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산업 문제 해결을위한 통계적 사고
그만큼 중앙 한계 정리 정규 분포가 통계 분석에 특히 유용합니다.
데이터를 분석 할 때 모집단의 데이터 샘플 하나를 분석합니다. 다른 샘플을 선택한 경우 계산 된 샘플 통계는 약간 다릅니다.
중앙 한계 정리 (Central Limit Theorem)를 사용하면 동일한 모집단에서 추출한 서로 다른 임의 샘플의 동작을 이해할 수 있습니다.
변수가 있다고 가정하십시오. 엑스 즉, 모집단 평균 m 및 모집단 표준 편차 s를 갖는 분포가 있습니다. 이 분포에서 크기 n의 많은 표본을 그립니다.
중앙 한계 정리는 이 샘플의 수단 샘플 크기가 커질수록 더 정상적으로 나타납니다. 이 표본 평균 분포는 실제 평균 m을 중심으로하며 모집단 표준 편차를 가지며 표본 크기가 증가함에 따라 작아집니다. 모집단 표준 편차를 평균의 표준 오차 또는 간단히 표준 에러 .
중앙 한계 정리를 설명하기 위해 시뮬레이션을 사용합니다.
여기서는 매우 오른쪽으로 치우친 모집단의 데이터를 시뮬레이션했습니다. 모집단의 평균은 0.2이고 표준 편차는 0.267입니다.
이것은이 모집단에서 얻은 1000 개의 개별 값에 대한 히스토그램입니다. 평균은 0.197이고 표준 편차는 0.265입니다. 이 값은 실제 모집단 값과 비슷하며 분포가 매우 왜곡됩니다.
이제 동일한 모집단에서 크기가 5 인 표본을 선택합니다. 이는 1000 개의 표본 평균 분포이며 각 평균은 5 개의 관측치에서 계산됩니다. 즉, 히스토그램에서 1000 개의 관측치 각각은 표본 평균입니다.
가장 먼저 눈에 띄는 것은 분포가 개별 값의 분포보다 훨씬 덜 왜곡되어 보인다는 것입니다. 모양이 더 뾰족하고 꼬리가 훨씬 짧습니다.
표본 평균의 분포는 모집단 평균에 가깝고 표본 평균의 표준 편차 0.124는 개별 값의 표준 편차보다 훨씬 작습니다.
다음은 표본 크기가 10, 50 및 100 인 표본 평균의 분포입니다. 이러한 분포를보다 쉽게 비교할 수 있도록 균일 한 스케일링이 적용되었습니다.
이 분포의 평균은 모집단 평균 0.2에 매우 가깝고, 표본 크기가 증가함에 따라 분포가 더 정규화되고, 표본 크기가 증가함에 따라 표본 평균의 분산 또는 변동이 작아집니다.
표본 표준 편차를 표본 크기의 제곱근으로 나누어 표본 평균의 표준 편차 또는 표준 오차를 추정합니다.
이는 표본 크기가 증가함에 따라 표본 평균 분포의 분포가 Root (n)의 계수만큼 작아짐을 알려줍니다.
통계에서 종종 샘플 평균을 사용하는 이유를 설명합니다.
- 우리는 표본을 채집하여 더 정확한 인구 거동 추정치를 얻습니다. 표본이 클수록 작은 표본보다 더 정확한 추정치를 제공합니다.
- 표본 평균의 표준 편차 또는 표준 오차는 항상 원시 데이터의 표준 편차보다 작습니다 (샘플 크기의 제곱근에 의해).
- 그리고 기본 분포가 정규적이지 않더라도 표본 평균은 대략 정규 분포를 따르며 표본 크기가 증가함에 따라이 분포는 더 정규화됩니다.
평균화는 효과적인 노이즈 필터이므로 원시 데이터의 가변성 노이즈를 통해 신호에 집중하고 신호를 볼 수 있습니다.
Quality Methods 모듈에서 작업중인 Central Limit Theorem의 증거를, 그리고 Decision Making with Data 모듈에서 통계 간격 및 가설 테스트에 대해 다시 배울 때도 확인할 수 있습니다.
다음 실습에서는 다음을 사용하여 중앙 한계 정리를 탐색합니다. 표본 평균의 표본 추출 분포 교육 모듈.
