlata all'effetto principale?

Sono pienamente d'accordo, non vi è alcun vincolo nel modificare un fattore rispetto a un altro, ma sia A che B sono fattori continui e se B interagisce con il termine di auto-interazione di A*A, allora deve interagire con il termine sé A.

 

Come nel mio esempio precedente, se prendi A = Temp e B = Time, allora non esiste alcun vincolo (in linea di principio) che limiti un'impostazione per qualsiasi altra possibile impostazione dell'altra. Se scopri che il tuo risultato dipende da A*A, ovvero Temp*Temp, E scopri che esiste un termine significativo (A*A)*B, ciò significherebbe che il tuo risultato dipende da (Temp*Temp)*Tempo. Se Time interagisce in qualche modo con l'autointerazione di Temp*Temp, deve anche interagire in qualche modo con Temp da solo. In questo esempio, non è possibile far interagire fisicamente Time con (Temp*Temp) senza interagire in qualche modo anche solo con Temp. Non avrebbe senso che Time interagisca con la curvatura della risposta con Temp senza interagire anche con la pendenza della risposta con Temp.

Ri: Perché l'interazione tra un termine al quadrato e un effetto principale è sempre correlata all'effetto principale?

Sono d'accordo con @statman in quanto i fattori/variabili sono indipendenti. Vale a dire, non sei obbligato a cambiare un fattore in base al livello dell’altro fattore. D’altra parte, gli effetti di questi fattori/variabili non sono indipendenti o additivi. L'interazione significa che l'effetto di uno dei fattori dipende dal livello dell'altro fattore.

 

Sto solo cercando di mantenere le idee e la terminologia chiare per tutti.

Ri: Perché l'interazione tra un termine al quadrato e un effetto principale è sempre correlata all'effetto principale?

Hmmm, non sono così sicuro delle tue conclusioni "Se hai motivo di credere che B influenzi veramente il termine di interazione personale A*A, allora B e A non sono variabili veramente indipendenti. Se B influenza A*A, deve influenzare anche A in una certa misura. In caso contrario, come potrebbe B influenzare A*A?". Forse ho interpretato male i tuoi commenti...

 

La domanda è: l'effetto quadratico di A varia o dipende dalla variabile B? La curva può essere diversa con diversi livelli di B? Questa è la definizione di interazione. A e B possono essere completamente indipendenti, ma può comunque esserci questo effetto di interazione.

 

La multicollinearità può essere valutata attivando il VIF comune nella tabella delle stime dei parametri e, naturalmente, eseguendo grafici a dispersione nei metodi multivariati>piattaforma multivariata.

Ri: Perché l'interazione tra un termine al quadrato e un effetto principale è sempre correlata all'effetto principale?

CIAO @david_gillespie ,

 

Sembra che potresti essere confuso con il modo in cui JMP esegue la codifica/parametrizzazione dietro le quinte @Mark_Bailey sottolinea, o quali sono i coefficienti/segni dei fattori A e B. La codifica -1/1 è la codifica basso/alto in JMP e non i coefficienti dei fattori. Ciò verrebbe determinato solo dopo aver eseguito il DOE e quindi aver eseguito il modello di adattamento sui risultati. La risposta è ciò che ti dice COME A e B potrebbero interagire o autointeragirsi e ti dà il segno dei coefficienti per i termini che proponi nel modello. Se un termine proposto non è rilevante, avrà un valore p elevato e l'errore standard sulla stima (per il coefficiente del termine) sarà maggiore in termini di grandezza rispetto alla grandezza del termine stesso. Ad esempio, se ottieni una stima per il termine A*A*B che è -2,2 e l'errore standard è 5 (5 > |-2,2|), allora sai che quel termine non ha alcuna influenza significativa sulla risposta e puoi rimuoverlo dal modello.

 

Nel tuo esempio sopra, sembra che CONOSCI il segno del coefficiente di ciascun termine. Il segno risultante di una qualsiasi di quelle combinazioni che proponi dipende interamente da quanti aspetti negativi e positivi stai moltiplicando insieme, quindi nessuna sorpresa. Nessun fenomeno da provare a descrivere.

