In precedenza, in questa serie di articoli , ho accennato alla possibilità di utilizzare l'analisi funzionale dei dati (FDA) nella progettazione sperimentale. È un'idea interessante da considerare. Cosa succederebbe se volessimo ottimizzare la forma di una curva? O capire come controllare la periodicità di una risposta? È proprio di questo che voglio parlare in quest'ultimo articolo della serie. Per farlo, useremo "The Way Back Machine" e torneremo indietro al 2010, all'edizione di quell'anno della JMP ENBIS Challenge.
La sfida ENBIS del 2010 
What's Golden Curve optimization or analysis? Che cos'è l'ottimizzazione o l'analisi della curva aurea?
Torniamo al 2010. Ian Cox ( @ian_jmp, Direttore Tecnico Mondiale) presentò un simulatore per un processo LPCVD (deposizione chimica da fase vapore a bassa pressione) alla conferenza annuale dell'European Network for Business and Industrial Statistics (ENBIS) per la loro ENBIS Challenge. La sfida consisteva nel trovare una ricetta di processo che massimizzasse il profitto simulato e riducesse al minimo i difetti sui pezzi simulati. Se volete provare il simulatore, è ancora disponibile .
Parte della sfida consisteva nel dover considerare i costi di sviluppo nei calcoli di redditività e nell'avere a disposizione solo una certa quantità di materiale totale (per la produzione e lo sviluppo). Mi sono imbattuto nel simulatore un paio d'anni dopo, mentre cercavo un esempio da utilizzare a scopo formativo. Si è scoperto che Ian aveva fatto un ottimo lavoro nello sviluppo del simulatore, che riproduce fedelmente l'output del processo LPCVD con tassi di difettosità realistici, ecc. Rimane uno strumento utile per dimostrare perché la progettazione degli esperimenti (DOE) sia l'unico metodo valido per lo sviluppo di processi. Lo useremo anche qui, sebbene forse un po' al di fuori del suo scopo originale.
Curve dorate in vista
Uno dei principali vantaggi dell'FDA è che permette di utilizzare le curve (e non i singoli punti dati) come fattori in un modello. Si potrebbe anche sostenere che vorremmo esaminare come i fattori di processo (tempo, temperatura, ecc.) influenzano una curva osservata. L'FDA può farlo anche. Il passo logico successivo in questa linea di pensiero è:So che curva voglio seguire(attraverso principi fondamentali o vincoli di processo)Voglio ottimizzare le condizioni del mio processo in modo che si adattino il più possibile alla curva che ho fornito.Questa idea è un'estensione di ciò che faremmo in JMP con il Profiler e la routine Maximize Desirability. Nel mondo della FDA, questo viene chiamato ottimizzazione "Curva d'oro". È proprio su questa analisi della Curva d'oro che ci concentreremo oggi.
Il processo
Innanzitutto, non mi dilungherò troppo sulla LPCVD. Non è fondamentale per questa discussione. Tuttavia, per non lasciarvi impreparati, ecco una breve spiegazione. Il processo viene utilizzato per applicare pellicole e rivestimenti su diversi oggetti. Le pellicole possono essere funzionali (protezione dalla corrosione) o decorative (come le finiture di sanitari di alta gamma). Nella LPCVD, si inserisce un substrato in una camera (che potrebbe essere un wafer di silicio, una punta da trapano o il rubinetto della cucina). La camera viene quindi evacuata (la parte a bassa pressione) e riscaldata a una certa temperatura. Successivamente, vengono introdotti nella camera gas reattivi a una velocità controllata. I gas reagiscono e si legano alle superfici dei componenti. Talvolta, vengono utilizzate radiofrequenze per rompere i legami chimici dei gas e rendere il processo più efficiente.
ENBIS Simulator DOE InterfaceInterfaccia DOE del simulatore ENBIS
Nel simulatore del DOE, abbiamo il controllo su diversi parametri di processo e sulle portate di gas. Il simulatore fornisce dati misurati in 49 punti del substrato, disposti in un punto centrale e tre anelli concentrici di misurazione. Questo schema di misurazione è relativamente standard nel settore. Non è certo il mio preferito, ma si presenta piuttosto spesso.
Il problema
Nel simulatore LPCVD dobbiamo affrontare un paio di problemi. Il primo riguarda la corretta definizione dello spessore target e dei parametri del film. Se non ci interessasse il profilo del film, questo potrebbe essere fatto utilizzando un DOE standard e concentrandosi su alcune statistiche riassuntive come lo spessore medio o mediano del film. Il secondo problema è che, a causa della geometria della camera e del flusso dei gas, il film non è uniforme. Solitamente presenta una struttura toroidale al centro del substrato. Questo secondo problema è il motivo per cui dobbiamo utilizzare l'analisi FDA per effettuare i risultati.
L'analisi
Passiamo direttamente alla parte in cui analizzo i risultati del Dipartimento dell'Energia (DOE).Analizzando graficamente i wafer del DOE, possiamo osservare che la non uniformità del wafer presenta simmetria radiale. Possiamo sfruttare questo aspetto a nostro vantaggio e convertire le coordinate (x,y) fornite dalla simulazione per calcolare il raggio di ciascun punto utilizzando il teorema di Pitagora. Questa trasformazione riduce la dimensionalità del set di dati e semplifica l'analisi funzionale dei guasti (FDA).
