Anteriormente en esta serie de artículos , mencioné que el análisis de datos funcionales (FDA) podría utilizarse con el diseño experimental. Es una idea interesante a considerar. ¿Qué pasaría si quisiéramos optimizar la forma de una curva? ¿O comprender cómo controlar la periodicidad de una respuesta? Eso es lo que quiero abordar en esta última entrada de la serie. Para ello, vamos a usar la "Máquina del Camino" y retroceder hasta 2010, al desafío JMP ENBIS de ese año.
El desafío ENBIS 2010 
What's Golden Curve optimization or analysis? ¿Qué es la optimización o el análisis de la curva dorada?
Permítanme remontarme a 2010. Ian Cox ( @ian_jmp, Director Técnico Mundial) presentó un simulador para un proceso LPCVD (Deposición Química en Vapor a Baja Presión) a la conferencia anual de la Red Europea de Estadísticas Empresariales e Industriales (ENBIS) para su Desafío ENBIS. El desafío consistía en encontrar una receta de proceso que maximizara la ganancia simulada y redujera los defectos en las piezas simuladas. Si desean probar el simulador, aún está disponible .
Parte del desafío radicaba en que había que considerar el costo de desarrollo en los cálculos de rentabilidad y solo se disponía de una cantidad limitada de material total (para producción y desarrollo). Me topé con el simulador un par de años después, mientras buscaba un ejemplo para fines de capacitación. Resulta que Ian hizo bien su trabajo al desarrollar el simulador, y este reproduce con precisión el resultado del proceso LPCVD con tasas de defectos realistas, etc. Sigue siendo una herramienta informativa para demostrar por qué el diseño de experimentos (DOE) es la única forma de desarrollar procesos. Lo utilizaremos aquí, aunque quizás un poco fuera de su alcance original.
Curvas doradas por delante
Una de las principales ventajas de FDA es que permite utilizar curvas (no puntos de datos individuales) como factores en un modelo. También se podría argumentar que nos interesaría analizar cómo los factores del proceso (tiempo, temperatura, etc.) afectan a una curva observada. FDA también permite hacer eso. El siguiente paso lógico en esta línea de pensamiento es:Sé cuál es la curva que busco(ya sea mediante principios fundamentales o restricciones de proceso)Quiero optimizar las condiciones de mi proceso para que se ajusten lo más posible a la curva que he proporcionado.Esta idea es una extensión de lo que haríamos en JMP con el Perfilador y la rutina Maximizar Deseabilidad. En el ámbito de la FDA, esto se conoce como optimización mediante la "Curva Dorada". Este análisis de la Curva Dorada es en lo que nos centraremos hoy.
El proceso
Para empezar, no voy a extenderme demasiado sobre LPCVD. No es tan importante para esta discusión. Pero, para que no te pierdas nada, aquí tienes una explicación breve. Este proceso se utiliza para aplicar películas y recubrimientos a diversos objetos. Las películas pueden ser funcionales (protección contra la corrosión) o decorativas (como los acabados de accesorios de baño de alta gama). En LPCVD, se coloca un sustrato en una cámara (puede ser una oblea de silicio, una broca o el grifo de la cocina). A continuación, se evacúa la cámara (la parte de baja presión) y se calienta a cierta temperatura. Después, se introducen gases reactivos en la cámara a un ritmo controlado. Los gases reaccionan y se adhieren a las superficies de las piezas. En ocasiones, se utilizan radiofrecuencias para romper los enlaces químicos de los gases y así optimizar el proceso.
ENBIS Simulator DOE InterfaceInterfaz del simulador ENBIS del Departamento de Energía (DOE)
En el simulador del Departamento de Energía (DOE), tenemos control sobre varios parámetros del proceso y caudales de gas. El simulador proporciona datos medidos en 49 puntos del sustrato, organizados en un punto central y tres anillos concéntricos de mediciones. Este patrón de medición es bastante común en la industria. No es mi favorito, ni mucho menos, pero se ve con frecuencia.
El problema
En el simulador LPCVD, nos enfrentamos a un par de problemas. El primero es la dificultad de obtener correctamente el espesor objetivo y los parámetros de la película. Si no nos importara el perfil de la película, esto podría hacerse utilizando un diseño de experimentos (DOE) estándar y centrándonos en alguna estadística descriptiva, como el espesor promedio o la mediana. El segundo problema es que, debido a la geometría de la cámara y al flujo de gases, la película no es uniforme. Generalmente presenta una forma toroidal en el centro del sustrato. Este segundo problema es la razón por la que necesitamos utilizar el análisis de defectos (FDA) para realizar el análisis.
El análisis
Permítanme pasar directamente a la parte donde analizo los resultados del Departamento de Energía.Al realizar un análisis gráfico de las obleas del DOE, podemos observar que la no uniformidad de la oblea presenta simetría radial. Podemos aprovechar esta característica y convertir las coordenadas (x,y) proporcionadas por la simulación para calcular el radio de cada punto mediante el teorema de Pitágoras. Esta transformación reduce la dimensionalidad del conjunto de datos y simplifica el análisis de datos.
