El buzón de correo de ingeniería
Episodio 6: ¡Cuidado con las curvas!
En resumen: ¿Cómo se realiza una prueba sencilla de curvatura al colocar puntos centrales en un diseño de experimentos (DOE)? ¡Mira el video para descubrirlo! Además, ahora existe un complemento para realizar este análisis; el enlace y los detalles se encuentran al final del artículo.
Como novedad, incluiré un breve vídeo explicativo con estos artículos, destacando los puntos clave. Así, si necesitas encontrar la respuesta rápidamente, podrás consultarla enseguida.
Introducción
De vez en cuando, los ingenieros de sistemas nos topamos con preguntas interesantes que se salen un poco del uso habitual de JMP . Otras veces, la consulta simplemente resulta interesante y me da la oportunidad de profundizar en por qué hacemos las cosas de la manera en que las hacemos en JMP.
La pregunta que nos planteamos hoy es algo que debemos abordar. Es una pregunta que me hacen con frecuencia al hablar con personas formadas en métodos clásicos de diseño de experimentos (DOE). Así que esta es una oportunidad para ayudar a un colega europeo y mostrarles a los demás algo interesante que quizás no sepan cómo hacer en JMP.
La pregunta
Hola, Mike,
Todavía tengo una duda… Si realizo simulaciones con punto central, lo hago para comprobar si hay un término cuadrático, pero no estoy seguro de cuál es. Debería poder comprobar si hay una curvatura significativa sin asociarla a ningún factor en particular, ¿o me equivoco?
Kevin
Mi respuesta
¡Hola, Kevin!
Investigué bastante sobre esta prueba de curvatura. ¡Resulta que es simplemente una prueba t! Encontré las ecuaciones en los libros de Montgomery. Y lo que es más importante, es muy fácil de hacer. No es una solución de un solo clic, pero en realidad me gusta más, porque te obliga a comprender la hipótesis. Adjunto una tabla de datos.
- Crea una columna en tu tabla de datos que indique si una fila es un punto de esquina o central. Esto se puede hacer usando la función de recodificación si tienes una columna con el código de diseño.
- Ve a Ajustar Y por X. Introduce tu Respuesta en Y, Respuesta y la columna que creaste indicando el punto de esquina o central en X, Factores.
- Haz clic en Aceptar.
- Debajo del triángulo rojo, ejecute una prueba t (no la agrupada, a menos que tenga réplicas). Busque el valor p para Prob > |t|. La hipótesis nula en este caso es que la diferencia en las medias (entre los puntos centrales y los puntos de esquina) es cero. La explicación de Montgomery es que si la prueba t indica que las medias son diferentes, entonces los puntos centrales se encuentran en un plano distinto al de los elementos lineales del modelo (hay curvatura).
Si quieres tenerlo todo en un solo informe (al estilo de [ un paquete de software que no mencionaremos pero que rima con "realmente aburrido" ]), solo tienes que incluir la columna que marca los puntos centrales del modelo como un efecto principal (ver captura de pantalla). Al hacer clic en Ejecutar, el Resumen de efectos en la parte superior te llevará a una conclusión similar (que diferenciar entre puntos centrales y puntos de esquina no es significativo). Compruébalo y comprueba si puedes confirmarlo con tu conjunto de datos.
Mejor,
M
¿Qué demonios acabo de sugerir?
Antes de profundizar en este tema, permítanme darles un poco de contexto, ya que mis colegas y yo la recibimos constantemente . Básicamente, el problema surge de los diseños de cribado clásicos (factorial fraccional, Plackett-Burman, etc.). Estos diseños suelen emplear una estrategia de dos niveles con múltiples puntos centrales. La ventaja es que, dentro de los límites del diseño clásico (más sobre esto después), resulta muy eficiente en términos de recursos. La desventaja es que solo permite buscar efectos principales y algunas interacciones (si se tiene suerte). Los puntos centrales se añaden como una medida de precaución para indicar al experimentador si debe considerar términos cuadráticos en rondas posteriores de experimentación. Y es por eso que se necesita esta prueba para el análisis de curvas.
Bien, volvamos a mi sugerencia. Hice una sugerencia que podría parecer extraña. Propongo que es posible localizar un comportamiento curvilíneo (¡una palabra de diez!) en un experimento diseñado simplemente usando la humilde prueba t. Es decir, parece que deberíamos necesitar algo más atractivo cuando buscamos un fenómeno con un nombre tan sugerente como el comportamiento curvilíneo . Bueno, no es así. Y resulta que esta no es mi idea. Como mencioné, el primer ejemplo que encontré de la técnica está en el libro de Douglas Montgomery, "Diseño y análisis de experimentos". Este libro era lectura obligatoria en mi primera clase de estadística en la universidad. Buena clase, gran libro. En fin, volvamos al tema que nos ocupa.