Prima di eseguire l'analisi funzionale dei dati (FDA) nella piattaforma Functional Data Explorer di JMP Pro , devo aggiungere un set di dati ai risultati dell'analisi DOE. Questo set di dati costituirà la curva target. Contiene i parametri target per un gran numero di raggi tra i punti dati misurati. Fornisco un numero elevato di punti dati per forzare l'algoritmo di ottimizzazione a cercare una soluzione che si avvicini il più possibile alla curva target (in questo caso, un valore uniforme su tutto il substrato).
Ora posso eseguire l'analisi funzionale del software (FDA). La configurazione in JMP Pro è riportata di seguito. In questo esempio mi concentro solo sullo spessore. Notate che sto usando il raggio come valore "X, Input". Come accennato in un precedente articolo di questa serie, la definizione di tempo è piuttosto flessibile nell'FDA, quindi va bene così. Notate che i miei parametri DOE sono variabili supplementari. Dopo aver cliccato su OK nella finestra di dialogo di avvio, devo fare una cosa in modo diverso rispetto a come farei di solito con l'analisi funzionale del software (FDE). Devo cliccare sul pulsante "Carica" nella sezione Funzione di destinazione dell'interfaccia FDE. In questo modo si aprirà una finestra di dialogo che elenca gli ID delle funzioni. Seleziono quello associato alla funzione di destinazione (aggiunto quando l'ho creata) e clicco su "OK".
Ora che i preliminari sono terminati, possiamo creare la forma funzionale dei dati sperimentali e passarla a una piattaforma di modellazione. Qui trovate un ottimo tutorial su come creare la forma funzionale. JMP Pro 15 gestisce automaticamente tutti i passaggi necessari per passare le forme funzionali e le variabili supplementari alla piattaforma Fit Model. Dovrete quindi solo selezionare "Analisi DOE funzionale" dal menu a triangolo rosso per il modello. Questo vi darà accesso alla funzionalità di regressione generalizzata in Fit Model e vi permetterà di visualizzare automaticamente il Profiler all'interno di FDE. (Si noti che tutti i report e i dati sono disponibili qui su JMP Public.) 
Quando si specifica una funzione target, il Profiler mostra due righe aggiuntive di grafici. Questi mostrano la differenza tra la funzione prodotta dalle impostazioni correnti e la funzione target, nonché l'errore integrato tra la funzione target e la funzione corrente. Quando si seleziona "Massimizza la desiderabilità" dal menu a triangolo rosso del Profiler, JMP tenta di minimizzare la differenza integrata tra la funzione target e quella visualizzata. Nel nostro caso, JMP cerca l'impostazione che produce la curva di spessore più piatta nel processo. A questo punto, è necessario leggere i valori nel Profiler ed eseguire un paio di prove di verifica per controllare i risultati. (Ricordatevi sempre di verificare le vostre previsioni DOE!). 
Mettiamo in pratica ciò che predichiamo
Analizzando il Profiler FDOE, possiamo notare che i parametri che influenzano maggiormente questo processo sono il tempo di deposizione, la temperatura di deposizione e la pressione di deposizione. Presumeremo di dover eseguire il processo a 300 °C, depositando per 824 secondi a 261 mTorr. Tuttavia, come dice il proverbio, le supposizioni possono portare a conseguenze inaspettate... quindi effettueremo alcune prove di validazione con queste impostazioni.
Prima di iniziare le prove, però, farò una piccola simulazione usando le funzionalità di simulazione del Profiler per capire l'intervallo probabile dei dati. Lo farò per simulare un intervallo di confidenza calcolato. Non è perfetto, ma mi darà almeno un'idea di come dovrebbero essere i dati di output in questa situazione se il mio modello è corretto. Ecco l'output FDOE con il simulatore attivato e alcuni valori stimati per i parametri del processo. 
Ecco i risultati delle prove di validazione, confrontati con alcuni dati storici della sfida ENBIS. Si noti che questo grafico di controllo considera lo spessore medio del film sull'intero wafer. Osservando il Profiler qui sopra, si può notare che il bordo e la regione esterna del wafer presentano uno spessore del film inferiore. Queste zone contengono anche la maggior parte dei punti dati del wafer (si veda il piano di campionamento all'inizio dell'articolo). Questo, nel complesso, tende a distorcere verso il basso i valori medi del wafer (uno dei motivi principali per cui non apprezzo questo piano di campionamento). Tuttavia, a parte questa piccola anomalia, i wafer ora rientrano tutti nelle specifiche e anche la variabilità tra i lotti si è ridotta.
Conclusione
L'analisi della curva aurea è probabilmente la mia applicazione preferita dell'FDA (Factory Design Analysis). Cercare di ottimizzare un processo con una correlazione spaziale nota, ignorando gli effetti di tale correlazione, mi ha sempre infastidito. Tuttavia, è piuttosto difficile eseguire l'analisi in altri modi, soprattutto nell'ambito di un DOE (Design of Experiments).
