이 블로그 시리즈 의 앞부분에서 함수 데이터 분석(FDA)을 실험 설계에 활용할 수 있다고 언급했습니다. 생각해 볼 만한 흥미로운 아이디어죠. 곡선의 형태를 최적화하고 싶다면 어떨까요? 아니면 반응의 주기성을 제어하는 방법을 알고 싶다면요? 이번 시리즈의 마지막 글에서는 바로 이 부분을 다뤄보려고 합니다. 이를 위해 '타임머신'을 타고 2010년으로 돌아가 그해 JMP ENBIS 챌린지를 살펴보겠습니다.
2010년 ENBIS 챌린지 
What's Golden Curve optimization or analysis? 골든 커브 최적화 또는 분석이란 무엇인가요?
2010년으로 돌아가 보겠습니다. 이안 콕스( @ian_jmp, 세계 기술 이사)는 유럽 기업 및 산업 통계 네트워크(ENBIS) 연례 컨퍼런스의 ENBIS 챌린지에 저압 화학 기상 증착(LPCVD) 공정 시뮬레이터를 제출했습니다. 이 챌린지의 목표는 시뮬레이션된 부품의 불량률을 최소화하면서 시뮬레이션 수익을 극대화하는 공정 레시피를 찾는 것이었습니다. 시뮬레이터를 사용해보고 싶으시다면, 아직도 이용 가능합니다 .
수익성 계산에 개발 비용을 고려해야 했고, 생산과 개발에 사용할 수 있는 총 재료량이 제한적이라는 점이 어려운 과제 중 하나였습니다. 몇 년 후, 교육 자료로 사용할 만한 예제를 찾다가 우연히 이 시뮬레이터를 발견했습니다. 이안이 시뮬레이터를 개발할 때 얼마나 심혈을 기울였는지 알게 되었고, 실제 불량률 등을 반영하여 LPCVD 공정의 결과물을 훌륭하게 재현해 냈습니다. 이 시뮬레이터는 DOE(실험계획법)가 공정 개발에 있어 유일한 방법이라는 것을 보여주는 데 여전히 유용한 도구입니다. 비록 원래 목적과는 다소 거리가 있지만, 여기서도 이 시뮬레이터를 활용할 예정입니다.
황금빛 곡선이 눈앞에 펼쳐집니다
FDA의 주요 장점 중 하나는 개별 데이터 포인트가 아닌 곡선을 모델의 요소로 사용할 수 있게 해준다는 것입니다. 또한 공정 요소(시간, 온도 등)가 관찰된 곡선에 어떤 영향을 미치는지 살펴보는 것도 중요하다고 볼 수 있습니다. FDA는 이러한 분석도 가능하게 해줍니다. 이러한 사고방식의 다음 논리적 단계는 다음과 같습니다.나는 내가 원하는 곡선을 알고 있다(기본 원칙을 통해서든, 프로세스 제약을 통해서든)제가 제시한 곡선에 최대한 가깝게 맞도록 공정 조건을 최적화하고 싶습니다.이 아이디어는 JMP 의 프로파일러와 '최적화' 루틴을 활용하여 수행하는 작업의 확장입니다. FDA에서는 이를 '골든 커브' 최적화라고 부릅니다. 오늘 우리는 이 골든 커브 분석에 집중할 것입니다.
과정
먼저, LPCVD에 대한 장황한 설명은 생략하겠습니다. 이 논의에서 그렇게 중요한 부분은 아니니까요. 하지만 혹시나 모르시는 분들을 위해 간단히 설명드리자면, LPCVD는 표면에 필름이나 코팅을 입히는 공정입니다. 이 필름은 기능성(부식 방지) 또는 장식성(고급 욕실 설비 마감재 등)을 가질 수 있습니다. LPCVD 공정에서는 기판(실리콘 웨이퍼, 드릴 비트, 주방 수도꼭지 등)을 챔버에 넣습니다. 챔버 내부를 진공 상태(저압)로 만든 후 특정 온도로 가열합니다. 그런 다음 반응성 가스를 제어된 속도로 챔버에 주입합니다. 가스는 반응하여 부품 표면에 부착됩니다. 때로는 가스의 화학 결합을 끊어 공정 효율을 높이기 위해 고주파를 사용하기도 합니다.
