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産業問題解決のための統計的思考
の中心極限定理正規分布を統計分析に特に役立ちます。
データを分析すると、母集団からのデータの1つのサンプルを分析することになります。別のサンプルを選択した場合、計算されたサンプル統計は少し異なります。
中心極限定理を使用すると、同じ母集団から抽出されたさまざまなランダムサンプルの動作を理解できます。
変数があるとします。バツ 、人口平均mと人口標準偏差sの分布があります。 この分布からサイズnの多くのサンプルを引き出します。
中心極限定理は、これらのサンプルの手段サンプルサイズが大きくなるほど、通常になります。このサンプル平均の分布は、真の平均mを中心としており、母集団の標準偏差があり、サンプルサイズが大きくなるにつれて小さくなります。人口標準偏差は、平均の標準誤差 、または単に、標準誤差 。
中心極限定理を説明するために、シミュレーションを使用します。
ここでは、極端に右に歪んでいる母集団からのデータをシミュレートしました。母集団の平均は0.2で、標準偏差は0.267です。
これは、この母集団から抽出された1000個の個別値のヒストグラムです。平均は0.197で、標準偏差は0.265です。これらの値は真の人口値に近く、分布は非常に右に歪んでいます。
次に、同じ母集団からサイズ5のサンプルを選択します。これは、1000個のサンプル平均の分布で、各平均は5つの観測から計算されます。つまり、ヒストグラムの1000個の観測値のそれぞれがサンプル平均です。
最初に気づくのは、個々の値の分布よりも分布が歪んでいないように見えることです。形状はより盛り上がっており、尾部ははるかに短くなっています。
標本平均の分布は母平均に近く、標本平均の標準偏差0.124は個々の値の標準偏差よりもはるかに小さくなっています。
これは、サンプルサイズが10、50、および100であるサンプル平均の分布です。これらの分布を簡単に比較できるように、均一なスケーリングが適用されています。
これらの分布の平均は母平均の0.2に非常に近く、サンプルサイズが大きくなると分布はより正規になり、サンプルサイズが大きくなるとサンプル平均の分散または変動が小さくなることに注意してください。
サンプルの標準偏差をサンプルサイズの平方根で割ることにより、サンプルの平均の標準偏差または標準誤差を推定します。
これは、サンプルサイズが増加するにつれて、サンプル平均の分布の広がりがRoot（n）の係数で小さくなることを示しています。
これが、統計でサンプル平均をよく使用する理由です。
- サンプルを取得することで、人口行動のより正確な推定値を取得します。サンプルが大きいほど、小さいサンプルよりも正確な推定値が得られます。
- 標本平均の標準偏差または標準誤差は、常に生データの標準偏差よりも小さくなります（標本サイズの平方根の係数による）。
- また、サンプル平均は、基になる分布が正規でない場合でもほぼ正規分布であり、サンプルサイズが大きくなると、この分布はより正規になります。
平均化は効果的なノイズフィルターでもあり、生データの変動性のノイズを通して信号を集中して確認することができます。
品質限界モジュールで機能している中央極限定理の証拠が表示されます。また、データを使用した意思決定モジュールで統計区間と仮説検定について学習したときにも表示されます。
次の練習問題では、を使用して中心極限定理を探索します。サンプル平均のサンプリング分布教育モジュール。
