如果你是第一次收看这个系列，欢迎！这原本只是一篇简单的博客文章，用来应对我在另一个项目写作中遇到的瓶颈。没想到事情发展得这么快……
以下是该系列的其他文章：
现在进入本文的主题。
一个有趣的问题
How do you use functional data analysis for images or wafer maps?如何将函数式数据分析应用于图像或晶圆图？函数式数据浏览器 (FDE) 发布后不久，我就开始收到关于如何使用 FDE 处理图像或晶圆图的问题。从概念上讲，我认为这很有用。而且，我相当确定数学计算能够处理这种情况。然而， JMP Pro中的函数式数据浏览器并没有针对这种数据结构进行设置。因此，我找到了一个解决办法。
本文将解释我如何在FDE中处理图像/晶圆图数据，并阐述其中的思路和具体操作方法。关键在于转变视角。让我来解释一下。
一些动机
在我们深入探讨这个问题之前，让我们先花点时间思考一下为什么要分析晶圆图或图像。人是视觉动物。我们很容易就能从数据中看出某种模式（无论这种模式是否存在）。
这种能力在制造和缺陷分析中尤为有用。利用晶圆图，人们可以轻松地用肉眼识别不同工艺造成的图案（如上图所示）。如果有一种算法能够实现类似的功能，并将信息以易于后续分析的方式呈现，那将是无价之宝。同样，对于图像分析或其他以热图形式呈现的数据，能够将视觉信息转化为便于分析的格式，也为分析开辟了许多新的途径。
思维练习
使用 FDA 数据时最大的问题在于确定数据集中的“功能”。而这往往是大多数人的起点。在 JMP Pro 中，他们通常会盯着“ID，功能”字段，试图弄清楚该填入什么内容，然后再进行其他操作——但这绝对是个糟糕的做法。尤其当您尝试对图像、晶圆图等进行 FDA 检测时。
让我先解释一下我接下来要讲的内容。引发我思考这个问题的，是围绕着一种叫做晶圆图的东西。下图就是晶圆图：
在半导体行业，我们通常从两个方面来理解晶圆数据：一是将其视为一系列独立的单元（称为芯片），二是将其视为图像，分析对象是整个晶圆。从工艺角度来看，第一种方法并不合理。因为工艺的改变会影响整个晶圆（很难调整工艺条件来改变某个特定的芯片），所以每个晶圆更像是一幅图像。而这正是我们面临的问题：如何将空间信息编码成可用于功能性数据分析的数据？
现在，如果我们暂时放下定义函数这件事，换个角度思考，先确定一下“时间”这个变量是什么呢？如果我们这样做，通过排除法，前进的方向就会变得更加清晰。事实证明，每一片晶圆都是某个时间点的快照。图像也是如此——就像电影一样——电影的每一帧都代表着一个瞬间。如果有人在对图像数据进行FDA分析，他们通常观察的是同一视野随时间推移而采集的数据。对于图像来说，“时间”也可以理解为切片在体积中移动，或者能量、曝光时间等的变化。因此，“时间”可以代表一个自变量（即你在实验中改变的因素等等）。
在我们的半导体数据集中，每个晶圆都有一个称为晶圆 ID 的值。这些 ID 按时间顺序排列。在上面的 3D 散点图中，我们可以用 z 轴（向上）表示时间上的推进。因此，如果晶圆（或图像）是“时间”变量，那么我们该如何考虑“功能”呢？答案是芯片或像素。如果我们把每个芯片或像素的 (x,y) 坐标视为某种 ID，我们就可以创建一个唯一的标识符，并将其用作功能 ID。利用这种逻辑，我们可以绘制不同功能（芯片）系列的平均响应，并查看一系列晶圆（“时间”域）的平均缺陷数量。我们可以看到，晶圆边缘的缺陷问题比中心严重得多（对此，每个半导体工程师都会说：“没错，现在告诉我一些我不知道的事情。”）。
改变视角
事实证明，将芯片或像素位置作为功能标识会带来一些正面和负面的影响。好处是，我们可以对图像和类似图像的结构（晶圆图）进行功能分析。缺点是：在功能分析过程中，我们失去了对结果进行视觉解读的能力。虽然最终可以恢复这种能力，但在构建功能模型时，我们就像盲人摸象，只能依赖数据。
那么，我们该如何转变视角呢？第一步是将数据导入JMP Pro ，特别是图像数据。几年前， @JohnPonte在社区帖子中已经介绍过这部分内容（ 图像分析器演示和插件）。你需要一组包含目标响应的数据，以及每个像素、芯片等的 (x,y) 坐标对。之后，我们将图像（晶圆图）视为时间变量，将像素 ID（芯片 ID）视为函数 ID。
同样，我们照常运行 FDA，但这次我们将忽略大部分图形——得分图和柱状图除外，功能主成分 (FPC) 排名除外。查看功能主成分分析表，我希望在累积列中看到高分（表明我们已捕获数据集中的大部分信息）。我还在寻找得分图中的任何异常情况（参见本系列的前一篇文章）。
FDA流程的最后一步是将FPC值导出到包含像素/芯片ID列的新数据表中。之后，我们可以使用列实用程序将ID列分解为x和y分量以进行可视化。我在此简要介绍这些步骤，但完整的数据集可在JMP 公共上找到，其中包含我用于将芯片/像素坐标转换为功能ID以及反向转换的公式列。
示例 1：晶圆图
第一个例子分析了半导体晶圆缺陷图中的缺陷率。该数据集来自 JMP 样本数据。下图是研究中 FPC 的交互式图形（其他步骤见上文）。请注意，FDE 能够从数据中提取出两种不同的缺陷特征。第一种特征在 FPC1 中清晰可见。第二种特征在 FPC2 中非常微弱，它是一种更偏向径向的特征。FPC2 包含了数据中大量的随机散粒噪声。这种分析的优势在于，如果我们想要了解 FPC1 所代表的特征的成因，我们可以直接在模型/根本原因分析中使用 FPC。
示例 2：图像
这组图像是 ImageJ 软件包中的一个示例数据集。它包含烧结氧化铝颗粒，原始数据集中的每张图像都是使用共聚焦显微镜从样品厚度的不同深度拍摄的。使用 FPC 重建的图像如下所示。这幅图像的有趣之处在于，FPC 似乎突出了样品中不同深度的特征。
为了好玩，我利用这些信息，使用前三个FPC对样本进行了3D重建：
结论
因此，在 JMP Pro 中使用 FDA 进行图像分析是可行的。关键在于确保考虑数据集中的函数域和“时间”域。更广泛地说，这对于 FDA 而言至关重要。它可能导致截然不同的结果，甚至决定分析的成败。
下周，我们将探讨如何利用这类分析获得的信息。我们会将过程实验设计（DOE）与功能数据分析结合起来。希望您能继续收看下一集！
