為什麼平方項和主效應之間的相互作用總是與主效應相關？我正在設置一個包含三個因素的定制實驗設計，兩個連續因素和一個分類因素。 我想看看主效應、單向相互作用以及連續因素之一的平方項，這一切都相當簡單。 我還想看看主項和平方項之間的相互作用。 對我來說，這意味著給定因素的水平如何影響平方項描述的曲率形式。
因此，對於以下因素，我在定制設計視圖中進行了後續對話。
答：連續
B：連續
貓：分類，2 級
然而，當我構建設計時，無論我在相關圖上決定運行多少次，都會顯示以下之間的相關性非常高（~0.8）：
B 和 A*A*B
貓和 A*A*貓
任何人都可以幫我解釋為什麼會這樣，這是否是一個問題以及是否有解決方法。 我最初的想法是，由於 A*A 始終具有正號，因此 A*A*B 的符號始終與 B 具有相同的符號（對於 A*A*Cat 和 Cat 也同樣如此）。
非常感謝，
戴夫
實驗設計大規模定制回复：為什麼平方項和主效應之間的相互作用總是與主效應相關？參數估計值之間的相關性增大了估計值的方差（標準誤差）。 這種相關性會降低功效，但參數仍然是可估計的。 如果相關性為 1（混雜效應、別名項），則 VIF 為無窮大，並且參數不可估計。 因此，我認為像 VIF < 10 這樣的經驗法則是愚蠢的。 這取決於效應的大小和方差。 如果方差一開始就較低或者效應相對於方差較大，則 VIF > 10 可能是可以容忍/可接受的。 另一方面，如果方差一開始就很高或效果很小，則 VIF < 10 可能是無法容忍的。 這一切都取決於。 功率分析和估計效率提供有關您的特定情況的信息。 這一切都取決於。
回复：為什麼平方項和主效應之間的相互作用總是與主效應相關？你說， ”如果 Time 以某種方式與 Temp*Temp 的自交互作用相互作用，那麼它也必須以某種方式與 Temp 自身相互作用。 在此示例中，如果不以某種方式單獨與 Temp 交互，則無法在物理上讓 Time 與 (Temp*Temp) 交互。 如果時間不與響應的斜率與溫度相互作用，那麼時間與響應的曲率與溫度相互作用是沒有意義的。 ”
事實上，這在數學、統計和物理上都是可能的。 我喜歡@statman的解釋。 非線性程度可能取決於分類因素的水平，而線性響應則不然。 您只需要看看數據和模型對此有何說明。
回复：為什麼平方項和主效應之間的相互作用總是與主效應相關？首先，感謝大家的幫助，這已經變成了一場爭論！， 我將盡力答复您提出的所有不同觀點。
針對您關於功率分析的陳述@馬克貝利，這是否意味著只要不同估計之間的相關性不為 1，那麼只要功效足夠高就可以估計參數？即假設預期係數遠低於標準誤差。 一般來說，我們的目標是低 VIF，但是擁有高 VIF 值有什麼本質上的錯誤嗎？ 我認為這意味著雖然模型可以很好地預測因子空間內的響應，但對潛在影響的推斷卻更成問題。
我覺得@statman你以與我類似的方式概念化了這個問題。 例如，高 A 和低 A 處的響應可能相同，因此 A 的線性效應可以忽略不計，並且不受 B 水平的影響。 然而，存在非線性行為，使得中間 A 處的響應高於極端處的響應，並且此偏差取決於 B 的水平。 因此，交互配置文件看起來類似於所附圖片（對倉促繪製的示例表示歉意）。 原則上我看不出有什麼理由不能這樣。 當然作為@SDF1正確地指出可能存在由 A*B 的組合確定的協變量因子，但在這種情況下，基於系統知識，我不認為這是真的。 因此，我回到這個問題，從抽象統計的角度來看，是否有可能生成一個設計，其中 A*A*B 與 B 的相關性非常低，或者這是否嚴格可行，我們必須採取增加運行次數以使設計能力足夠高以便我們可以估計效果的方法？
回复：為什麼平方項和主效應之間的相互作用總是與主效應相關？抱歉，我可能對你的陳述感到困惑......什麼是“自交互術語”？ 如果是A*A，那就是A的二次效應或者A的非線性效應。也許這不應該在公開論壇上討論，但我不得不不同意你的觀點。 僅僅因為變量（例如 A^2）的二次效應取決於另一個因素（例如 B）的水平，並不意味著（也不需要）必須存在線性效應（A 和 B：A*B ）。 將二次效應視為偏離線性。 如果 B 的一個級別的偏離大於 B 的另一級別的偏離，則為交互作用 (A^2*B)。 坡度可以忽略不計。 當然，一般來說，我們遵循層次結構原則，並且可能存在一階和二階線性，如果非線性或或其他高階效應很可能是顯著的......我將其保留。
但我離題了……向OP道歉。
回复：為什麼平方項和主效應之間的相互作用總是與主效應相關？我完全同意，改變一個因素與另一個因素之間沒有任何限制，但A 和B 都是連續因素，如果B 與A*A 的自相互作用項相互作用，那麼它必須與自相互作用項A 相互作用。
與我之前的示例一樣，如果您採用 A = 溫度且 B = 時間，則（原則上）不存在限制一個設置對另一個設置的任何其他可能設置的約束。 如果您發現您的結果取決於A*A，即Temp*Temp，並且您發現有一個有意義的術語(A*A)*B，則這意味著您的結果取決於(Temp*Temp)*Time 。 如果 Time 以某種方式與 Temp*Temp 的自交互作用相互作用，那麼它也必須以某種方式與 Temp 自身相互作用。 在此示例中，如果不以某種方式單獨與 Temp 交互，則無法在物理上讓 Time 與 (Temp*Temp) 交互。 如果時間不與響應的斜率與溫度相互作用，那麼時間與響應的曲率與溫度相互作用是沒有意義的。
回复：為什麼平方項和主效應之間的相互作用總是與主效應相關？我同意@statman因為因素/變量是獨立的。 也就是說，您不必根據一個因素的水平來改變另一個因素。 另一方面，這些因素/變量的影響不是獨立的或相加的。 交互作用是指一個因素的影響取決於另一個因素的水平。
只是想讓每個人都清楚地了解想法和術語。
回复：為什麼平方項和主效應之間的相互作用總是與主效應相關？嗯，不太確定你的結論“如果你有理由相信 B 確實影響自交互項 A*A，那麼 B 和 A 並不是真正的自變量。 如果B影響A*A，那麼它也一定會在某種程度上影響A。 如果不是，B 如何影響 A*A？”。 也許我誤解了你的評論......