Antes de realizar el análisis de diseño de experimentos (DOE) en la plataforma Functional Data Explorer de JMP Pro , necesito agregar un conjunto de datos a los resultados del análisis. Este conjunto de datos será la curva objetivo. Contiene los parámetros objetivo para un gran número de radios entre los puntos de datos medidos. Proporciono una gran cantidad de puntos de datos para forzar al algoritmo de optimización a buscar una solución que se ajuste lo más posible a la curva objetivo (en este caso, un valor uniforme en todo el sustrato).
Ahora puedo usar FDA. La configuración en JMP Pro se muestra a continuación. En este ejemplo, me centro solo en el espesor. Tenga en cuenta que uso el radio como mi valor "X, Entrada". Recuerde que en una publicación anterior de esta serie, la definición de tiempo es algo flexible en FDA, así que esto no hay problema. Tenga en cuenta que mis parámetros DOE son variables suplementarias. Una vez que haya pulsado Aceptar en el cuadro de diálogo de inicio, debo hacer algo diferente a como lo haría normalmente con FDE. Debo hacer clic en el botón "Cargar" en la sección Función objetivo de la interfaz FDE. Esto abrirá un cuadro de diálogo que muestra los ID de función. Selecciono el asociado con la función objetivo (añadido al crearla) y pulso "Aceptar".
Ahora que hemos terminado con los preliminares, podemos crear la forma funcional de los datos experimentales y transferirla a una plataforma de modelado. Aquí encontrará un buen tutorial sobre cómo crear la forma funcional. JMP Pro 15 gestiona automáticamente la transferencia de las formas funcionales y las variables suplementarias a la plataforma Fit Model. Por lo tanto, solo necesita seleccionar Análisis de DOE funcional en el menú del triángulo rojo del modelo. Esto le dará acceso a la personalidad de Regresión generalizada en Fit Model y abrirá automáticamente el Profiler desde FDE. (Tenga en cuenta que todos los informes y datos están disponibles aquí en JMP Public). 
Una vez que haya especificado una función objetivo, el Profiler mostrará dos filas adicionales de gráficos. Estas muestran la diferencia entre la función generada con la configuración actual y la función objetivo, así como el error integrado entre ambas. Al seleccionar «Maximizar la deseabilidad» en el menú triangular rojo del Profiler, JMP intentará minimizar la diferencia integrada entre la función objetivo y la mostrada. En nuestro caso, JMP busca la configuración que produce la curva de espesor más plana. A partir de ahí, deberá leer los valores en el Profiler y realizar un par de ejecuciones de verificación para comprobar los resultados. (¡Recuerden siempre verificar las predicciones del diseño de experimentos!). 
Pongamos en práctica lo que predicamos.
Así pues, al observar el perfilador FDOE, podemos ver que los parámetros que realmente determinan este proceso son el tiempo de deposición, la temperatura de deposición y la presión de deposición. Supondremos que debemos ejecutar el proceso a 300 °C, depositar durante 824 segundos a 261 mTorr. Sin embargo, existe un dicho popular sobre las consecuencias de las suposiciones... por lo que realizaremos algunas pruebas de validación con esos ajustes.
Antes de realizar las pruebas, haré una pequeña simulación utilizando las capacidades de simulación del Profiler para comprender el rango probable de los datos. Esto me servirá como referencia para un intervalo de confianza calculado. No es perfecto, pero al menos me dará una idea de cómo deberían ser los datos de salida en esta situación si mi modelo es correcto. Aquí está la salida del FDOE con el simulador activado y algunos valores estimados para los parámetros del proceso. 
Aquí están los resultados de las pruebas de validación con algunos datos históricos del desafío ENBIS para comparar. Tenga en cuenta que este gráfico de control muestra el espesor promedio de la película en toda la oblea. Si observa el Perfilador anterior, puede ver que el borde y la región exterior de la oblea tienen un menor espesor de película. También concentran la mayoría de los puntos de datos de la oblea (consulte el plan de muestreo al inicio del artículo). Esto, en conjunto, sesgará los valores promedio de la oblea a la baja (una de las principales razones por las que no me gusta este plan de muestreo). Pero, dejando de lado esta peculiaridad, todas las obleas ahora cumplen con las especificaciones y la variación entre lotes también ha disminuido.
Conclusión
El análisis de la curva dorada es probablemente mi aplicación favorita del análisis de datos funcionales (FDA). Siempre me ha intrigado intentar optimizar un proceso con una correlación espacial conocida, ignorando sus efectos. Sin embargo, resulta bastante difícil realizar el análisis de otras maneras, sobre todo dentro del marco de un diseño de experimentos (DOE).