No voy a entrar en todos los detalles matemáticos de por qué esto funciona, pero aquí está la idea básica: si los datos recopilados de un sistema en estudio tienen relaciones estrictamente lineales (por ejemplo, se pueden conectar todos los puntos del conjunto de datos con líneas rectas), entonces el intervalo de confianza para la media del conjunto de datos (excluyendo los puntos centrales) debería contener el intervalo de confianza de la media de los puntos centrales. Por lo tanto, si hacemos una prueba t sobre las medias de los puntos de borde y esquina frente a los puntos centrales globales, los valores p bajos serían evidencia de curvatura en algún punto del sistema y los valores p altos indicarían evidencia insuficiente de curvatura en el sistema. Eso no significa que no exista, solo que hay demasiado ruido para detectarla. Ahora bien, como es mucha información, veamos algunos ejemplos para que puedan ver cómo se ve esto.
Un ejemplo trivial
Esto probablemente se visualiza mejor en un caso sencillo con dos factores continuos. Cabe destacar que estoy simulando los datos y utilizando muchos más datos de los que se usarían normalmente en un diseño de dos factores. Esto es solo a modo de ejemplo, así que síganme la corriente. Además, tengan en cuenta que todos los ejemplos de esta publicación están disponibles en JMP Público , por lo que pueden obtener los conjuntos de datos allí si desean experimentar con ellos.
Bien, aquí tenemos un experimento diseñado con dos factores y tres puntos centrales.
Los puntos centrales están coloreados de rojo para facilitar su localización posterior. Ahora, simulemos algunos datos en el diseño sin efectos cuadráticos. En JMP, podemos hacerlo utilizando las funciones de simulación de respuesta de las plataformas del Departamento de Energía (DOE).Ahora, antes de analizar las pruebas t, veamos qué sucede con los datos en sí. Pasaremos a un diagrama de dispersión 3D. He añadido el modelo ajustado con un intervalo de confianza del 95 % para mostrar el plano que menciona Montgomery.
Se puede observar que, cuando no hay curvatura, los puntos de datos se sitúan dentro de la región definida por los intervalos de confianza superior e inferior (mallas azules y moradas).
Ahora, hagamos uno donde he introducido algo de curvatura en el modelo simulado. Estoy usando los mismos coeficientes de interacción lineal y de dos factores y simplemente he añadido algunos efectos cuadráticos a los datos. Primero, echemos un vistazo a los gráficos 3D:
¿Observas cómo los puntos centrales rojos ya no están en el plano definido por los puntos de borde/esquina azules? ¿También ves cómo los puntos centrales estánafuera¿El intervalo de confianza para la superficie?
Ahora, si observamos las pruebas t para estos conjuntos de datos (utilicé un selector de columnas en JMP Public para mostrar ambos), podemos ver que los intervalos de confianza para los puntos centrales y las ubicaciones de los bordes se superponen bien en el caso donde no hay curvatura. Los valores p para esa prueba t son bastante altos, tal como cabría esperar. Luego, podemos cambiar al caso donde hay curvatura y ver las diferencias en los intervalos de confianza y los valores p.
La prueba t indica que existe una fuerte evidencia de que los puntos centrales no pertenecen a la misma población que los puntos de los bordes/esquinas. Sin embargo, sabemos que los datos se recopilaron del mismo sistema, por lo que debe haber otra explicación: que el sistema sea más complejo de lo que pensábamos y presente un comportamiento curvilíneo.
Algo un poco más complejo
A continuación, compliquemos un poco el problema: cinco factores. La pregunta es: ¿se aplica la misma lógica a múltiples factores que a dos? No podemos visualizarlo fácilmente, así que tendremos que basarnos en los valores p de la prueba t. Pero nos hacemos la misma pregunta: ¿el intervalo de confianza de la media de los puntos centrales se superpone con la media de los puntos de datos de los bordes/esquinas? Eso es todo. Y la lógica sigue siendo la misma.
En este ejemplo, he hecho básicamente lo mismo que en el primero. A continuación se muestra la matriz de diagramas de dispersión del espacio de diseño. Las marcas rojas representan los puntos centrales, y las azules, los bordes o vértices. Cabe destacar que faltan algunos puntos de datos en un diseño factorial completo clásico. Lo hice para demostrar que funciona incluso con la metodología de diseño personalizado de JMP.
