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Pensamiento estadístico para la resolución de problemas industriales
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los Teorema del límite central hace que la distribución normal sea particularmente útil para los análisis estadísticos.
Cuando analiza datos, está analizando una muestra de datos de una población. Si hubiera seleccionado una muestra diferente, sus estadísticas de muestra calculadas serían ligeramente diferentes.
El Teorema del límite central le permite comprender el comportamiento de diferentes muestras aleatorias tomadas de la misma población.
Supongamos que tienes una variable, X , que tiene una distribución con media poblacional my desviación estándar poblacional s. Se extraen muchas muestras de tamaño n de esta distribución.
El teorema del límite central te dice que la distribución del medios de estas muestras se vuelve más normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Esta distribución de medias muestrales se centra en la media verdadera, m, y tiene una desviación estándar de la población, que se hace más pequeña a medida que aumenta el tamaño de la muestra. La desviación estándar de la población, se llama Error estandar de la media o simplemente Error estándar .
Para ilustrar el teorema del límite central, utilizamos una simulación.
Aquí, hemos simulado datos de una población que está extremadamente sesgada. La media de la población es 0.2 y la desviación estándar es 0.267.
Este es un histograma de 1000 valores individuales extraídos de esta población. La media es 0.197 y la desviación estándar es 0.265. Estos valores están cerca de los valores reales de la población, y la distribución está muy sesgada.
Ahora, seleccionamos muestras de tamaño 5 de esta misma población. Esta es una distribución de 1000 medias de muestra, donde cada media se calcula a partir de cinco observaciones. Es decir, cada una de las 1000 observaciones en el histograma es una media muestral.
Lo primero que observa es que la distribución se ve mucho menos sesgada que la distribución de los valores individuales. Tiene una forma más redondeada y tiene una cola mucho más corta.
La distribución de las medias muestrales es cercana a la media poblacional, y la desviación estándar de las medias muestrales, 0.124, es mucho menor que la desviación estándar de los valores individuales.
Aquí están las distribuciones de medias muestrales donde el tamaño de la muestra es 10, 50 y 100. Se ha aplicado una escala uniforme para facilitar la comparación de estas distribuciones.
Observe que las medias de estas distribuciones están muy cerca de la media de la población de 0.2, que las distribuciones se vuelven más normales a medida que aumenta el tamaño de la muestra, y que la dispersión o variabilidad en las medias de la muestra se reduce a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
Estimamos la desviación estándar de las medias muestrales, o el error estándar, dividiendo la desviación estándar muestral por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.
Esto nos dice que la extensión de la distribución de las medias muestrales se reduce por un factor de Raíz (n) a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
Esto explica por qué a menudo usamos promedios de muestra en las estadísticas.
- Obtenemos estimaciones más precisas del comportamiento de la población mediante la toma de muestras. Las muestras más grandes dan estimaciones más precisas que las muestras más pequeñas.
- La desviación estándar de la media de la muestra, o el error estándar, siempre es menor que la desviación estándar de los datos sin procesar (por un factor de la raíz cuadrada del tamaño de la muestra).
- Y los promedios de muestra se distribuyen aproximadamente de manera normal, incluso si la distribución subyacente no es normal, y a medida que aumenta el tamaño de la muestra, esta distribución se vuelve más normal.
El promedio también es un filtro de ruido efectivo, que le permite enfocarse y ver la señal a través del ruido de la variabilidad en los datos sin procesar.
Verá evidencia del Teorema del límite central en funcionamiento en el módulo Métodos de calidad, y nuevamente cuando aprenda sobre intervalos estadísticos y pruebas de hipótesis en el módulo Toma de decisiones con datos.
En el próximo ejercicio de práctica, explorará el Teorema del límite central utilizando el Distribución muestral de medias muestrales módulo de enseñanza
