Auparavant, sur "Leçons apprises" ...
Whelp, je suis toujours à la maison et j'essaye toujours de faire toute cette histoire de modélisation statistique. Quand la dernière fois que tu m'as quitté (merci d'être revenu!), je semblais étrangement optimiste et résilient au fait que mes modèles prédictifs avaient si mal fonctionné. Depuis lors, mes premiers modèles ont continué de char. En fait, voici une intrigue des quatre ainsi que les décomptes actuels jusqu'à la rédaction de ce blog (30 avril 2020).
Oui, ce n'est pas joli. Peut-être en tant qu'art abstrait, mais pas en tant que modèles prédictifs solides, c'est certain. Mais, tout comme les héros de la page et de l'écran, l'adversité m'a obligé à m'adapter et même à apprendre de nouvelles choses!
Si au début vous ne réussissez pas…
La première chose que j'ai réalisée est que mon modèle avait des limitations supplémentaires au-delà de celles discutées dans le premier message . Plus précisément, un la logistique le modèle suppose que le taux de changement est symétrique autour du point d'inflexion. La vitesse à laquelle les cas passent de 0 est la même que la vitesse à laquelle elle s'approche de l'asymptote. Cela a peut-être été trop restrictif pour certaines données, j'ai donc décidé d'essayer d'ajuster d'autres types de courbes sigmoïdes. À ce stade, je me suis retrouvé tenté de commencer la «modélisation de fléchettes».
Modélisation de fléchettes? Qu'est-ce que c'est? Eh bien, c'est mon terme quand quelqu'un effectue l'ajustement de modèle en sélectionnant des modèles aléatoires et en les «jetant» sur les données pour voir lequel colle le mieux. Tout comme lancer des fléchettes sur un jeu de fléchettes (bien que mon jeu de "modélisation de fléchettes" soit probablement meilleur que mon jeu de "fléchettes" réel). "Eh bien, qu'est-ce qui ne va pas?" vous pourriez demander. Hmm… Je suppose qu'il n'y a rien de vraiment «mauvais» en soi. Je ne fréquente pas beaucoup de bars, en particulier ceux avec des fléchettes, donc je suppose que ce n'est pas vraiment un problème pour lequel je ne suis pas si bon - oh, vous vouliez dire "modélisation de fléchettes"! Ma faute.
Oui, en surface, on dirait que je dissipe tout le point de la modélisation statistique. Mais écoutez-moi. Je suis d'accord que l'ajustement de différents modèles est une bonne pratique. Cela vous évite d'être biaisé vers un modèle particulier, un peu comme ce qui se passait avec mes modèles logistiques. Dans le même temps, il y a une forte tendance à simplement gifler sur de nombreux types de modèles différents et, lorsque l'un semble bien fonctionner, faire l'ajustement, vérifier les métriques, obtenir les prévisions, publier le rapport, vous verser votre boisson préférée, obtenir installez-vous confortablement dans votre fauteuil préféré, penchez-vous en arrière et profitez d'un travail bien fait. Mais il manque l'un des plus importants (sinon le aspects les plus importants) de la modélisation statistique! Permettez-moi de le résumer de cette façon: Un bon modèle correspond et prédit bien; un excellent modèle améliore et engage votre compréhension.
Apprenez à un homme à pêcher…
Utiliser un modèle ou une distribution particulier uniquement parce qu'il s'adapte et prédit assez bien sans vraiment comprendre d'où vient ce modèle, c'est comme accrocher un Rembrandt ou Salvador Dali original au mur de votre salle de bain uniquement parce qu'il aide à couvrir un mur blanc; il fait le travail, oui, mais cela manque complètement le point. Prenons par exemple la distribution Normale ou Gaussienne toujours populaire. Il apparaît partout dans la modélisation statistique, mais je parierais que très peu de gens savent où il originaire . Connaître cette histoire fournit un contexte précieux pour savoir quand et où il est approprié d'utiliser une telle distribution. Cependant, pour la plupart des gens, il s'agit d'une norme de référence à laquelle leurs données doivent adhérer (ou peuvent être forcées d'adhérer), sinon elles sont coulées. C'est très triste; s'il existe un écart entre les données et le modèle, il doit être considéré comme une opportunité de découverte et non comme un échec des données à répondre à vos normes. S'il s'agit d'un concours entre les données et le modèle, les données devraient gagner plus souvent qu'autrement.
