このブログシリーズの前半で、機能データ解析（FDA）を実験計画法と組み合わせることができると述べました。これは興味深いアイデアです。曲線の形状を最適化したい場合や、応答の周期性を制御する方法を理解したい場合はどうでしょうか？このシリーズの最後の記事では、それについて議論したいと思います。そのためには、「ウェイバックマシン」を使って2010年に遡り、その年のJMP ENBISチャレンジについて見ていきましょう。
2010年ENBISチャレンジ
What's Golden Curve optimization or analysis?ゴールデンカーブ最適化または分析とは何ですか？
2010年に遡ってみましょう。イアン・コックス（ @ian_jmpワールドワイドテクニカルディレクター）は、LPCVD（低圧化学気相成長法）プロセスのシミュレーターを、欧州ビジネス・産業統計ネットワーク（ENBIS）の年次会議のENBISチャレンジに提出しました。このチャレンジは、シミュレーション上の利益を最大化し、シミュレーション上の部品の不良率を低下させるプロセスレシピを見つけることでした。シミュレーターを試してみたい方は、 今でも利用可能です。
課題の一つは、収益性計算に開発コストを考慮に入れなければならず、生産と開発に使える材料の総量が限られていたことでした。私は数年後、トレーニングに使える例を探していた時に、偶然このシミュレーターに出会いました。イアンはシミュレーターの開発にあたり、入念な調査を行っていたようで、LPCVDプロセスの出力を現実的な欠陥率などでうまく再現しています。これは、DOEがプロセス開発を行う唯一の方法である理由を示すための有益なツールです。ここでは、本来の用途からやや外れているかもしれませんが、このシミュレーターを使ってみます。
前方に黄金のカーブ
FDAの主な利点の1つは、モデルの要因として曲線（個々のデータポイントではなく）を使用できることです。また、プロセス要因（時間、温度など）が観測された曲線にどのように影響するかを調べたい場合もあるでしょう。FDAはそれも可能です。この考え方の次の論理的なステップは次のとおりです。自分が目指す曲線は分かっている（第一原理またはプロセス上の制約のいずれかを通して）私が提示した曲線にできるだけ近い形で、プロセス条件を最適化したいと考えています。このアイデアは、 JMPのプロファイラと「望ましさ最大化」ルーチンで行う作業の延長線上にあるものです。FDAの世界では、これは「ゴールデンカーブ」最適化と呼ばれています。今日は、このゴールデンカーブ分析に焦点を当てていきます。
プロセス
まず最初に、LPCVDについて長々と説明するつもりはありません。今回の議論にはそれほど重要ではないからです。しかし、何も知らないまま進めないように、簡単に説明しておきましょう。このプロセスは、物体に膜やコーティングを施すために使用されます。膜は、機能的なもの（腐食防止など）にも、装飾的なもの（高級浴室設備の仕上げなど）にもなり得ます。LPCVDでは、基板（シリコンウェハ、ドリルビット、あるいはキッチンの蛇口など）をチャンバーに入れます。次に、チャンバーを真空にして（低圧部分）、ある温度まで加熱します。その後、反応性ガスを制御された速度でチャンバー内に導入します。ガスは反応して、部品の表面に付着します。プロセスをより効率的にするために、ガスの化学結合を切断するために高周波が使用される場合もあります。
ENBIS Simulator DOE InterfaceENBISシミュレーターDOEインターフェース
DOEシミュレーターでは、プロセスパラメータやガス流量など、多くの項目を制御できます。シミュレーターは、基板上の49箇所（中心点と3つの同心円状の測定リング）から得られたデータを提供します。この測定パターンは業界では比較的標準的なものです。決して私の好みではありませんが、よく見かけるパターンです。
問題
LPCVDシミュレーターでは、対処しなければならない問題がいくつかあります。まず、目標膜厚と膜パラメータを正しく設定することです。膜の形状を気にしないのであれば、標準的な実験計画法（DOE）を用いて、平均膜厚や中央値膜厚などの要約統計量に注目することで対応できます。次に、チャンバーの形状とガスの流れ方によって、膜が均一にならないという問題があります。通常、基板の中央に環状の形状が現れます。この2つ目の問題に対処するために、FDAを用いて解析を行う必要があるのです。
分析