ENBIS Simulator DOE InterfaceENBIS 시뮬레이터 DOE 인터페이스
DOE 시뮬레이터에서는 여러 공정 변수와 가스 유량을 제어할 수 있습니다. 시뮬레이터는 기판의 중심점과 세 개의 동심원 형태로 배열된 49개 지점에서 측정된 데이터를 제공합니다. 이러한 측정 패턴은 업계에서 비교적 표준적입니다. 개인적으로 선호하는 방식은 아니지만, 자주 사용되는 방식입니다.
문제점
LPCVD 시뮬레이터에서 해결해야 할 몇 가지 문제가 있습니다. 첫째는 목표 두께와 필름 매개변수를 정확하게 설정하는 문제입니다. 필름 프로파일이 중요하지 않다면 표준 실험 설계(DOE)를 사용하고 평균 또는 중앙값 필름 두께와 같은 요약 통계에 초점을 맞춰 해결할 수 있습니다. 둘째는 챔버의 구조와 가스 흐름 방식 때문에 필름이 균일하지 않다는 점입니다. 일반적으로 기판 중앙에 고리 모양의 특징이 나타납니다. 이 두 번째 문제 때문에 FDA를 사용하여 분석을 수행해야 합니다.
분석
제가 에너지부 결과를 분석하는 부분으로 바로 넘어가겠습니다.DOE 웨이퍼에 대한 그래프 분석을 통해 웨이퍼의 불균일성이 방사형 대칭을 이루고 있음을 알 수 있습니다. 이를 활용하여 시뮬레이션에서 제공된 (x,y) 좌표를 피타고라스 정리를 이용하여 각 점의 반지름으로 변환할 수 있습니다. 이러한 변환을 통해 데이터 세트의 차원이 축소되어 FDA 분석이 더욱 간편해집니다.
JMP Pro 의 기능 데이터 탐색기 플랫폼에서 FDA 분석을 수행하기 전에 DOE 분석 결과에 데이터 세트를 추가해야 합니다. 이 데이터 세트는 목표 곡선이 될 것이며, 측정된 데이터 포인트 사이의 다양한 반경에 대한 목표 매개변수를 포함합니다. 최적화 알고리즘이 목표 곡선(이 경우 기판 전체에 걸쳐 균일한 값)과 매우 유사한 해를 찾도록 하기 위해 많은 수의 데이터 포인트를 제공하는 것입니다.
이제 FDA를 실행할 수 있습니다. JMP Pro 설정은 아래와 같습니다. 이 예시에서는 두께에만 초점을 맞추겠습니다. "X, 입력" 값으로 반지름을 사용하고 있다는 점에 유의하세요. 이 시리즈의 이전 게시물에서 FDA에서 시간의 정의는 다소 유동적이라고 설명했으므로 이는 문제가 없습니다. 실험 설계(DOE) 매개변수는 보조 변수입니다. 실행 대화 상자에서 확인을 클릭한 후, FDE를 사용할 때와는 다른 작업을 해야 합니다. FDE 인터페이스의 대상 함수 부분에서 "로드" 버튼을 클릭해야 합니다. 그러면 함수 ID 목록이 있는 대화 상자가 나타납니다. 대상 함수(생성 시 추가한 함수)와 연결된 함수를 선택하고 "확인"을 클릭합니다.