問題是 A 的二次效應是否會變化或取決於變量 B？ 不同水平的 B 曲線會有所不同嗎？ 這就是交互的定義。 A和B可以完全獨立，但仍然可以存在這種交互作用。
可以通過打開參數估計表中常見的 VIF 來評估多重共線性，當然也可以通過在多元方法 > 多元平台中繪製散點圖來評估。
回复：為什麼平方項和主效應之間的相互作用總是與主效應相關？你好@大衛吉萊斯皮,
聽起來您可能對 JMP 如何在幕後執行編碼/參數化感到困惑，如下所示@馬克貝利指出，或者因子 A 和 B 的係數/符號是什麼。 編碼 -1/1 是 JMP 中的低/高編碼，而不是因子的係數。 這只有在執行 DOE 然後對結果運行擬合模型後才能確定。 響應告訴您 A 和 B 如何相互作用或自相互作用，並為您提供模型中提出的項的係數符號。 如果您提出的項不相關，則它將具有較大的 p 值，並且估計值的標準誤差（針對項的係數）的大小將大於項本身的大小。 例如，如果您得到的 A*A*B 項的估計值為 -2.2 並且標準誤差為 5 (5 > |-2.2|)，則您知道該項對響應沒有任何重大影響您可以將其從模型中刪除。
在上面的示例中，看起來好像您知道每一項係數的符號。 您提出的任何組合的最終符號完全取決於您相乘的負數和正數的數量，因此這並不奇怪。 沒有任何現象可以嘗試和描述。
如果您有理由相信 B 確實影響自交互項 A*A，那麼 B 和 A 並不是真正的自變量。 如果B影響A*A，那麼它也一定會在某種程度上影響A。 如果不是，B 如何影響 A*A？
如果有兩個真正獨立的因素，例如溫度 (A) 和時間 (B)，那麼它們之間就不存在相關性。 但是，可能還有其他術語，例如能量 (C) 協變量，它是 A 和 B 的某種組合，例如 A*B 或 A+B。 在這種情況下，C 總是與 A 和 B 相關。 因此，在這種情況下，主項 A 和 B 不相關，而混合項 C 將與 A 和 B 相關。 因此，這些混合項：C*A（例如，A*B*A）或C*B（例如，A*B*B）始終具有某種相關性。
希望這可以幫助，
DS
回复：為什麼平方項和主效應之間的相互作用總是與主效應相關？請注意，JMP 對線性預測器的參數化不是 low = -1 和 high = +1。 看JMP 幫助的這一部分了解詳情。 如果計算模型矩陣中兩列之間的相關性，參數化的差異非常重要。
我設置了因素和模型來滿足您的要求。 我使用默認 = 16 次運行。 這是設計：
假設每項建模的實際效果是響應標準差的兩倍，我得到以下功效分析：
因此，雖然某些參數的相關性很高，但如果足夠大，它們仍然是可估計的。 當然，相關性會增大估計的方差，如估計效率所示：
與 SD 相比，您預計效果會大嗎？
回复：為什麼平方項和主效應之間的相互作用總是與主效應相關？嗨，DS，
感謝您的回复。 這就是我在原來的帖子中關於交互項的 A*A 部分的符號所得到的內容，因為雖然 B 包含在 A*B 中，但 B 與 A*B 不相關。 例如，B*A 是否並不總是與 B 相關，因為 A 的符號決定了交互項的符號？
為簡單起見，請考慮以下示例。
| 學期 |
A = 1，B = 1 |
A = 1，B = -1 |
A = -1，B = 1 |
A = -1，B = -1 |
| A |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
| 乙 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
| A*B |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
| 一個*一個 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| A*A*B |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
因此，不存在 A 和 B 的組合，其中 A*A*B 的符號不等於 B 的符號。 而對於 A = -1、B=1 或 A = -1、B= -1，A*B 的符號不等於 B 的符號。
這些項是否真實顯然並不確定，但對我來說，一個變量 (B) 的水平可能會影響另一個變量 (A*A) 的二次項所描述的效果的形式，這似乎是合理的。 在這種情況下，我知道 A*A 和 B 在之前的實驗中都很重要。 或者這種現像是否包含在模型的另一部分中？
謝謝，
戴夫
回复：為什麼平方項和主效應之間的相互作用總是與主效應相關？你好@大衛吉萊斯皮,
我相信高相關性是因為交互項已經有另一個項了。 例如，顏色圖顯示 B 與 A*A*B 具有高度相關性，這是因為 B 位於該混合項中：A*A*B。 B 始終與 B 相關，因此顏色圖中的對角線為 1。 這對於 A 和 A*A*Cat 來說是一樣的，A 總是與 A 相關，所以你與它們有很高的相關性。
沒有辦法解決這個問題，因為術語總是與自身相關。 您確定這些混合項是真實的並且需要包含在內嗎？
希望這可以幫助，
DS
