以前，在“經驗教訓”中...
Whelp，我仍然在家裡，仍在嘗試進行整個統計建模。什麼時候最後你離開了我 （感謝您回來！），我對自己的預測模型的表現如此差強人意，感到異常樂觀和靈活。從那時起，我的最初模特一直在繼續發展。實際上，這是這四個部分的圖以及截至本博客文章撰寫之時的當前計數（2020年4月30日）。
是的，這不漂亮。也許可以說是抽象藝術，但不能肯定地作為合理的預測模型。但是，就像頁面和屏幕英雄一樣，逆境使我不得不適應甚至學習新事物！
如果起初您沒有成功……
我意識到的第一件事是，我的模型除了在第一篇文章 。具體來說，後勤該模型假設變化率在拐點附近對稱。案例從0上升的速度與接近漸近線的速率相同。這對於某些數據可能過於嚴格，因此我決定嘗試擬合其他類型的S型曲線。在這一點上，我發現自己很想開始“飛鏢建模”。
飛鏢造型？那是什麼？好吧，這是我的意思，是指某人通過選擇隨機模型並將其“扔”到數據中以查看哪個模型最適合進行模型擬合。就像在飛鏢板上投擲飛鏢一樣（儘管我的“飛鏢建模”遊戲可能比我的實際“飛鏢”遊戲更好）。“嗯，那是怎麼了？”你可能會問。嗯……我想本質上並沒有什麼真正的“錯誤”。我不常去酒吧，尤其是那些帶有飛鏢的酒吧，所以我想我不是很擅長這不是一個真正的問題 – 哦，您的意思是“飛鏢模型”！我的錯。
是的，表面上，這聽起來像是我在討論統計建模的全部內容。但是，請聽我說。我同意適合不同的模型是一種好習慣。它有助於防止自己偏向特定的模型，就像我的物流模型所發生的事情一樣。同時，有很強的傾向只是拍打許多不同類型的模型，當一個模型似乎表現良好時，進行擬合，檢查指標，獲取預測，發布報告，倒入自己喜歡的飲料，獲取坐在您最喜歡的椅子上，放鬆身體，享受做得好的工作。但這缺少了最重要的一項（如果沒有的話） 的最重要）統計建模方面！讓我這樣總結一下： 一個好的模型可以很好地擬合和預測；出色的模型可以改善並吸引您的理解。
教人釣魚...
僅因為特定模型或分佈適合併預測得很好而沒有真正了解該模型的來源，而使用它，就像將原始的倫勃朗或薩爾瓦多·達利掛在您的浴室牆上一樣，僅僅是因為它有助於掩蓋空白牆；是的，它確實可以勝任工作，但是這完全沒有意義。讓我們以廣受歡迎的正態分佈或高斯分佈為例。它在統計建模中無處不在，但我敢打賭，很少有人知道它在哪裡起源 。知道此歷史記錄可為何時何地使用此類分發提供有價值的背景信息。但是，對於大多數人來說，這是他們的數據必須遵守（或被迫遵守）的黃金標準，否則它們將被沉沒。這真令人難過。如果數據與模型之間存在差異，則應將其視為發現的機會，而不應視為數據無法滿足您的標準。如果這是數據與模型之間的競爭，則數據獲勝的機會應該更多。
在對COVID-19確診病例進行建模的情況下，由於意識到使用邏輯模型的局限性，我不得不考慮其他類型的S型模型。接下來我考慮了 Gompertz模型因為這似乎是下一個合理的選擇。…好的，好的，你救了我。實際上，它實際上只是JMP的S型模型集合中另一個聽起來不錯的選擇，所以我想嘗試一下。但是，一些快速研究確實表明它已用於疾病建模，因此值得一試嗎？我只能看到Fauci博士羞愧地垂下頭。
實際上，快速的研究帶來了更多的東西。多得多。首先，我發現Gompertz模型和logistic模型都是稱為廣義邏輯模型或理查茲曲線。曲線族具有以下常見形式：
I（t）= A / {1 + e ^ [-b（t-t0）]} ^ v
