Es ist offensichtlich, dass bei der Gruppierung einzelner Werte die Standardabweichung unter Berücksichtigung der Mittelwerte aller Gruppen geringer ist als die Standardabweichung der Einzelwerte. Würde es sich also auszahlen, wenn möglich, einzelne Werte zu gruppieren, um Abweichungen um den Mittelwert aller Werte zu verringern?
Es ist am besten, einzelne Werte mit einer Einschränkung zu verwenden.
Die Mittelwerte werden mit +/- halber Länge des Konfidenzintervalls (hCI) geschätzt - unter Annahme normalverteilter Einzelwerte. Je kleiner der hCI, desto genauer schätzen Sie den Mittelwert. Die Formel für hCI lautet:
hCI = Standardabweichung * t / sqrt (n * g)
;; Dabei ist g die Anzahl der Gruppen, n die Anzahl der Einzelwerte pro Gruppe, t der t-Wert mit n-1 Freiheitsgraden und alpha = 0,05, und die Standardabweichung bezieht sich auf die der Einzelwerte. Sei N = n * g, die Gesamtzahl der Einzelwerte.
Wenn Sie also für ein gegebenes N Werte gruppieren - wenn g zunimmt -, reduzieren Sie n zwangsweise, um N konstant zu halten. Wenn Sie keine Werte gruppieren, ist N = n. Dann ist n für ein gegebenes N größer, wenn Sie keine einzelnen Werte gruppieren. Der Wert von n beeinflusst den t-Wert aufgrund der n-1 Freiheitsgrade. Je höher das n, desto niedriger der t-Wert - wenn auch nicht linear. Als solches führt der aus einzelnen Werten geschätzte Mittelwert mit einem niedrigeren t-Wert und demselben N zu einem kleineren hCI - dh genauer.
Das folgende Diagramm zeigt, was passiert, wenn die Standardabweichung = 1 - der standardisierte hCI (hCI *) - vs. N, wobei die Anzahl der Gruppen g mit Anmerkungen versehen ist. Es ist zu beachten, dass mit zunehmendem g von 1 auf 4 der hCI * für ein gegebenes N zunimmt. Der Unterschied im hCI * zwischen den Gruppengrößen verringert sich jedoch, wenn N zunimmt. Für ein großes N spielt es also praktisch keine Rolle, ob Sie einzelne Werte gruppieren. Für ein kleines N ist das ziemlich wichtig.
Daher ist es am besten, den Mittelwert aus einzelnen Werten zu schätzen. Wenn Sie ein großes N haben, kann die Gruppierung bestenfalls so gut wie nicht gruppiert sein, aber niemals besser.
Das Gefühl, dass Gruppierung am besten ist, kommt von der Tatsache, dass die Standardabweichung des Gruppenmittels (m) ist: m = Standardabweichung / Quadratmeter (n). Wenn Sie jedoch group verwenden, bedeutet dies, dass der hCI:
hCI = m * t / sqrt (g) = [Standardabweichung / sqrt (n)] * [t / sqrt (g)] = Standardabweichung * t / sqrt (n * g).
Nun die Einschränkung. Das Gefühl, dass Gruppierung am besten ist, kann auch von der Tatsache herrühren, dass dies in vielen Teststandards, Prozesskontrolldiagrammen usw. häufig der Fall ist.
Angenommen, Sie haben Einzelmessungen eines Teilesatzes und diese Teile repräsentieren viel. Die Argumentation hinter der obigen Darstellung gilt für den einfachsten Fall, in dem Sie den Mittelwert eines bestimmten Teils aus seinen einzelnen Messungen ermitteln möchten - Sie interessieren sich nicht für den Mittelwert des Loses oder für andere Teile -, sodass die Daten keine Hierarchie aufweisen.
Wenn Sie sich für den Losmittelwert interessieren, ist die Gruppierung der einzelnen Messungen nach Teilen ein Muss, da möglicherweise nicht alle Teile den gleichen Mittelwert haben. Wenn Sie in diesem Fall nicht nach Teilen gruppieren und die Anzahl der Einzelmessungen nach Teilen sehr ungleich ist, kann der Lot-Mittelwert, den Sie durch Mittelung aller Einzelwerte erhalten, auf diejenigen Teile mit mehr Messungen verzerrt sein. Selbst wenn die Anzahl der Einzelmessungen pro Teil gleich ist, wird die Variation innerhalb des Loses durch Verwendung einzelner Werte aufgeblasen, da sie nicht nur die Variabilität von Teil zu Teil, sondern auch die Variabilität der Messung widerspiegelt.
Wenn Sie die Durchschnittswerte der einzelnen Teile mitteln, wird der Einfluss der Messvariabilität auf die Losvariabilität verringert. Je höher die Anzahl der Messungen pro Teil ist, desto geringer ist diese Auswirkung, da die Teile genauer geschätzt werden - kleinerer hCI gemäß g = 1 im obigen Diagramm - und somit weniger durch die Messung verzerrt werden. Ein paar Einzelmessungen pro Teil können den hCI um ein Vielfaches reduzieren.
