뉴스 등으로 “ 계절 벗어난 따뜻함”이라고 들려도 최근에는 그다지 놀라지 않게 되었습니다. 그러나 올해 3 월의 도쿄 근처는 특히 따뜻하다고 느낀 날이 많았습니다. 이웃의 벚꽃이 평소보다 빨리 피고 있었으므로, 아, 계절의 변화가 빠르다고 느꼈습니다.
이 블로그는 그래프 빌더의 개발자인 Xan 씨의 게시물로부터 영향을 받고 있습니다. 그 투고란, 교토의 벚꽃의 개화일을 기원 812 년부터 현재까지 정리한 그래프입니다. (벚꽃의 마커는 깨끗하기 때문에, 꼭 봐 주세요.)
812년부터 교토 벚꽃이 만발한 날
https://public.jmp.com/packages/J_rDc8JMMdjJBJDf7fMbF
이 그래프에 그려져 있는 평활선을 보면 19 세기 후반부터 현재까지 벚꽃의 개화일이 급격히 빨라지는 트렌드가 있는 것을 알 수 있습니다.
벚꽃의 개화일은, 그 지역의 2 월 1 일부터의 일평균 기온의 합계가 400 ℃가 되는 날이 기준이 되는 「 400 ℃의 법칙」이 유명합니다. 그러므로 개화의 초기 느림은 2,3월 의 기온이 영향을 받는 것으로 생각됩니다.
거기서, 1970 년부터 현재( 2021 년)까지, 2,3 월에 있어서의 교토의 평균 기온을 조사해 보았습니다.
아래 그림은 연간 2 월의 평균 기온(오렌지색), 3 월의 평균 기온(적색)을 꺾은선과 평활선(트렌드를 보는 선)으로 나타낸 것입니다. (데이터 출처: 기상청)
평활선에서 최근 2, 3 월의 평균 기온은 상승 경향에 있는 것을 알 수 있지만, 특히 2010 년 이후 3 월은 급격히 상승하고 있으며, 올해 2021 년 3 월의 평균 기온은 11.6 ℃로 , 1970 년 이후로 가장 높습니다.
그렇다면 이러한 기온의 해마다 변화를 조사하기 위해 공정 관리에서 사용되는 관리도를 사용해 보면 어떨까요? 관리도는 다양한 종류가 있지만, 그 중 하나인 EWMA 관리도는 작은 시프트(변화)도 검출할 수 있으므로 그래프에서 본 기온의 상승 추세를 검출할 수 있을지도 모릅니다. 정확히, JMP 16 에서 EWMA 는 다양한 기능 추가가 있으므로, 사용해 보는 것 외에 생각할 수 없습니다. *
( * 같이 작은 시프트를 검출하는 관리도로서 CUSUM( 누적합 ) 관리도가 있습니다.)
EWMA관리도란?
EWMA 관리도는 지수 가중 이동 평균(Exponentially Weighted Moving Average) 관리도의 약자입니다. 일반 X 관리도는 그 시점에서 값을 플로팅하는 반면 EWMA 관리도에서는 그 시점에서의 값은 과거의 값에도 의존합니다. 의존도가 가장 가까울수록 크고 과거로 거슬러 올라감에 따라 지수적으로 의존도를 줄입니다.
X i 를 i 시점에서의 값으로 했을 때, EWMA 관리도의 i 시점에서의 값 Z i 는, 그 1 시점 전의 값 Z i-1 과, 유저가 지정하는 가중 파라미터 λ ( lambda ) 를 사용하여 , 다음 식으로 계산됩니다.
Z i = λ X i + (1- λ ) Z i-1
JMP의 디폴트에서는 λ의 값은 0.2 입니다만, 이 때 EWMA 관리도에서는, 20% 를 현재의 정보, 나머지의 80% 를 과거의 정보를 이용해 값을 플롯 하고 있습니다.
방정식의 특성으로 인해 과거로 거슬러 올라갈수록 사용되는 정보의 양 (가중치)은 지수적으로 감소합니다. 아래 그림은 λ = 0.2 로 했을 때의 현시점 (0 시점 ) 에 대한 과거 시점의 가중치를 나타냅니다.
현시점에서는 0.2 의 가중치가 있습니다만, 1 시점전 (-1) , 2 시점전 (-2) 과 과거에 거슬러 올라감에 따라, 가중치가 지수적으로 감소하고 있는 것을 알 수 있습니다.
EWMA 관리도를 이용하여 공정 관리를 하면 공정에서의 작은 시프트(변화)를 검출하기 쉬워진다고 합니다. 그래서 이후에는 위에서 나타낸 2, 3 월 교토의 평균 기온에 대해 EWMA 를 그려 보겠습니다.