이제 사전 준비가 완료되었으므로 실험 데이터의 함수 형태를 생성하고 모델링 플랫폼으로 전달할 수 있습니다. 함수 형태 생성 방법에 대한 자세한 튜토리얼은 여기에서 확인할 수 있습니다. JMP Pro 15는 함수 형태와 보조 변수를 Fit Model 플랫폼으로 전달하는 모든 과정을 백그라운드에서 처리합니다. 따라서 모델의 빨간색 삼각형 메뉴에서 함수형 실험 설계(Functional DOE) 분석을 선택하기만 하면 됩니다. 그러면 Fit Model에서 일반화 회귀 분석(Generalized Regression) 기능을 사용할 수 있고, FDE 내에서 프로파일러가 자동으로 불러와집니다. (모든 보고서와 데이터는 JMP Public 에서 확인할 수 있습니다.) 
목표 함수를 입력하면 프로파일러에 두 줄의 그래프가 추가됩니다. 이 그래프는 현재 설정으로 생성된 함수와 목표 함수 간의 차이, 그리고 목표 함수와 현재 함수 간의 적분 오차를 보여줍니다. 프로파일러의 빨간색 삼각형 메뉴에서 "최적화(Maximize Desirability)"를 선택하면 JMP는 목표 함수와 표시된 함수 간의 적분 차이를 최소화하려고 시도합니다. 이 경우 JMP는 공정에서 가장 평탄한 두께 곡선을 생성하는 설정을 찾습니다. 그 후 프로파일러에서 값을 확인하고 몇 번의 검증 실행을 통해 결과를 검증해야 합니다. (실험계획법(DOE) 예측은 항상 검증해야 합니다!) 
우리가 말하는 대로 실천합시다
FDOE 프로파일러를 살펴보면, 이 공정을 좌우하는 주요 변수는 증착 시간, 증착 온도, 증착 압력임을 알 수 있습니다. 우리는 이 공정을 300℃에서 824초 동안 261mTorr의 압력으로 진행해야 한다고 가정해 보겠습니다. 하지만 가정은 곧 현실과 다를 수 있다는 말이 있듯이, 이러한 설정으로 몇 차례 검증을 진행해 보겠습니다.
실행을 시작하기 전에 프로파일러의 시뮬레이션 기능을 사용하여 데이터의 예상 범위를 파악하기 위해 간단한 시뮬레이션을 수행하겠습니다. 이는 계산된 신뢰 구간을 대신하는 역할을 합니다. 완벽하지는 않지만, 적어도 제 모델이 맞다면 이 상황에서 출력 데이터가 어떻게 나타날지 대략적인 감을 잡을 수 있을 것입니다. 다음은 시뮬레이터를 켜고 공정 매개변수에 대한 최적 추정값을 입력했을 때의 FDOE 출력 결과입니다. 
다음은 ENBIS 챌린지에서 얻은 과거 데이터와 비교한 검증 결과입니다. 이 관리도는 웨이퍼 전체의 평균 박막 두께를 나타냅니다. 위의 프로파일러를 보시면 웨이퍼의 가장자리와 바깥쪽 영역의 박막 두께가 더 얇은 것을 알 수 있습니다. 또한 이 영역에는 웨이퍼 내 데이터 포인트의 대부분이 집중되어 있습니다(본문 상단의 샘플링 계획 참조). 이로 인해 웨이퍼 평균값이 낮게 왜곡될 수 있습니다(이 샘플링 계획을 선호하지 않는 주요 이유 중 하나입니다). 하지만 이러한 작은 문제점을 제외하면, 이제 모든 웨이퍼가 규격 내에 있으며 로트 간 변동성도 감소했습니다.
결론
골든 커브 분석은 아마도 제가 가장 좋아하는 FDA 응용 분야일 것입니다. 공간적 상관관계가 알려져 있는 프로세스를 최적화하면서 그 상관관계의 영향을 무시하는 것은 항상 저를 괴롭혀 왔습니다. 하지만 다른 방식으로, 특히 실험계획법(DOE)의 틀 안에서 이러한 분석을 수행하는 것은 매우 어려운 일입니다.