Dans le cas de ma modélisation de cas confirmés COVID-19, ma prise de conscience des limites de l'utilisation d'un modèle logistique m'a amené à envisager d'autres types de modèles sigmoïdes. J'ai ensuite considéré un Modèle Gompertz parce que cela semblait être le prochain choix logique. … OK, OK, tu m'as eu. C'était en fait juste une autre option de sonorité sophistiquée dans la collection de modèles sigmoïdes de JMP, alors j'ai pensé l'essayer. Cependant, certaines recherches rapides ont montré qu'il avait été utilisé dans la modélisation des maladies, alors vaut-il le coup? Je peux juste voir le Dr Fauci pendre la tête de honte.
En fait, cette recherche rapide a conduit à quelque chose de plus. Beaucoup plus. Tout d'abord, j'ai trouvé que les modèles Gompertz et logistiques faisaient tous deux partie d'une famille de modèles appelés modèles logistiques généralisés ou les courbes de Richards. La famille de courbes a la forme commune suivante:
I (t) = A / {1 + e ^ [- b (t-t0)]} ^ v
où UNE est l'asymptote, b est le taux d'augmentation, t0 est le point d'inflexion, et v est un quatrième paramètre qui contrôle de quel côté du point d'inflexion le taux d'augmentation est le plus rapide. Si v <1 , alors le taux d'augmentation est le plus rapide avant le point d'inflexion. Quand v = 1, vous obtenez le modèle logistique que j'utilisais jusqu'à présent. En pratique, cela signifierait que le nombre de cas quotidiens mettrait plus de temps à baisser après le pic (point d'inflexion) qu'il ne le faisait pour eux d'augmenter avant le pic. En fait, j'adapte ce modèle aux données en utilisant la plate-forme non linéaire JMP et a obtenu de très bons résultats. Mais même là-dedans, je pense qu'il me manquait encore le point du modèle généralisé. À quelques exceptions près, ces types de modèles sont généralement utilisés pour être plus flexibles dans la modélisation et, en fin de compte, aider à se limiter à un modèle plus spécialisé. Dans ce cas, je trouvais que la valeur de v Je serais en train de devenir très, très petit. Au point d'être pratiquement différent de zéro. En fait, comme v-> 0 à la limite, la fonction logistique généralisée devient une fonction de Gompertz. Mon choix n'a donc pas été aussi aléatoire que je le pensais!
La prochaine chose que j'ai apprise était peut-être encore plus éclairante. En examinant ces modèles, je me suis demandé s'il y avait un lien avec les modèles épidémiologiques. La réponse courte est oui, il y en a. Mais la longue réponse est plus fascinante, nous allons donc la parcourir.
Le modèle logistique simple que j'utilisais est en fait la solution à la paire d'équations différentielles qui se posent sous un Modèle SIS pour les épidémies. Ici, S signifie Susceptible et je signifie infecté. Ce modèle est un cas simplifié d'un modèle SIR (où R signifie Supprimé ou Récupéré) où, au lieu de passer de Susceptible à Infecté à Récupéré, vous passez simplement de Susceptible à Infecté de nouveau à Susceptible. En d'autres termes, ce modèle convient aux situations dans lesquelles une immunité à la maladie ne se développe jamais complètement, comme avec le rhume. Maintenant, à quel point ce modèle est approprié pour quelque chose comme Covid-19, je vais m'en remettre aux épidémiologistes. Mais au moins, il existe un lien avec un modèle épidémiologique bien connu, même s'il est très simple.
Pour mieux comprendre cette connexion, jetons un coup d'œil à la solution que j'ai mentionnée, qui ressemble à ceci:
I '(t) = CI (t) {1- [I (t) / A]},
où C est une constante de proportionnalité.
Cette solution signifie que le taux d'infection, Il) est proportionnelle au niveau actuel d'infection pondéré par la distance de ce niveau à une limite supérieure UNE (généralement la population du lieu d'intérêt). Autrement dit, à mesure que le nombre d'infection augmente, il le fait plus rapidement au début, car ce poids est petit ( Il) est loin de UNE ) mais ralentit ensuite après un certain Il) se rapproche de UNE . Cette interaction entre les comptes et sa distance par rapport à UNE est ce qui conduit à ce comportement sigmoïde en forme de S.
Et le modèle Gompertz? Malheureusement, je n'ai pas encore pu trouver le lien entre celui-ci et l'un des nombreux modèles compartimentaux d'épidémiologie. Peut-être qu'il y a quelqu'un là-bas qui le fait? Veuillez commenter si vous le faites! Sinon, cela signifie simplement que nous avons une opportunité de découverte, non? À tout le moins, je connais des gens qui ont adapter le modèle de Gompertz aux recherches publiées et même des collègues JMP / analystes en fauteuil ont vu son potentiel (voir @matteo_patelmo excellent commentaire sur mon premier post)! Ce qui m'amène à un autre point de discussion…
Zoom… Ce n'est pas seulement un outil de chat en ligne
En lisant des articles, des publications sur Twitter et des appels à la recherche sur Covid-19, je me sens souvent mal à l'aise. Il y a beaucoup d'épidémiologistes qui travaillent très dur pour essayer de comprendre ce virus. Le mieux que je puisse faire est de dire que la tendance observée dans les cas de Covid-19 suit un type de modèle ayant un lien avec la modélisation de la maladie. Est-ce à dire que mon approche est moins informative?