JMP 16EWMA 관리도
JMP에서는 이전부터 EWMA 관리도를 그릴 수 있었지만 JMP 16 에서는 인터페이스가 변경되어 상당히 좋은 기능이 추가되었습니다. 주요 추가 기능은 다음과 같습니다.
- EWMA 관리도와 함께 X 관리도, 잔차의 관리도도 표시한다.
- 보고서의 제어판은 λ (lambda) 와 σ ( sigma )를 변경하고 대화식으로 관리도에 반영합니다.
- 변화의 시작점을 검출할 수 있다.
교토의 평균 기온에 대한 EWMA 관리도( 2,3 월)
우선은 2 월의 EWMA 관리도입니다.
그림은 위에서 아래로 3 개 그려져 있습니다만, 위에서 순서대로 EWMA 관리도, X 관리도(기온값 자체를 이용한 관리도), 잔차의 관리도입니다.
잔차의 관리도는 한 시점의 X 관리도의 값에서 한 시점 이전의 EWMA 관리도의 값을 뺄셈으로 계산되는 잔차를 플로팅한 것입니다. 예를 들어, 2010 년 잔차는 2020 년 값에서 2019 년 EWMA 값을 뺀 값으로 계산할 수 있습니다.
왼쪽의 설정 패널에 입력된 값은 다음과 같습니다.
목표값 : 데이터의 평균값. (EWMA 관리도, X 관리도의 녹색 선 )
Sigma : 편차를 나타내는 값 (σ). 데이터로부터 추정된다.
Lambda : 위에서 설명한 가중치 (기본값은 0.2 )
빨간색 선은 3σ (시그마)로 계산되는 관리 한계선입니다.
가운데의 X 관리도를 보면, 외형에서는 이러한 트렌드를 발견할 수 없습니다. 그러나 맨 위에 있는 EWMA 관리도를 보면 70,80년대 에 걸친 하강 추세, 2018 년 이후의 상승 추세를 확인할 수 있습니다. 단, 어느 해도 관리 한계선은 넘지 않습니다.
덧붙여서 EWMA 관리도의 오른쪽 상단에 플롯된 청색 점은 2022 년의 예측치입니다.
다음은 3 월의 EWMA 관리도입니다. 알기 쉬운 트렌드를 볼 수 있습니다.
X 관리도는 2021 년에 상단 관리 한계를 벗어났습니다. EWMA 관리도에서는 2010 년대에 상승 추세를 볼 수 있으며, 2020 년에 관리 한계 밖에 나와 있습니다.
EWMA 관리도에 그려진 보라색 선은 이동이 발생한 시작점을 나타냅니다. 2 월의 평균 기온에서는 검출할 수 없었습니다만, 3월의 평균 기온에서는 작은 변화를 검출할 수 있었습니다.
여기에서는 나타내지 않지만, 도쿄의 평균 기온에서도 유사한 경향을 나타내는 관리도가 그려집니다. 최근 3 월에서도 따뜻하고, 벚꽃이 피는 것이 빠르다고 느끼는 감각은, EWMA 관리도의 위쪽으로 향하는 트렌드가 증거가 될 것입니다.
JMP 16의 EWMA 관리도에서는 왼쪽에 있는 [설정 패널]에서 목표치, sigma, Lambda 의 설정을 변경하면 즉시 관리도가 그 설정으로 그려집니다. 아래 그림은 3 월 EWMA 관리도에서 Lambda 를 0.1 로 변경했을 때의 것입니다. 즉, 과거 데이터의 의존도를 높이면 결과적으로 올해( 2021 년)가 상위 관리 한계 밖으로 나갑니다.
환경 문제로 생각하면
추운 것이 서투른 분에게는, 빨리 따뜻해지는 것은 고맙을지도 모릅니다만, 지구 온난화가 진행되고 있는 결과 본다면, 손 놓기에 기뻐하고 있는 것은 되지 않습니다.
현재의 국제적인 환경의 대처에 관해서 ” 파리 협정 ” 이 유명합니다만, 그보다 전의 협정으로서, 이번 화제로 한 교토에서 정한 “ 교토 의정서 ” 가 있습니다. 교토 의정서는 1997 년에 지구 온난화 대책으로서 채택되었습니다만, 그로부터 20 년 이상 지나 지금도, 효과적인 대책이 취해지고 있지 않다고 말할 수 없는 상황이 계속되고 있습니다.
미국에서 바이덴 대통령이 취임해, 올해 2 월에 파리 협정에 복귀했습니다만, 앞으로가 온난화를 막기 위한 중요한 국면이라고 생각합니다.
