在 本系列部落格的前幾篇文章中，我提到過函數型資料分析（FDA）可以應用於實驗設計。這是一個值得思考的有趣想法。如果你想優化曲線的形狀呢？或者，如何控制回應的周期性？這就是我想在本系列最後一篇文章中探討的內容。為此，我們將藉助“時光機”，回到2010年，回顧當年的JMP ENBIS挑戰賽。
2010 年 ENBIS 挑戰賽
What's Golden Curve optimization or analysis?什麼是黃金曲線優化或分析？
讓我帶您回到2010年。 Ian Cox（ @ian_jmp，全球技術總監）向歐洲商業與工業統計網路（ENBIS）年會提交了一個低壓化學氣相沉積（LPCVD）製程模擬器，參加ENBIS挑戰賽。挑戰的目標是找到一種製程配方，既能最大化模擬利潤，又能降低模擬零件的缺陷率。如果您想體驗這個模擬器， 它現在仍然可以訪問。
其中一個挑戰在於，你必須在獲利能力計算中考慮開發成本，而且可用於生產和開發的材料總量有限。幾年後，我在尋找可用於培訓的案例時偶然發現了這個模擬器。事實證明，Ian 在開發模擬器時做了充分的準備工作，它能夠很好地復現 LPCVD 製程的輸出，並且具有真實的缺陷率等等。它仍然是一個非常有用的工具，可以用來展示為什麼 DOE 是進行製程開發的唯一方法。我們將在這裡使用它，儘管可能有點超出其最初的應用範圍。
前方金曲蜿蜒
FDA 的主要優勢之一在於它允許使用曲線（而非單一數據點）作為模型中的因子。我們也可以考慮考察過程因素（時間、溫度等）如何影響觀測到的曲線。 FDA 也能做到這一點。沿著這個思路，下一步合乎邏輯的思考是：我知道我想要的曲線。（無論是透過基本原理還是過程約束）我希望優化製程條件，使其盡可能貼合我提供的曲線。這個想法是我們在JMP中使用 Profiler 和 Maximize Desirability 例程所做工作的延伸。在 FDA 領域，這被稱為「黃金曲線」優化。今天，我們將重點討論黃金曲線分析。
流程
首先，我不會長篇大論地講解低壓化學氣相沉積（LPCVD）技術，它與這次討論關係不大。不過，為了避免大家一頭霧水，我還是簡單概括一下。 LPCVD 製程用於在物體表面沉積薄膜和塗層。這些薄膜可以是功能性的（例如防腐蝕），也可以是裝飾性的（例如高端衛浴設備的塗層）。在 LPCVD 製程中，先將基材放入反應腔（可以是矽片、鑽頭，甚至是廚房水龍頭）。然後，將反應腔抽真空（低壓部分），並加熱到一定溫度。接著，以可控的速率將反應氣體引入反應腔。這些氣體發生反應，並附著在工件表面。有時，為了提高製程效率，也會使用射頻來打破氣體中的化學鍵。
ENBIS Simulator DOE InterfaceENBIS 模擬器 DOE 接口
在DOE模擬器中，我們可以控制許多製程參數和氣體流速。此模擬器提供從基板上49個測量點收集的數據，這些測量點呈現中心點和三個同心環狀排列。這種測量模式在業界相對標準。雖然我遠非首選，但它確實很常見。
問題
在LPCVD模擬器中，我們需要解決幾個問題。首先是如何正確取得靶材厚度和薄膜參數。如果不關心薄膜的形貌，可以使用標準的DOE方法，並專注於一些總和統計量，例如平均或中位數薄膜厚度。第二個問題是，由於反應腔的幾何形狀和氣體流動方式，薄膜並不均勻。它通常在基板中間有一個環形結構。正是由於第二個問題，我們需要使用FDA進行分析。
分析
