In einem früheren Beitrag dieser Blogreihe erwähnte ich, dass die funktionale Datenanalyse (FDA) in der Versuchsplanung Anwendung finden kann. Das ist ein interessanter Ansatz. Was wäre, wenn man die Form einer Kurve optimieren oder die Periodizität einer Reaktion steuern wollte? Genau darum geht es im letzten Beitrag dieser Reihe. Dazu nutzen wir die „Zeitreisemaschine“ und reisen zurück ins Jahr 2010 zur JMP ENBIS Challenge.
Die ENBIS-Herausforderung 2010 
What's Golden Curve optimization or analysis? Was ist Golden-Curve-Optimierung bzw. -Analyse?
Ich möchte Sie zurück ins Jahr 2010 führen. Ian Cox ( @ian_jmp, weltweiter technischer Direktor) reichte damals einen Simulator für ein LPCVD-Verfahren (Niederdruck-CVD) bei der Jahrestagung des Europäischen Netzwerks für Wirtschafts- und Industriestatistik (ENBIS) für die ENBIS Challenge ein. Die Herausforderung bestand darin, ein Prozessrezept zu finden, das den simulierten Gewinn maximiert und die Fehlerquote der simulierten Teile reduziert. Der Simulator ist weiterhin verfügbar .
Eine der Herausforderungen bestand darin, die Entwicklungskosten in die Rentabilitätsberechnungen einzubeziehen und nur eine begrenzte Materialmenge (für Produktion und Entwicklung) zur Verfügung zu haben. Ich stieß erst einige Jahre später auf den Simulator, als ich nach einem Beispiel für Schulungszwecke suchte. Wie sich herausstellte, hatte Ian bei der Entwicklung des Simulators seine Hausaufgaben gemacht, und er bildet die Ergebnisse des LPCVD-Prozesses mit realistischen Fehlerraten usw. sehr gut nach. Er ist nach wie vor ein informatives Werkzeug, um zu veranschaulichen, warum Versuchsplanung (DOE) die einzige Methode für die Prozessentwicklung ist. Wir werden ihn hier verwenden, wenn auch vielleicht etwas außerhalb seines ursprünglichen Anwendungsbereichs.
Goldene Kurven voraus
Einer der Hauptvorteile der FDA besteht darin, dass sie die Verwendung von Kurven (anstatt einzelner Datenpunkte) als Faktoren in einem Modell ermöglicht. Man könnte auch argumentieren, dass wir untersuchen möchten, wie Prozessfaktoren (Zeit, Temperatur usw.) eine beobachtete Kurve beeinflussen. Auch das ist mit der FDA möglich. Der nächste logische Schritt in dieser Denkweise ist:Ich kenne die Kurve, die ich anstrebe.(entweder durch grundlegende Prinzipien oder durch Prozessbeschränkungen)Ich möchte meine Prozessbedingungen so optimieren, dass sie der von mir vorgegebenen Kurve so genau wie möglich entsprechen.Diese Idee ist eine Erweiterung dessen, was wir in JMP mit dem Profiler und der Funktion „Maximierung der Zielerreichung“ tun würden. In der FDA-Welt wird dies als „Goldene-Kurven-Optimierung“ bezeichnet. Auf diese Goldene-Kurven-Analyse werden wir uns heute konzentrieren.
Der Prozess
Vorab möchte ich Ihnen keine ausführliche Abhandlung über LPCVD geben. Das ist für diese Diskussion nicht so wichtig. Damit Sie aber nicht völlig im Dunkeln tappen, hier die Kurzfassung: Das Verfahren dient zum Aufbringen von Filmen und Beschichtungen auf Materialien. Diese Filme können funktional sein (Korrosionsschutz) oder dekorativ (wie Oberflächen auf hochwertigen Badezimmerarmaturen). Bei LPCVD wird ein Substrat in eine Kammer eingebracht (das kann beispielsweise ein Siliziumwafer, ein Bohrer oder der Wasserhahn in Ihrer Küche sein). Die Kammer wird dann evakuiert (der Niederdruckteil) und auf eine bestimmte Temperatur erhitzt. Anschließend werden reaktive Gase mit kontrollierter Rate in die Kammer eingeleitet. Die Gase reagieren miteinander und lagern sich an den Oberflächen der Teile an. Manchmal werden Hochfrequenzen eingesetzt, um chemische Bindungen in den Gasen aufzubrechen und so den Prozess effizienter zu gestalten.
