在 本系列博客的前几篇文章中，我提到过函数型数据分析（FDA）可以应用于实验设计。这是一个值得思考的有趣想法。如果你想优化曲线的形状呢？或者，如何控制响应的周期性？这就是我想在本系列最后一篇文章中探讨的内容。为此，我们将借助“时光机”，回到2010年，回顾当年的JMP ENBIS挑战赛。
2010 年 ENBIS 挑战赛
What's Golden Curve optimization or analysis?什么是黄金曲线优化或分析？
让我带您回到2010年。Ian Cox（ @ian_jmp，全球技术总监）向欧洲商业与工业统计网络（ENBIS）年会提交了一个低压化学气相沉积（LPCVD）工艺模拟器，参加ENBIS挑战赛。挑战的目标是找到一种工艺配方，既能最大化模拟利润，又能降低模拟零件的缺陷率。如果您想体验一下这个模拟器， 它现在仍然可以访问。
挑战之一在于，你必须在盈利能力计算中考虑开发成本，而且可用于生产和开发的材料总量有限。几年后，我在寻找可用于培训的案例时偶然发现了这个模拟器。事实证明，Ian 在开发模拟器时做了充分的准备工作，它能够很好地复现 LPCVD 工艺的输出，并具有真实的缺陷率等等。它仍然是一个非常有用的工具，可以用来展示为什么 DOE 是进行工艺开发的唯一方法。我们将在这里使用它，尽管可能有点超出其最初的应用范围。
前方金曲蜿蜒
FDA 的主要优势之一在于它允许使用曲线（而非单个数据点）作为模型中的因子。我们也可以考虑考察过程因素（时间、温度等）如何影响观测到的曲线。FDA 也能做到这一点。沿着这个思路，下一步合乎逻辑的思考是：我知道我想要的曲线。（无论是通过基本原理还是过程约束）我希望优化工艺条件，使其尽可能贴合我提供的曲线。这个想法是我们在JMP中使用 Profiler 和 Maximize Desirability 例程所做工作的延伸。在 FDA 领域，这被称为“黄金曲线”优化。今天，我们将重点讨论黄金曲线分析。
流程
首先，我不会长篇大论地讲解低压化学气相沉积（LPCVD）技术，它与本次讨论关系不大。不过，为了避免大家一头雾水，我还是简单概括一下。LPCVD 工艺用于在物体表面沉积薄膜和涂层。这些薄膜可以是功能性的（例如防腐蚀），也可以是装饰性的（例如高端卫浴设备的涂层）。在 LPCVD 工艺中，首先将基材放入反应腔（可以是硅片、钻头，甚至是厨房水龙头）。然后，将反应腔抽真空（低压部分），并加热到一定温度。接着，以可控的速率将反应气体引入反应腔。这些气体发生反应，并附着在工件表面。有时，为了提高工艺效率，还会使用射频来打破气体中的化学键。
ENBIS Simulator DOE InterfaceENBIS 模拟器 DOE 接口
在DOE模拟器中，我们可以控制许多工艺参数和气体流速。该模拟器提供从基板上49个测量点采集的数据，这些测量点呈中心点和三个同心环状排列。这种测量模式在业内相对标准。虽然我远非首选，但它确实很常见。
问题
在LPCVD模拟器中，我们需要解决几个问题。首先是如何正确获取靶材厚度和薄膜参数。如果不关心薄膜的形貌，可以使用标准的DOE方法，并关注一些汇总统计量，例如平均或中值薄膜厚度。第二个问题是，由于反应腔的几何形状和气体流动方式，薄膜并不均匀。它通常在基板中间有一个环形结构。正是由于第二个问题，我们需要使用FDA进行分析。
分析
让我直接跳到分析美国能源部结果的部分。通过对DOE晶圆进行图形分析，我们可以发现晶圆的非均匀性具有径向对称性。我们可以利用这一特性，将仿真提供的(x,y)坐标转换为圆周率坐标，并利用勾股定理计算每个点的半径。这种转换降低了数据集的维度，使FDA计算更加简便。
在JMP Pro 的功能数据浏览器平台中进行 FDA 分析之前，我需要向 DOE 分析结果添加一组数据。这组数据将作为目标曲线，其中包含大量测量数据点之间不同半径的目标参数。我提供大量数据点是为了强制优化算法寻找与目标曲线（在本例中为整个基板上的均匀值）高度匹配的解决方案。
现在，我可以进行 FDA 了。JMP Pro 中的设置如下所示。在这个例子中，我只关注厚度。请注意，我使用半径作为“X，输入”值。回想一下本系列之前的文章，FDA 中时间的定义比较灵活，所以这样做没问题。请注意，我的 DOE 参数是补充变量。在启动对话框中点击“确定”后，我需要执行一个与通常使用 FDE 不同的操作。我需要点击 FDE 界面中“目标函数”部分的“加载”按钮。点击后会弹出一个对话框，其中列出了函数 ID。我选择与目标函数关联的函数 ID（创建目标函数时添加的），然后点击“确定”。
现在，准备工作已经完成，我们可以创建实验数据的函数形式并将其传递给建模平台。 这里有一个很好的教程，讲解如何创建函数形式。JMP Pro 15会在后台处理将函数形式和补充变量传递给 Fit Model 平台的所有操作。因此，您只需在模型的红色三角形菜单下选择“函数式 DOE 分析”。这将使您能够访问 Fit Model 中的广义回归特性，并自动从 FDE 中调出 Profiler。（请注意，所有报告和数据都可以在JMP Public 上找到。） 
指定目标函数后，性能分析器会显示两行额外的图表。这两行图表分别显示当前设置下生成的函数与目标函数之间的差异，以及目标函数与当前函数之间的积分误差。从性能分析器红色三角形菜单中选择“最大化期望值”后，JMP 会尝试最小化目标函数与显示函数之间的积分差异。在本例中，JMP 会在此过程中寻找能够生成最平坦厚度曲线的设置。之后，您需要从性能分析器中读取这些值，并进行几次验证运行以检查结果。（务必验证您的 DOE 预测！） 
让我们言行一致。
因此，通过查看 FDOE 分析器，我们可以看到真正驱动该过程的参数是沉积时间、沉积温度和沉积压力。我们假设需要在 300℃ 下运行该过程，沉积时间为 824 秒，压力为 261 mTorr。然而，俗话说，假设会带来意想不到的后果……所以我们将使用这些设置进行一些验证运行。
不过，在正式运行之前，我打算先利用 Profiler 的模拟功能进行一次简单的模拟，以了解数据的可能范围。这样做是为了模拟计算出的置信区间。虽然模拟结果并不完美，但至少能让我了解，如果我的模型正确，在这种情况下输出数据应该是什么样子。以下是开启模拟器后，FDOE 的输出结果，其中包含了一些过程参数的最佳猜测值。 
以下是验证运行的结果，并附有来自 ENBIS 挑战赛的一些历史数据以供比较。请注意，此控制图显示的是整个晶圆的平均膜厚。如果您查看上面的分析器，可以看到晶圆边缘和外圈的膜厚较薄。这些区域也包含了晶圆上的大部分数据点（请参阅文章顶部的抽样方案）。这会导致晶圆平均值偏低（这也是我不喜欢这种抽样方案的主要原因之一）。但是，撇开这个小问题不谈，现在所有晶圆都符合规格，批间差异也已降低。
结论
黄金曲线分析大概是我最喜欢的FDA应用。试图在忽略已知空间相关性影响的情况下优化流程，一直让我很困扰。然而，用其他方法进行分析却相当具有挑战性——尤其是在DOE框架内。
