Dans un précédent article de cette série , j'ai évoqué l'utilisation possible de l'analyse fonctionnelle des données (AFD) dans la conception expérimentale. C'est une piste intéressante. Que se passerait-il si l'on souhaitait optimiser la forme d'une courbe ? Ou encore, comprendre comment contrôler la périodicité d'une réponse ? C'est ce que je souhaite aborder dans ce dernier article. Pour ce faire, nous allons remonter le temps jusqu'en 2010, lors du défi JMP ENBIS.
Le défi ENBIS 2010 
What's Golden Curve optimization or analysis? Qu'est-ce que l'optimisation ou l'analyse de la courbe d'or ?
Permettez-moi de vous ramener en 2010. Ian Cox ( @ian_jmp, directeur technique mondial) a soumis un simulateur de procédé LPCVD (dépôt chimique en phase vapeur à basse pression) à la conférence annuelle du Réseau européen des statistiques des entreprises et de l'industrie (ENBIS), dans le cadre du défi ENBIS. Ce défi consistait à trouver une recette de procédé permettant de maximiser le profit simulé et de réduire le nombre de pièces défectueuses. Si vous souhaitez tester le simulateur, il est toujours accessible .
L'une des difficultés résidait dans la nécessité d'intégrer les coûts de développement aux calculs de rentabilité, tout en disposant d'une quantité limitée de matière première (pour la production et le développement). J'ai découvert ce simulateur par hasard quelques années plus tard, alors que je cherchais un exemple pour une formation. Il s'avère qu'Ian avait fait un travail remarquable lors de son développement : le simulateur reproduit fidèlement le résultat du procédé LPCVD, avec des taux de défauts réalistes, etc. Il reste un outil précieux pour démontrer pourquoi la planification d'expériences (DOE) est essentielle au développement des procédés. Nous allons l'utiliser ici, même si son utilisation s'éloigne quelque peu de son cadre initial.
Des courbes dorées à venir
L'un des principaux avantages de l'analyse de la courbe fonctionnelle (FDA) est qu'elle permet d'utiliser des courbes (et non des points de données individuels) comme facteurs dans un modèle. On pourrait également envisager d'étudier l'influence des facteurs de processus (temps, température, etc.) sur une courbe observée. La FDA le permet aussi. La suite logique de ce raisonnement est la suivante :Je connais la courbe que je suis.(soit par le biais de principes fondamentaux, soit par le biais de contraintes de processus)Je souhaite optimiser mes conditions de processus pour qu'elles correspondent au mieux à la courbe que j'ai fournie.Cette idée prolonge ce que nous faisons dans JMP avec le Profiler et la routine « Maximiser la désirabilité ». Dans le domaine de la FDA, on parle d'optimisation selon la « courbe d'or ». C'est sur cette analyse de la courbe d'or que nous allons nous concentrer aujourd'hui.
Le processus
Tout d'abord, je ne vais pas m'étendre sur le sujet du LPCVD. Ce n'est pas essentiel à notre discussion. Mais pour que vous compreniez tout de suite, voici une explication succincte. Ce procédé permet de déposer des films et des revêtements sur divers objets. Ces films peuvent être fonctionnels (protection contre la corrosion) ou décoratifs (comme les finitions de robinetterie haut de gamme). En LPCVD, on place un substrat dans une chambre (il peut s'agir d'une plaquette de silicium, d'un foret ou même du robinet de votre cuisine). La chambre est ensuite mise sous vide (la partie basse pression) et chauffée à une certaine température. Puis, des gaz réactifs sont introduits dans la chambre à un débit contrôlé. Ces gaz réagissent et se fixent aux surfaces des pièces. Parfois, des radiofréquences sont utilisées pour rompre les liaisons chimiques des gaz et ainsi optimiser le processus.
ENBIS Simulator DOE InterfaceInterface du simulateur ENBIS DOE
Dans le simulateur DOE, nous contrôlons plusieurs paramètres du procédé et les débits de gaz. Le simulateur fournit des données mesurées en 49 points répartis sur le substrat, organisés autour d'un point central et de trois anneaux concentriques de mesures. Ce schéma de mesure est relativement courant dans l'industrie. Je ne le préfère pas, loin de là, mais il est très fréquent.
Le problème
Le simulateur LPCVD présente deux problèmes. Le premier concerne l'obtention de l'épaisseur cible et des paramètres du film corrects. Si le profil du film n'est pas un critère important, on peut utiliser un plan d'expériences standard et se concentrer sur une statistique récapitulative comme l'épaisseur moyenne ou médiane du film. Le second problème est lié à l'hétérogénéité du film, due à la géométrie de la chambre et à la circulation des gaz. Le film présente généralement une courbure toroïdale au centre du substrat. C'est pourquoi nous devons recourir à l'analyse de la densité optique (FDA).
L'analyse
Je vais passer directement à la partie où j'analyse les résultats du DOE.L'analyse graphique des plaquettes du plan d'expériences révèle que leur non-uniformité présente une symétrie radiale. Nous pouvons exploiter cette propriété et convertir les coordonnées (x, y) issues de la simulation afin de calculer le rayon de chaque point grâce au théorème de Pythagore. Cette transformation réduit la dimensionnalité des données et simplifie l'analyse de la distribution des composants (FDA).