Y si observamos las pruebas t para las dos simulaciones, podemos ver que los valores p indican muy claramente cuándo hay curvatura presente en el conjunto de datos.
Y eso parece ser todo. ¿Verdad?
Bueno, en realidad no. Verás, existe otra corriente de pensamiento en torno a los DOE, y voy a argumentar que resuelve este problema de manera más eficiente que simplemente añadir algunos puntos centrales globales a un diseño de cribado y darlo por terminado.
Lo que el Departamento de Energía moderno dice que debes hacer con respecto a la curvatura
Todo este problema de la curvatura en un diseño de experimentos (DOE) surge de dos problemas en el diseño clásico. El primero es que, en un principio, los cálculos para los DOE se realizaban en papel, con lápiz y, probablemente, con una calculadora RPN (para los más entendidos). Por lo tanto, los diseños se elegían para que estos cálculos fueran lo más sencillos posible. Esto introdujo el concepto de ortogonalidad en el mundo del diseño experimental. La ortogonalidad facilita enormemente la comprensión de las matemáticas. El segundo problema radicaba en la creación del diseño en sí. Los diseños ortogonales son relativamente fáciles de conceptualizar y se ajustan bien al método científico tradicional. Podrían codificarse fácilmente en los manuales de referencia de los experimentadores.
Ambos problemas ya están resueltos. Lo más probable es que no estés analizando datos con una calculadora (ni de papel ni de otro tipo). Y, probablemente, no estés consultando algún libro antiguo para determinar tu configuración experimental, aunque podrías estar usando el equivalente digital sin saberlo. El hecho es que, a menos que estés en una clase de estadística con un profesor muy exigente, usarás software para analizar tu diseño y probablemente también para generarlo. Esto significa que no tienes que hacer análisis de diseño de experimentos con lápiz y papel; puedes dejar que la computadora lo resuelva. También significa que puedes dejar que los algoritmos informáticos determinen dónde deben ir los experimentos en el espacio de diseño, lo que te permite crear un diseño personalizado según tus especificaciones exactas. Desechar los requisitos antiguos te da acceso a una clase de herramientas increíblemente poderosas llamadas diseños experimentales modernos .
No voy a profundizar demasiado en los DOE modernos (hay excelentes libros sobre el tema: este y este son buenos puntos de partida) y constantemente se publican nuevos artículos en la literatura. Me voy a centrar un poco en una parte de los DOE modernos: el diseño óptimo. La versión simplificada del diseño óptimo consiste en que permite definir desde el principio dónde se cree que está la curvatura. El algoritmo establece entonces las condiciones experimentales adecuadas para comprobar si existe, sin desperdiciar recursos. Y eso es importante. Es bastante raro encontrarse con una situación en la que no se tenga alguna idea de si hay curvatura en el sistema de estudio. Si se trabaja con expertos en la materia durante el proceso de generación del diseño, deberían conocer este tipo de detalles. Aquí hay una captura de pantalla de cómo se ve esto en JMP:
En la sección del modelo, he indicado que considero importantes los efectos principales y que la interacción también lo es. El recuadro verde alrededor de los dos términos al cuadrado indica que creo que existe curvatura en el sistema en esos dos factores. El diseño óptimo colocará entonces los puntos centrales en los lugares correctos para comprobarlo. Ahora bien, si tuviera cinco factores, podría elegir cuáles quiero explorar para detectar la curvatura incluyéndolos solo en los términos del modelo, de esta manera:
Tenga en cuenta todas las combinaciones que no incluyo aquí (interacciones y potencias); son material que no necesito utilizar. Y cuando analicemos este diseño, aún podremos comprobar la curvatura como parte del proceso de generación del modelo.
Ahora bien, si desea comprobar la curvatura como parte de un diseño de cribado, también dispone de un método moderno: los diseños de cribado definitivos. Estos diseños incorporan puntos centrales y siguen siendo mucho más eficientes que los diseños factoriales fraccionados y otros tipos de diseño. Brad Jones ofrece excelentes recursos en la comunidad de JMP. Aquí les presento algunos de mis favoritos:
Reflexiones finales
Eso es todo. Es una excelente idea tener en cuenta las curvas en tus experimentos diseñados. Puedes comprobar fácilmente la curvatura con puntos centrales en JMP mediante una prueba t. El análisis no tiene nada de mágico, pero puede ser difícil de interpretar. Mi colega @Ross_Metusalem creó un complemento que realiza este análisis de forma excelente y presenta los resultados. Puedes consultarlo aquí: Prueba de curvatura cuadrática pura . ¡Hasta la próxima!