哪裡一個是漸近線， b 是增長率，t0是拐點，並且 v 是第四個參數，用於控制拐點的增加速度最快的那一側。如果 v <1 ，則增長率是拐點之前最快的。什麼時候 v = 1，您將獲得到目前為止我一直使用的邏輯模型。實際上，這意味著在高峰期（拐點）之後，每天減少病例數要比高峰期之前增加的時間更長。我實際上是使用的非線性平台將該模型擬合到數據的 JMP 並取得了不錯的成績。但是即使這樣，我仍然認為我仍然缺少廣義模型的要點。除少數情況外，這些類型的模型通常用於更靈活地建模，並最終幫助縮小到更專業的模型。在這種情況下，我發現 v 我會變得非常非常小。到幾乎沒有零的地步。事實證明， v-> 0 在極限情況下，廣義邏輯函數成為Gompertz函數。所以我的選擇沒有我想的那麼隨意！
我學到的下一件事也許更具有啟發性。當我查看這些模型時，我想知道與流行病學模型是否有任何联系。簡短的答案是肯定的。但是長的答案更加有趣，因此我們將逐步解決。
我使用的簡單邏輯模型實際上是在一個條件下產生的一對微分方程的解。 SIS模型流行病。這裡，小號代表易感和一世代表受感染。該模型是SIR模型的簡化案例（其中 [R 代表“已刪除”或“已恢復”），您無需從“易感染”轉變為“已感染”，而只需從“易感染”轉變為“已感染”即可。換句話說，該模型適用於從未完全發展出對疾病的免疫力的情況，例如普通感冒。現在，這個模型對像Covid-19這樣的東西有多合適，這是我將要交給流行病學家的東西。但是，即使它是一個非常簡單的模型，至少也與眾所周知的流行病學模型有某種聯繫。
為了更好地理解這種聯繫，讓我們看一下我提到的那個解決方案，它看起來像這樣：
I'（t）= CI（t）{1- [I（t）/ A]}，
其中C是比例常數。
此解決方案意味著感染率，它） 與當前感染水平成正比，該水平由該感染水平到某個上限的距離加權一個 （通常是感興趣位置的人口）。就是說，隨著感染數量的增加，它起初的速度更快，因為其重量很小（ 它） 離...很遠一個 ），但一段時間後變慢它） 越來越近一個 。計數與其之間的距離之間的相互作用一個是導致S形乙狀結腸行為的原因。
那Gompertz模型呢？不幸的是，我還沒有找到它與許多流行病學分區模型之一之間的聯繫。也許有人在那裡做？如果您這樣做，請發表評論！如果沒有，那麼這意味著我們有機會進行發現嗎？至少我知道有些人使Gompertz模型適合已發表的研究甚至JMPers /扶手椅分析師也看到了它的潛力（請參閱 @matteo_patelmo 對我的第一篇文章發表了出色的評論）！這導致我進入另一個討論點……
縮放…不僅僅是在線聊天工具
當我閱讀文章，Twitter帖子以及呼籲對Covid-19進行研究時，我常常感到自己不足夠。外面有很多流行病學家都在努力研究和理解這種病毒。我所能做的最好的就是說，在Covid-19病例中觀察到的趨勢遵循某種模型，並且與疾病模型有關。這是否意味著我的方法缺乏信息？
當我思考這一點時，我想起了我們如何教授物理學。我知道似乎有些牽強，你們中的一些人可能對這個主題有不好的記憶，但請聽我說。當您第一次學習物理學時，您將從牛頓的運動定律開始，研究諸如擺動擺，彈簧，在空中飛彈的砲彈以及行星的軌道運動之類的事物的運動。所有漂亮有趣的東西！但是，對於那些繼續上大學甚至可能繼續學習的人們，您開始“放大”並開始研究原子甚至亞原子粒子的運動和相互作用。一切似乎是如此的複雜。但是，從理論上講，您可以使用那些複雜的交互作用來描述一個球如何向空中投擲，從而產生弧線，最終得出與您在該中學物理課中得出的二次方程式相同的二次方程式。您可能會說，現在的疾病建模正在發生同樣的事情。我們中的某些人（包括我自己）正在採取“縮小”方法，使用相對簡單的描述基本趨勢的模型來對確診病例和日常病例的數量進行建模。其他人，例如流行病學家，則採取“放大”方法，試圖對相同的現象進行建模，但要利用他們在疾病行為和傳播方面的專業知識。