Avant d'effectuer l'analyse de la fonctionnelle de la densité (FDA) dans l'explorateur de données fonctionnelles de JMP Pro , je dois ajouter un ensemble de données aux résultats de l'analyse des plans d'expériences (DOE). Cet ensemble de données constituera la courbe cible. Il contient les paramètres cibles pour un grand nombre de rayons entre les points de données mesurés. Je fournis un grand nombre de points de données afin d'obliger l'algorithme d'optimisation à rechercher une solution qui corresponde au mieux à la courbe cible (ici, une valeur uniforme sur tout le substrat).
Je peux maintenant effectuer une analyse fonctionnelle de la densité (FDA). La configuration dans JMP Pro est présentée ci-dessous. Dans cet exemple, je me concentre uniquement sur l'épaisseur. Notez que j'utilise le rayon comme valeur « X, Entrée ». Comme indiqué dans un article précédent de cette série, la définition du temps est relativement flexible dans la FDA ; cela ne pose donc pas de problème. Notez également que mes paramètres DOE sont des variables supplémentaires. Une fois que j'ai cliqué sur « OK » dans la boîte de dialogue de lancement, je dois procéder différemment de ce que je fais habituellement avec l'analyse fonctionnelle de la densité (FDE). Je dois cliquer sur le bouton « Charger » dans la section « Fonction cible » de l'interface FDE. Une boîte de dialogue affichant les identifiants des fonctions apparaît alors. Je sélectionne celui associé à la fonction cible (ajouté lors de sa création) et je clique sur « OK ».
Maintenant que les étapes préliminaires sont terminées, nous pouvons créer la forme fonctionnelle des données expérimentales et la transmettre à une plateforme de modélisation. Vous trouverez un tutoriel détaillé sur la création de cette forme fonctionnelle ici . JMP Pro 15 gère automatiquement la transmission des formes fonctionnelles et des variables supplémentaires à la plateforme d'ajustement de modèle. Il vous suffit donc de sélectionner « Analyse DOE fonctionnelle » dans le menu (triangle rouge) du modèle. Vous accéderez ainsi à l'option « Régression généralisée » dans l'outil d'ajustement de modèle et le Profiler s'ouvrira automatiquement depuis FDE. (Notez que tous les rapports et données sont disponibles sur JMP Public.) 
Une fois la fonction cible définie, le Profiler affiche deux lignes de graphiques supplémentaires. Celles-ci illustrent la différence entre la fonction produite par les paramètres actuels et la fonction cible, ainsi que l'erreur intégrée entre la fonction cible et la fonction actuelle. En sélectionnant « Maximiser la désirabilité » dans le menu du triangle rouge du Profiler, JMP tente de minimiser la différence intégrée entre la fonction cible et la fonction affichée. Dans notre cas, JMP recherche le paramètre qui produit la courbe d'épaisseur la plus plate. Ensuite, il vous faudra relever les valeurs dans le Profiler et effectuer quelques simulations de vérification pour valider les résultats. (N'oubliez pas de toujours vérifier vos prédictions DOE !). 
Mettons en pratique ce que nous prêchons.
En observant le profileur FDOE, on constate que les paramètres déterminants de ce processus sont la durée, la température et la pression de dépôt. Nous partons du principe qu'il faut réaliser le dépôt à 300 °C pendant 824 secondes à une pression de 261 mTorr. Cependant, il existe un adage bien connu sur les conséquences des suppositions… Nous allons donc effectuer des essais de validation avec ces paramètres.
Avant de lancer les calculs, je vais effectuer une simulation à l'aide des fonctionnalités de l'outil Profiler afin d'appréhender la plage de valeurs probables des données. Cette simulation servira d'approximation à un intervalle de confiance calculé. Bien que ce ne soit pas parfait, cela me donnera au moins une idée de l'allure des données de sortie dans cette situation, si mon modèle est correct. Voici les résultats de l'analyse FDOE avec le simulateur activé et quelques valeurs estimées pour les paramètres du processus. 
Voici les résultats des essais de validation, comparés à des données historiques du défi ENBIS. Ce graphique de contrôle représente l'épaisseur moyenne du film sur l'ensemble de la plaquette. Le profileur ci-dessus montre que l'épaisseur du film est plus faible sur les bords et la périphérie de la plaquette. Ces zones concentrent également la majorité des points de données (voir le plan d'échantillonnage en haut de l'article). Ceci tend à biaiser les valeurs moyennes des plaquettes vers le bas (une des principales raisons pour lesquelles je suis réticent à l'égard de ce plan d'échantillonnage). Malgré ce petit inconvénient, les plaquettes sont désormais toutes conformes aux spécifications et la variation d'un lot à l'autre a également diminué.
Conclusion
L'analyse de la courbe dorée est sans doute mon application préférée de l'analyse fonctionnelle de la densité (FDA). Tenter d'optimiser un processus présentant une corrélation spatiale connue tout en ignorant les effets de cette corrélation m'a toujours posé problème. Cependant, réaliser cette analyse autrement représente un véritable défi, notamment dans le cadre d'un plan d'expériences (DOE).