En réfléchissant à cela, je me suis rappelé comment nous enseignons la physique. Cela semble un peu exagéré, je sais, et certains d'entre vous peuvent avoir de mauvais souvenirs du sujet, mais écoutez-moi. Lorsque vous apprenez la physique pour la première fois, vous commencez par les lois de Newton sur les mouvements, en étudiant le mouvement de choses comme les pendules oscillants, les ressorts, les boulets de canon volant dans les airs et les mouvements orbitaux des planètes. Tous des trucs assez fascinants! Mais, pour ceux qui ont poursuivi leurs études à l'université et peut-être même au-delà, vous avez commencé à «zoomer» et à commencer à étudier les mouvements et les interactions des particules atomiques et même subatomiques. Tout cela semble si avancé et compliqué. Pourtant, en théorie, vous pourriez utiliser ces mêmes interactions complexes pour décrire comment une balle lancée dans l'air crée l'arc qu'elle produit, en fin de compte avec la même équation quadratique que vous avez dérivée dans ce cours de physique du lycée. On pourrait dire que la même chose se produit avec la modélisation de la maladie en cours actuellement. Certains d'entre nous, y compris moi-même, adoptons une approche «dézoomée», modélisant le nombre de cas confirmés et quotidiens avec des modèles relativement simples qui décrivent les tendances de base. D'autres, comme les épidémiologistes, adoptent une approche «zoomée», essayant de modéliser les mêmes phénomènes mais en utilisant leur expertise en la matière concernant le comportement et la propagation des maladies.
Tout cela pour dire que, que vous soyez «dézoomé» ou «zoomé», nous devrions tous deux converger vers le même objectif. Que ce soit à partir de 30 000 pieds ou debout au milieu des arbres, une forêt est toujours une forêt. C'est pourquoi j'étais tellement excité de voir le lien entre le modèle logistique et le modèle compartimenté SIS. Cela a validé mon approche en montrant que c'était une façon différente de décrire la même chose. C'est pourquoi j'ai également de l'espoir pour le modèle Gompertz. Peut-être quelque part, là-bas, il y a un compagnon «zoomé» qui ne demande qu'à être trouvé (ou expliqué à moi).
La route continue sans cesse…
Eh bien, tant que nous serons sous commandes à domicile, je continuerai mes aventures de modélisation statistique. Si vous vous demandez si mes nouveaux modèles ont bien fonctionné, voici un aperçu du 29 avril 2020.
On dirait que je vais beaucoup mieux! Bien que disposer d'un mois supplémentaire de données soit certainement utile. Dans un souci d'ouverture, voici tous les modèles que j'ai utilisés au cours du dernier mois, avec toutes les données jusqu'au 29 avril 2020.
Vous pouvez clairement voir beaucoup d'avant en arrière dans la façon dont mes modèles ont capturé les observations futures. À un moment donné, j'ai utilisé un mélange de Gompertz et de modèles logistiques avant de passer finalement aux modèles logistiques généralisés, en les adaptant à la plate-forme non linéaire de JMP. Ce n'est que récemment que j'ai remarqué que les estimations des paramètres étaient toutes orientées vers un modèle de Gompertz, c'est pourquoi je suis finalement revenu à ce modèle particulier.
Je joins également certaines des données que j'ai utilisées ici dans ce tableau de données si vous souhaitez vous essayer à la modélisation (et à l'apprentissage). Il contient également mes ajustements de modèle au fil du temps ainsi que d'autres scripts de table utiles. Notez qu'il ne contient des données que jusqu'à fin avril. Si vous souhaitez y ajouter quelque chose, n'hésitez pas à visiter le Site CSSE de l'Université John Hopkins , qui a été ma principale source.
J'ajouterai une brève mise en garde si vous envisagez de publier publiquement vos modèles prédictifs. Comme je l'ai mentionné dans cette série de blogs, la modélisation prédictive est une entreprise délicate. Il y a déjà beaucoup de résultats douteux et de désinformation. Alors s'il vous plaît, réfléchissez bien avant de poster.
J'espère que vous avez aimé suivre mon parcours de modélisation statistique et peut-être appris quelque chose de nouveau! Donc, jusqu'à notre prochaine réunion, restez à la maison, restez en sécurité et restez curieux !!