では、DOE（米国エネルギー省）の分析結果についてお話ししましょう。DOEウェーハのグラフィカル解析を行うと、ウェーハの不均一性に放射状の対称性があることがわかります。この対称性を利用して、シミュレーションで得られた(x,y)座標をピタゴラスの定理を用いて各点の半径に変換することができます。この変換によりデータセットの次元が削減され、FDA（データフロー解析）がより簡便になります。
JMP ProのFunctional Data ExplorerプラットフォームでFDAを実行する前に、DOE解析結果にデータセットを追加する必要があります。このデータセットはターゲット曲線となります。このデータセットには、測定データポイント間の多数の半径に対するターゲットパラメータが含まれています。最適化アルゴリズムがターゲット曲線（この場合は基板全体にわたる均一な値）にできるだけ近い解を見つけるように、多数のデータポイントを提供します。
これでFDAを実行できます。JMP Proの設定は以下のとおりです。この例では厚さのみに焦点を当てています。「X、入力」値として半径を使用していることに注意してください。このシリーズの以前の投稿で、FDAでは時間の定義が多少流動的であることを思い出してください。したがって、これは問題ありません。DOEパラメータは補助変数であることに注意してください。起動ダイアログで「OK」をクリックしたら、FDEで通常行うのと1つ異なる操作を行う必要があります。FDEインターフェースのターゲット関数の部分にある「ロード」ボタンをクリックする必要があります。これを行うと、関数IDの一覧が表示されるダイアログが表示されます。ターゲット関数に関連付けられている関数（作成時に追加したもの）を選択し、「OK」をクリックします。
さて、準備が整ったので、実験データの関数形式を作成し、モデリングプラットフォームに渡すことができます。関数形式の作成方法については、 こちらのチュートリアルをご覧ください。JMP Pro 15は、関数形式と補助変数をフィットモデルプラットフォームに渡す処理をすべてバックグラウンドで行います。そのため、モデルの赤い三角形メニューから「機能的DOE分析」を選択するだけで済みます。これにより、フィットモデルの一般化回帰機能にアクセスでき、FDE内からプロファイラが自動的に起動します。（なお、すべてのレポートとデータはJMP Public で入手できます。） 
目標関数を指定すると、プロファイラにグラフが2行追加されます。これらは、現在の設定で生成された関数と目標関数との差、および目標関数と現在の関数との積分誤差を示します。プロファイラの赤い三角形メニューから「望ましさの最大化」を選択すると、JMPは目標関数と表示されている関数との積分差を最小化しようとします。この場合、JMPはプロセス内で最も平坦な厚み曲線を生成する設定を探します。そこから、プロファイラの値を読み取り、検証実行を数回行って結果を確認する必要があります。（DOE予測は必ず検証してください！） 
言行一致しよう
FDOEプロファイラを見ると、このプロセスを左右するパラメータは、成膜時間、成膜温度、成膜圧力であることがわかります。ここでは、300℃で824秒間、261mTorrの圧力で成膜する必要があると仮定します。しかし、仮定することと、それがもたらす結果に関する格言があります。そこで、これらの設定で検証実行を行います。
実行する前に、プロファイラのシミュレーション機能を使って、データの想定範囲を把握するための簡単なシミュレーションを行います。これは、計算された信頼区間の代わりとして行うものです。完璧ではありませんが、少なくとも、私のモデルが正しければ、この状況での出力データがどのようなものになるかを把握できます。以下は、シミュレーターをオンにした状態での FDOE の出力と、プロセス パラメータのいくつかの推定値です。 
そして、比較のためにENBISチャレンジの過去のデータとともに検証実行の結果を以下に示します。この管理図はウェーハ全体の平均膜厚を調べていることに注意してください。上記のプロファイラを見ると、ウェーハの端と外側の領域では膜厚が薄くなっていることがわかります。また、ウェーハ内のデータポイントの大部分もこれらの領域に集中しています（記事冒頭のサンプリング計画を参照）。このため、ウェーハの平均値が下方に偏ることになります（私がこのサンプリング計画を好まない主な理由の1つです）。しかし、この小さな癖を除けば、ウェーハはすべて仕様内に収まり、ロット間のばらつきも減少しました。
結論
ゴールデンカーブ分析は、おそらく私がFDAで最も気に入っている応用例です。既知の空間相関を持つプロセスを最適化しようとする際に、その相関の影響を無視してしまうのは、常に私を悩ませてきました。しかし、特にDOEの枠組みの中で、他の方法で分析を行うのは非常に困難です。
