亲爱的读者，我必须坦白一件事。我的写作有个相当严重的问题，就是容易跑题。我原本计划这个系列的第一篇文章只是个独立的故事，打算在写下一个大型系列博客（说来也怪，这个系列里居然有一篇几乎完全是关于跑题的……？）的同时，快速写完。这样既能保持写作状态，又能避免对另一个主题感到厌倦。但正如你可能已经察觉到的，事情有点失控了。好消息是，我足够自律，不会在全部写完之前就开始发布系列文章。所以，请放心，不会出现任何未解之谜。好了，接下来让我们来看看函数式数据分析的一些有趣应用。
如果你好奇为什么技术博客里会出现如此真挚的自白，那么请看本系列的第一篇文章： 《五分钟函数式数据分析入门》。
系列介绍
在撰写本系列第一篇文章时，我开始思考我探索过的功能性数据分析（FDA）的各种应用。我列出了一长串的应用（一旦你深入研究，就会发现FDA的玩法五花八门）。最终，我精选出三个应用案例，以展示FDA的强大功能。
首先：让我们回顾一下我博士论文中的一些数据。
XRR入门教程（新手篇）
读研究生的时候（加油，俄勒冈鸭队！），我研究过一种叫做X射线反射率的技术。这种方法广泛应用于半导体制造等领域，尤其适用于需要精确测量复杂不透明薄膜堆叠厚度的情况。我想看看FDA（以及JMP Pro中的FDE，即功能数据浏览器）能如何处理我研究生时期的一些研究成果。
这个例子来自我进行的一项退火研究，旨在确定复杂晶体结构的低温合成途径。
首先，简单介绍一下X射线反射率（XRR）技术……这样您就能理解图表中那些弯弯曲曲的曲线是什么意思了。XRR利用样品上的薄膜堆叠结构，就像一个分束器。这项技术的工作原理是有效地将入射的X射线分成两束：一束沿着原光路继续传播，另一束则以特定角度偏离，该角度由样品和仪器决定。（是的，对于XRR的专家来说，这可能过于简化，但它传达了相关的要点。）这种分束发生在薄膜堆叠结构的每个界面处（例如，空气-薄膜、薄膜1-薄膜2、薄膜-衬底）。在测量过程中，探测器会捕捉反射光束的相长/相消干涉，并将其记录为一系列振荡。有趣的是，肥皂泡中那些美丽的彩虹色也是基于大致相同的原理产生的。如果以上内容仍然让您感到困惑，这里有一张模拟薄膜堆叠结构的数据图：
X-ray Reflectivity Traces from: a) A Substrate/Air Interface, b) A Substrate/Film/Air stack, c) A Substrate/Multilayer Film/Air stack, d) the stack from c, with some irregularities in the layers.X射线反射率曲线来自：a) 基板/空气界面，b) 基板/薄膜/空气堆叠，c) 基板/多层薄膜/空气堆叠，d) c 中的堆叠，层间存在一些不规则性。
这一系列圆润的峰形来自干涉图样，其中包含薄膜厚度信息。可以看到两组不同的圆润峰形（一组较小且彼此靠近，另一组较高且彼此远离）。这些峰形源于薄膜中不同的重复结构，而关于X射线反射率（XRR）理论，我们只需讲解到这里即可。
退火研究数据
在这个实验中，我沉积了极薄（大约几个原子厚）的不同元素层，并按照特定的重复图案排列。然后，我将它们加热到一系列温度（200℃至600℃），并使用X射线反射率（XRR）来观察薄膜的变化。这项研究的目的是确定在什么温度下，这些薄层堆叠不再是堆叠结构，而是转变为单晶薄膜。下图是薄膜XRR数据的交互式图表。请注意，“AD”薄膜代表“沉积态” （As Deposited ），其温度大约在室温或略高于室温（我们没有在沉积室中连接热电偶来测量样品温度）。
仅凭观察就能看出，在我研究的温度范围内，薄膜中的成分发生了变化。振荡幅度略有波动——表明薄膜厚度发生了变化。右侧的孤立峰也开始迅速缩小，最终消失——表明层状结构已经消失。这一切都很棒——只需稍加努力（我以前也做过），我就可以从这组数据中得到具体的层厚。然而，我这项研究的目标是确定何时可以停止加热。我需要知道反应何时达到终点。在这种情况下，我还使用了X射线衍射（XRD）来监测晶体材料的形成，但由于XRD比X射线反射率（XRR）耗时更长，所以我不想在确定发生了某种变化之前就开始进行衍射测量。
利用FDE进行反应终点确定
本次练习中，我们将详细查看上一篇文章中简要提及的JMP Pro中FDE报告的部分内容。以下是完整的 HTML5 格式报告：
具体来说，我感兴趣的是利用傅里叶基函数生成一个函数（因为数据具有周期性），并观察主成分在得分图中的表现。对于熟悉主成分分析（PCA）的朋友来说，这张图展示了两个主成分之间的关系。数据点越接近，各行通过主成分的关联性就越强。
click to enlarge the diagram.点击放大图表。
这个FDA案例的有趣之处在于，你只需观察得分图就能大致了解样品中的情况。该案例中的薄膜是由硒/铬/铜/铬/硒这几层重复构成的三明治结构。每层三明治的厚度约为3纳米。整个薄膜（多层三明治堆叠而成）的厚度约为50纳米。由于很难直观地理解，让我来解释一下。这是我画的马来西亚双子塔的草图。它们高452米。如果我们把一张纸（通常厚度为0.1毫米）放大到452米厚，然后把这张图按同样的比例放大，那么这张图的厚度大约是8到9英寸（约23厘米）。这基本上相当于一本标准平装小说的长轴。我说它薄，可不是开玩笑！
关键在于硒——一种与硫同族、气味难闻的元素——的熔点约为220℃ 。了解了这一点，再来看看得分图。注意 AD（沉积态）和 200℃ 薄膜的得分图是否紧挨着？这是因为薄膜本身并没有发生什么显著的变化（虽然有一些反应发生，但并非主要反应）。
现在，注意到300℃这个点单独来看有点偏差吗？它和前两个薄膜有所不同，但差别不大。硒的温度高于其熔点，三明治结构开始瓦解。它仍然存在（这就是为什么它更接近低温样品的原因）。铬和铜稍微减缓了混合过程，但最终还是徒劳无功。
接下来，400℃和500℃的样品与其他样品明显不同。所有物质混合均匀。三明治结构消失，混合物中开始形成一种新材料CuCr₂Se₄ 。我知道它的形成是基于另一项不包含在本数据集中的测量结果。通过这项分析，我知道这两个样品与本研究中的其他样品截然不同。我的专业知识告诉我原因，以及我可以提出哪些问题或进行哪些测量来验证这一假设。
最后我们来到了 600℃——它与其他所有温度点都截然不同。为什么呢？因为它与数据集中的任何其他温度点都完全不同。薄膜现在很可能是一层我之前提到的CuCr₂Se₄化合物。至少从这些数据来看，它既不同于中间温度点，也不同于初始温度点。
结论
那么，我们从中学到了什么呢？除了我是一个毫不掩饰的极客，会为了好玩而重新处理我的论文数据之外，我的意思是，我第一次看到这个结果时，就学会了在分析FDA（以及FDE）数据时关注这个得分图。将专业知识与这个特定的图表结合起来，可以很快地产生一些令人兴奋的见解。
在本系列的下一个主题中，我将追随白兔的脚步，深入探讨FDA中的维度问题。希望你们继续关注——这将是一次令人脑洞大开的旅程。