ENBIS Simulator DOE InterfaceENBIS-Simulator DOE-Schnittstelle
Im DOE-Simulator haben wir die Kontrolle über zahlreiche Prozessparameter und Gasdurchflussraten. Der Simulator liefert Messdaten von 49 Messpunkten auf dem Substrat, die um einen Mittelpunkt und in drei konzentrischen Messringen angeordnet sind. Dieses Messmuster ist in der Industrie relativ üblich. Es ist zwar nicht mein bevorzugtes Verfahren, kommt aber häufig vor.
Das Problem
Im LPCVD-Simulator müssen wir einige Probleme lösen. Erstens ist es schwierig, die Zielschichtdicke und die Filmparameter korrekt zu bestimmen. Wäre das Filmprofil irrelevant, ließe sich dies mit einem Standard-DOE und der Betrachtung von Kennzahlen wie der durchschnittlichen oder der Median-Schichtdicke realisieren. Zweitens ist der Film aufgrund der Kammergeometrie und der Gasströmung nicht homogen. Er weist üblicherweise eine ringförmige Struktur in der Mitte des Substrats auf. Aufgrund dieses zweiten Problems ist die FDA-Analyse erforderlich.
Die Analyse
Ich überspringe nun den Teil, in dem ich die Ergebnisse des Energieministeriums analysiere.Eine grafische Analyse der DOE-Wafer zeigt, dass die Ungleichmäßigkeit der Wafer eine radiale Symmetrie aufweist. Dies können wir uns zunutze machen und die von der Simulation gelieferten (x,y)-Koordinaten mithilfe des Satzes des Pythagoras umrechnen, um den Radius für jeden Punkt zu berechnen. Diese Transformation reduziert die Dimensionalität des Datensatzes und vereinfacht die FDA-Analyse.
Bevor ich die FDA-Analyse in der Functional Data Explorer-Plattform von JMP Pro durchführe, muss ich den DOE-Analyseergebnissen einen Datensatz hinzufügen. Dieser Datensatz dient als Zielkurve. Er enthält die Zielparameter für eine Vielzahl von Radien zwischen den gemessenen Datenpunkten. Durch die große Anzahl an Datenpunkten wird der Optimierungsalgorithmus dazu angeregt, eine Lösung zu finden, die der Zielkurve (in diesem Fall einem einheitlichen Wert über das gesamte Substrat) möglichst nahe kommt.
Jetzt kann ich FDA anwenden. Die Einstellungen in JMP Pro sind unten aufgeführt. In diesem Beispiel konzentriere ich mich nur auf die Dicke. Beachten Sie, dass ich den Radius als „X, Input“-Wert verwende. Wie bereits in einem früheren Beitrag dieser Reihe erwähnt, ist die Definition von Zeit in FDA etwas flexibel, daher ist dies in Ordnung. Meine DOE-Parameter sind zusätzliche Variablen. Nachdem ich im Startdialog auf „OK“ geklickt habe, muss ich eine Sache anders machen als üblicherweise bei FDE. Ich muss im Bereich „Zielfunktion“ der FDE-Oberfläche auf die Schaltfläche „Laden“ klicken. Dadurch öffnet sich ein Dialogfeld mit den Funktions-IDs. Ich wähle diejenige aus, die der Zielfunktion zugeordnet ist (die ich beim Erstellen hinzugefügt habe) und klicke auf „OK“.