讓我直接跳到分析美國能源部結果的部分。透過對DOE晶圓進行圖形分析，我們可以發現晶圓的非均勻性具有徑向對稱性。我們可以利用這個特性，將模擬提供的(x,y)座標轉換為圓周率座標，並利用勾股定理計算每個點的半徑。這種轉換降低了資料集的維度，使FDA計算更加簡單。
在JMP Pro 的功能性資料瀏覽器平台中進行 FDA 分析之前，我需要在 DOE 分析結果中新增一組資料。這組數據將作為目標曲線，其中包含大量測量數據點之間不同半徑的目標參數。我提供大量數據點是為了強制最佳化演算法尋找與目標曲線（在本例中為整個基板上的均勻值）高度匹配的解決方案。
現在，我可以進行 FDA 了。 JMP Pro 中的設定如下所示。在這個例子中，我只關注厚度。請注意，我使用半徑作為“X，輸入”值。回想一下本系列之前的文章，FDA 中時間的定義比較靈活，所以這樣做沒問題。請注意，我的 DOE 參數是補充變數。在啟動對話方塊中點擊「確定」後，我需要執行一個與通常使用 FDE 不同的操作。我需要點擊 FDE 介面中“目標函數”部分的“加載”按鈕。點擊後會彈出一個對話框，其中列出了函數 ID。我選擇與目標函數關聯的函數 ID（建立目標函數時新增的），然後點擊「確定」。
現在，準備工作已經完成，我們可以建立實驗數據的函數形式並將其傳遞給建模平台。 這裡有一個很好的教程，講解如何創建函數形式。 JMP Pro 15會在背景處理將函數形式和補充變數傳遞給 Fit Model 平台的所有操作。因此，您只需在模型的紅色三角形選單下選擇“函數式 DOE 分析”。這將使您能夠存取 Fit Model 中的廣義回歸特性，並自動從 FDE 中調出 Profiler。 （請注意，所有報告和數據都可以在JMP Public 上找到。） 
指定目標函數後，效能分析器會顯示兩行額外的圖表。這兩行圖表分別顯示目前設定下產生的函數與目標函數之間的差異，以及目標函數與目前函數之間的積分誤差。從效能分析器紅色三角形選單中選擇「最大化期望值」後，JMP 會嘗試最小化目標函數與顯示函數之間的積分差異。在本例中，JMP 會在過程中尋找能夠產生最平坦厚度曲線的設定。之後，您需要從效能分析器中讀取這些值，並進行幾次驗證運行以檢查結果。 （請務必驗證您的 DOE 預測！） 
讓我們言行一致。
因此，透過查看 FDOE 分析器，我們可以看到真正驅動該過程的參數是沉積時間、沉積溫度和沈積壓力。我們假設需要在 300°C 下運行該過程，沉積時間為 824 秒，壓力為 261 mTorr。然而，俗話說，假設會帶來意想不到的後果……所以我們將使用這些設定進行一些驗證運行。
不過，在正式運行之前，我打算先利用 Profiler 的模擬功能進行一次簡單的模擬，以了解數據的可能範圍。這樣做是為了模擬計算出的信心區間。雖然模擬結果並不完美，但至少能讓我了解，如果我的模型正確，在這種情況下輸出資料應該是什麼樣子。以下是開啟模擬器後，FDOE 的輸出結果，其中包含了一些製程參數的最佳猜測值。 
以下是驗證運行的結果，並附有 ENBIS 挑戰賽的一些歷史數據以供比較。請注意，此控製圖顯示的是整個晶圓的平均膜厚。如果您查看上面的分析器，您可以看到晶圓邊緣和外圈的膜厚較薄。這些區域也包含了晶圓上的大部分數據點（請參閱文章頂部的抽樣方案）。這會導致晶圓平均值偏低（這也是我不喜歡這種抽樣方案的主要原因之一）。但是，撇開這個小問題不談，現在所有晶圓都符合規格，批間差異也都降低。
結論
黃金曲線分析大概是我最喜歡的FDA應用。試著在忽略已知空間相關性影響的情況下優化流程，一直讓我很困擾。然而，用其他方法進行分析卻相當具有挑戰性──尤其是在DOE框架內。