這就是說，無論您是“放大”還是“放大”，我們倆都應該朝著同一目標匯合。無論是從30,000英尺高處還是站在樹林中，一片森林仍然是一片森林。這就是為什麼我如此激動地看到邏輯模型與SIS隔離模型之間的聯繫。通過證明這是描述同一件事的另一種方式，它驗證了我的方法。這就是為什麼我對Gompertz模型也抱有希望。也許在外面的某個地方，有一個“放大”的同伴正等著被發現（或向我解釋）。
道路不斷前進……
好吧，只要我們處於待命狀態，我將繼續進行統計建模冒險。如果您想知道我的新模型的性能如何，請快速瀏覽一下截至2020年4月29日的情況。
看來我做得好很多！儘管多獲得一個月的數據肯定會有所幫助。為了公開起見，這是我在過去一個月中使用的所有模型，其中顯示了截至2020年4月29日的所有數據。
您可以清楚地看到我的模型如何很好地捕捉了未來的觀察結果。有一次，在最終切換到廣義Logistic模型之前，我確實使用了Gompertz和Logistic模型的混合，將它們與JMP中的Nonlinear平台配合使用。直到最近，我才注意到參數估計值都傾向於Gompertz模型，這就是為什麼我最終改回該特定模型的原因。
如果您希望自己動手進行建模（和學習），我還將在此數據表中附加我一直在使用的一些數據。它還包含我的模型隨時間變化的擬合以及其他一些有用的表腳本。請注意，它僅包含直到四月底的數據。如果您想添加到它，請隨時訪問約翰·霍普金斯大學CSSE網站 ，這是我的主要來源。
如果您正在考慮公開發布您的預測模型，我將快速提醒您。正如我在本博客系列中所談到的那樣，預測建模是一項棘手的事情。那裡已經有很多可疑的結果和錯誤信息。 因此，請在發布之前仔細考慮。
希望您喜歡我的統計建模之旅，並從中學到新東西！因此，在我們下次會議之前，待在家裡，保持安全並保持好奇心！！
喜 @小腿 ，歡迎回來，這是對您原始帖子的補充。
我還使用上次使用的相同方法添加了更多分析（實際上，我已經寫了一些JSL來為我做..），並介紹了其他“內置” s形函數（3/4 / 5p logistic） ，3 / 4p gompertz，4p probit）。 以下是結果 ＃失去生命在4個國家/地區（美國，英國，德國，意大利）。 起初5p物流似乎是最有前途的，但從一天到第二天，它的預測差異很大。 我認為我們正在這裡看到偏差與方差的權衡。參數更多，偏差更好，但方差更高。 總的來說，我會選擇Gompertz 4P，但是這四個國家之間存在一些顯著差異：就德國而言，Gompertz 4P一直被高估，而其他三個國家卻被低估了。
期待您的下一篇文章！
馬泰奧
謝謝 @matteo_patelmo ！您對其他模型的分析是驚人的！
很高興看到您堅持使用Gompertz模型。我還有另一位同事 @bradleyjones ，他一直在對美國數據進行自己的建模，他似乎也認為Gompertz模型的效果最佳。三個人都聚集在同一個模型上，這對我來說是一個好兆頭，表明這個特定模型值得進一步研究。