Nachdem die Vorbereitungen abgeschlossen sind, können wir die Funktionsform der experimentellen Daten erstellen und an eine Modellierungsplattform übergeben. Eine hilfreiche Anleitung zur Erstellung der Funktionsform finden Sie hier . JMP Pro 15 übernimmt die gesamte Übergabe der Funktionsformen und der ergänzenden Variablen an die Fit-Model-Plattform im Hintergrund. Wählen Sie dazu einfach im Menü unter dem roten Dreieck die Option „Funktionale Versuchsplanung“ (Functional DOE Analysis) für das Modell aus. Dadurch erhalten Sie Zugriff auf die Generalisierte Regression in Fit Model und der Profiler wird automatisch aus FDE heraus aufgerufen. (Alle Berichte und Daten sind hier auf JMP Public verfügbar.) 
Sobald Sie eine Zielfunktion angegeben haben, zeigt der Profiler zwei zusätzliche Diagrammzeilen an. Diese veranschaulichen die Differenz zwischen der mit den aktuellen Einstellungen erzeugten Funktion und der Zielfunktion sowie den integrierten Fehler zwischen Ziel- und aktueller Funktion. Wenn Sie im Profiler-Menü (rotes Dreieck) die Option „Maximale Optimierung“ auswählen, versucht JMP, die integrierte Differenz zwischen Ziel- und angezeigter Funktion zu minimieren. In unserem Fall sucht JMP nach der Einstellung, die die flachste Dickenkurve im Prozess erzeugt. Anschließend sollten Sie die Werte im Profiler ablesen und einige Verifizierungsläufe durchführen, um die Ergebnisse zu überprüfen. (Überprüfen Sie Ihre DOE-Vorhersagen immer!) 
Lasst uns das, was wir predigen, auch in die Praxis umsetzen.
Der FDOE-Profiler zeigt, dass die entscheidenden Parameter für diesen Prozess die Abscheidungszeit, die Abscheidungstemperatur und der Abscheidungsdruck sind. Wir gehen davon aus, dass wir den Prozess bei 300 °C, einer Abscheidungszeit von 824 Sekunden und einem Druck von 261 mTorr durchführen müssen. Allerdings gibt es ein bekanntes Sprichwort: „Was man annimmt, kann sich ändern.“ Daher werden wir mit diesen Einstellungen Validierungsläufe durchführen.
Bevor ich die Simulationsläufe durchführe, werde ich mithilfe der Simulationsfunktionen des Profilers eine kleine Simulation durchführen, um den wahrscheinlichen Datenbereich zu ermitteln. Dies dient als Ersatz für ein berechnetes Konfidenzintervall. Es ist zwar nicht perfekt, gibt mir aber zumindest eine Vorstellung davon, wie die Ausgabedaten in dieser Situation aussehen sollten, falls mein Modell korrekt ist. Hier ist die FDOE-Ausgabe mit aktiviertem Simulator und einigen Schätzwerten für die Prozessparameter. 
Hier sind die Ergebnisse der Validierungsläufe mit historischen Vergleichsdaten aus der ENBIS-Challenge. Beachten Sie, dass diese Kontrollkarte die durchschnittliche Schichtdicke über den gesamten Wafer betrachtet. Im Profiler (siehe oben) ist zu erkennen, dass die Schichtdicke am Rand und im äußeren Bereich des Wafers geringer ist. Dort befinden sich auch die meisten Datenpunkte (siehe Stichprobenplan oben im Artikel). Dies führt zu einer Verzerrung der mittleren Waferwerte nach unten (einer der Hauptgründe, warum ich diesen Stichprobenplan nicht bevorzuge). Abgesehen von dieser kleinen Besonderheit liegen die Wafer nun alle innerhalb der Spezifikationen, und die Chargenstreuung hat sich ebenfalls verringert.
Abschluss
Die Golden-Curve-Analyse ist wahrscheinlich meine liebste Anwendung der FDA. Mich hat es schon immer gestört, einen Prozess mit bekannter räumlicher Korrelation zu optimieren und dabei die Auswirkungen dieser Korrelation zu ignorieren. Es ist jedoch eine ziemliche Herausforderung, die Analyse auf andere Weise durchzuführen – insbesondere im Rahmen eines Versuchsdesigns.
