很明顯，當我們對單個值進行分組時，考慮所有組均值的標準差低於單個值的標準差。 那麼，為了減少圍繞所有值的平均值的變化，是否盡可能將單個值分組？
最好使用帶有警告的單個值。
均值估計為置信區間 (hCI) 的 +/- 一半長度 - 假設個體值呈正態分佈。 hCI 越小，您估計的均值就越精確。 hCI 的公式為：
hCI = 標準偏差*t/sqrt(n*g)
;其中 g 是組數，n 是每組個體值的數量，t 是具有 n-1 自由度且 alpha = 0.05 的 t 值，std 偏差是指個體值的偏差。 設 N = n*g，即單個值的總數。
因此，對於給定的 N，當您對值進行分組時——隨著 g 的增加——您會強制減少 n 以保持 N 不變。 如果您不對值進行分組，則 N = n。 然後，對於給定的 N，當您不對單個值進行分組時，n 會更大。 由於 n-1 自由度，n 的值影響 t 值。 n 越高，t 值越低——儘管不是線性的。 因此，在較低的 t 值和相同的 N 的情況下，根據單個值估計的平均值會導致更小的 hCI——即更精確。
下圖顯示了當標準偏差 = 1 — 標準化 hCI (hCI*) — 與 N 時發生的情況，並標註了組數 g。 請注意，隨著 g 從 1 增加到 4，對於給定的 N，hCI* 會增加。 然而，隨著 N 的增加，組大小之間的 hCI* 差異會減小。 因此，對於較大的 N，實際上是否對單個值進行分組並不重要。 對於小 N，這很重要。
因此，最好根據單個值來估計平均值。 如果你有一個大的 N，分組可能充其量只是和不分組一樣好，但永遠不會更好。
分組最好的感覺來自這樣一個事實，即組均值 (m) 的標準差為：m = 標準差/sqrt(n)。 但是如果你使用 group 意味著 hCI 是：
hCI = m*t/sqrt(g) = [標準偏差/sqrt(n)]*[t/sqrt(g)] = 標準偏差*t/sqrt(n*g)。
現在，警告。 分組最好的感覺也可能來自這樣一個事實，即在許多測試標準、過程控製圖等中經常出現這種情況……
假設您對一組零件進行了單獨測量，並且這些零件代表了很多。 上圖背後的推理適用於最簡單的情況，在這種情況下，您希望從特定部分的單獨測量中得出其平均值——您對批次平均值或其他部分不感興趣——因此數據沒有層次結構。
如果您對批次均值感興趣，則必須按部件對各個測量值進行分組，因為部件可能不都具有相同的均值。 在這種情況下，如果您不按零件分組，並且零件的單個測量值的數量非常不相等，則通過對所有單個值求平均值得到的批次平均值可能會偏向那些具有更多測量值的零件。 此外，即使零件的單個測量值數量相等，使用單個值也會誇大批次內的變化，因為它不僅會反映零件之間的變異性，還會反映測量變異性。
如果您對每個部分的平均值進行平均，則測量變異性對批次變異性的影響會降低。 每個部件的測量次數越多，這種影響就越小，因為部件將被更精確地估計——上圖中 g = 1 的 hCI 更小——因此測量的偏差更小。 對每個零件進行一些單獨的測量可以將其 hCI 降低很多倍。