 

Se hai motivo di credere che B influenzi veramente il termine di interazione con il sé A*A, allora B e A non sono variabili veramente indipendenti. Se B influenza A*A, deve influenzare anche A in una certa misura. In caso contrario, come potrebbe B influenzare A*A?

 

Se hai due fattori veramente indipendenti, come la temperatura (A) e il tempo (B), non ci sarà alcuna correlazione tra loro. Tuttavia, potrebbe esserci qualche altro termine, come energia (C), una covariata, che è una combinazione di A e B, come A*B o A+B. In tal caso, C sarebbe sempre correlato sia ad A che a B. Quindi, in questo caso, i termini principali A e B non sono correlati e il termine misto C sarebbe correlato con A e B. Quindi quei termini misti: C*A (ad esempio, A*B*A) o C*B (ad esempio, A*B*B) avrebbero sempre una certa correlazione.

 

Spero che questo ti aiuti,

DS

Ri: Perché l'interazione tra un termine al quadrato e un effetto principale è sempre correlata all'effetto principale?

Si noti che la parametrizzazione del predittore lineare da parte di JMP non è bassa = -1 e alta = +1. Vedere questa sezione della Guida di JMP per dettagli. La differenza nella parametrizzazione è importante se si calcola la correlazione tra due colonne nella matrice del modello.

 

Ho impostato i fattori e il modello per soddisfare le tue esigenze. Ho usato il numero di esecuzioni Default = 16. Ecco il disegno:

 

 

Supponendo che l'effetto reale modellato da ciascun termine sia due volte più grande della deviazione standard della risposta, ottengo questa analisi di potenza:

 

 

Quindi, anche se la correlazione è elevata per alcuni parametri, essi sono comunque stimabili se sufficientemente grandi. La correlazione, ovviamente, aumenterà la varianza delle stime, come mostrato nell’efficienza della stima:

 

 

Ti aspetti grandi effetti, rispetto alla SD?

Ri: Perché l'interazione tra un termine al quadrato e un effetto principale è sempre correlata all'effetto principale?

Ciao DS,

 

Grazie per la risposta. Questo è ciò a cui stavo arrivando nel mio post originale riguardo al segno della porzione A*A del termine di interazione, perché sebbene B sia contenuto all'interno di A*B, B non è correlato con A*B. È possibile che, ad esempio, B*A non sia sempre correlato a B perché il segno di A determina il segno del termine di interazione?

 

Per semplicità, si consideri il seguente esempio.

 

Termine	A = 1, B = 1	A = 1, B = -1	A = -1, B = 1	A = -1, B = -1
UN	1	1	-1	-1
B	1	-1	1	-1
A*B	1	-1	-1	1
AA	1	1	1	1
A*A*B	1	-1	1	-1

 

Quindi non esiste una combinazione di A e B in cui il segno di A*A*B non sia uguale al segno di B. Mentre per A = -1, B=1 o A = -1, B= -1 il segno di A*B non è uguale al segno di B.

 

Ovviamente non è certo se i termini siano reali, tuttavia mi sembra ragionevole che il livello di una variabile (B) possa influenzare la forma dell'effetto descritto dal termine quadratico di un'altra (A*A). In questo caso so che A*A e B sono entrambi significativi da esperimenti precedenti. Oppure questo fenomeno è contenuto in un'altra parte del modello?

 

Grazie,

Dave

 

 

Ri: Perché l'interazione tra un termine al quadrato e un effetto principale è sempre correlata all'effetto principale?

CIAO @david_gillespie ,

 

Credo che l'elevata correlazione sia dovuta al fatto che lì dentro c'è già l'altro termine per il termine di interazione. Ad esempio, la mappa dei colori mostra che B con A*A*B ha un'alta correlazione e questo perché B si trova nel termine misto: A*A*B. B sarà sempre correlato a B, quindi la diagonale è 1 nella mappa dei colori. Questo è lo stesso per A con A*A*Cat, A è sempre correlato ad A, quindi hai correlazioni elevate con quelli.

 

Non c’è modo di aggirare questo problema perché i termini sono sempre correlati a se stessi. Sei sicuro che i termini della miscela siano reali e debbano essere inclusi?

 

Spero che questo ti aiuti,

DS