您在我的同事那里了解了 CUSUM 控制图@安妮达德利的帖子“如何检测控制图中的微小变化”。我们发现 CUSUM 控制图比 IMR（个体和移动极差）图更能检测小变化。 在检测小变化方面，CUSUM 图比 IMR 图好多少？ 什么被认为是小转变？ 换句话说，CUSUM 图与 IMR 图相比表现如何？
如果这是一个假设检验，我们可以测量 α（I 型）和 β（II 型）误差。 此方法不能用于控制图，因为控制图是一系列逐个样本的假设检验。 平均游程 (ARL) 通常用于衡量控制图的性能，而不是用于假设检验的传统 α 和 β 误差。
游程长度是在出现信号（超出控制限的点）之前采集的样本（子组）数量。 在左图中，游程长度为 4，因为在某个点超出控制上限之前采集了四个样本。 游程长度是一个只能取整数值的随机变量。 我们需要使用期望值或平均运行长度来衡量性能。 ARL（平均游程长度）是游程长度的预期值，即，直到控制图首次发出信号之前的预期子组数量。
您将听到文献中讨论的两种类型的 ARL： 受控 ARL（ARL 0 ) 和失控 ARL (ARL Δ ）。 ARL 0是在控制图发出信号之前的预期样本数（假定过程处于受控状态）。 您也可以将其视为发送误报。 由于过程处于控制之中（达到目标），因此您需要 ARL 0尽可能大。 ARL Δ是在过程失控（均值发生变化）的情况下，在控制图发出信号之前的预期样本数。 您想要 ARL Δ尽可能小。 如果流程已达到令人不满意的程度，您希望尽早了解它而不是稍后。
如何计算 ARL？
让我们考虑一下中使用的示例安妮的博客文章。 此示例检查了汽车发动机恒温器的数据。 该发动机设计运行温度范围为 [90° C, 110° C]。 首先让我们看一下她的帖子中使用的 IMR 图，仅使用测试 1。 我们只考虑测试 1，因为添加运行规则使得误报概率的确定更加困难。 对于运行规则，给定观察的误报概率取决于先前观察的值。 这意味着α的值不是恒定的。
受控 ARL (ARL 0 ）
α=Pr[Shewhart control chart signals for a given sample | the process is in-control]
1-α=Pr[Shewhart control chart does not signal for a given sample | the process is in-control]
对于任何具有通常 3-sigma 限值的休哈特图，α=0.0027 是过程受控时单个点落在控制限值之外的概率。 因此，ARL 0为 1/0.0027≈370。 如果过程受控，平均每 370 个样本就会发出一个信号。
失控 ARL (ARL Δ ）
1-β=Pr[Shewhart control chart signals for a particular sample | the process is out-of-control]
β =Pr[Shewhart control chart does not signal for a particular sample | the process is out-of-control]
β=φ(zα/2-k)- φ(-zα/2-k)
With 3-sigma limits, zα/2=0.0027/2=3
k=|µ1- µ0|/σ0=|110-103.9632|/ 9.730≈.60204
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)=0.9916
ARLΔ=1/(1- β)=1/(1-.9916) ≈119
虽然ARL 0如我们所愿大，ARL Δ也很大，这是我们不想要的。 平均而言，当均值从 104 变为 110 时，需要 119 个样本才能发出信号。
累积和 ARL
不幸的是，CUSUM 图的 ARL 计算并不那么简单。 绘制的点是累积偏差，因此不是独立的。 您可以在教科书中找到 ARL 计算表。 对我们来说幸运的是，联合管理计划可以为您执行这些计算。 单击 CUSUM 控制图 - Y 旁边的红色三角形，然后选择“显示 ARL”。
我们来看看受控的ARL：ARL 0 =465.44，这很好（甚至高于 IMR 图表）。 如果过程受控，我们预计平均每 465 个样本就会收到一个信号。 现在让我们看看失控的 ARL： ARL Δ =10.38。 这个数字很低，这很好（比 ARL 低得多） Δ对于 IMR 图）。 如果过程均值偏移了 10°C，则预计平均每 10 个样本会获得一个信号。
下表说明了 Shewhart 控制图和 k=0.5 且 h=5（JMP 默认值）的 CUSUM 图的 ARL 性能。
平移，以倍数为单位σ
|
休哈特 ARL
|
累积和ARL
|
0
|
370
|
第465章
|
0.25
|
第281章
|
139
|
0.5
|
155
|
38
|
0.75
|
81.83
|
17 号
|
1
|
43.96
|
10.4
|
1.5
|
15.97
|
5.75
|
2
|
6.3
|
4.01
|
2.5
|
3.24
|
3.11
|
3
|
2
|
2.57
|
4
|
1.19
|
2.01
|
5
|
1.02
|
1.69
|
您可以看到，当偏移小于 2.5*σ 时，CUSUM 图比 Shewhart 图更快地检测到偏移。 对于大于 2.5*σ 的偏移，休哈特图会更快地检测到偏移。
h 和 k 如何影响 ARL
联合管理计划还提供了一个漂亮的 ARL Profiler。 您可以在 CUSUM 控制图 – Y 旁边的红色三角形下找到此选项。
ARL 轮廓仪，双面
该图告诉我们，当 h=5 且 k=0.5 时，则 ARL 2*k/σ =ARL 2*0.5/10 =ARL .1 =348.6502。 当您将滑块移动 h 时，您会发现减少 h 会降低 ARL，增加 h 会增加 ARL。 相反，如果将滑块移动 k 左右，您会发现减小 k 会增加 ARL，增加 k 会减小 ARL。 您可以使用这些 h 和 k 滑块来确定一起更改这些值如何影响 ARL。
结论
ARL 可用于查看特定控制图的性能或比较不同控制图的性能。 如果偏移很小（小于 2.5*σ），CUSUM 图将在 Shewhart 控制图之前检测到偏移。 如果偏移较大（超过 2.5*σ），休哈特图将比 CUSUM 图更快地检测到偏移。
这就是正态分布函数。您可以在JMP中运行以下命令来查看。
正态分布(3-.60204)-正态分布(-3-.60204)
这产生
0.991598802362608
@安妮达德利非常感谢你的帮助！
你能告诉我当我们计算赌注时用作 φ 的函数是什么吗？
我尝试在 Excel 中计算以下内容，但使用 phi 函数结果不一样。
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)
非常感谢您。
一般来说，目标或µ 由您的具体数据定义。 JMP 默认将样本平均值作为 µ 的估计值，但是，如果您有有关目标“理想”值的更多信息，则可以相应地更改它。
正是这个值与从每个单独的点中减去的偏移 (k) 相加，形成了差异的累积和。
你好，
我在尝试计算 k 时遇到问题，我不明白该使用什么数字来表示 µ1。
你能帮助我吗？
