親愛的讀者，我必須坦白一件事。我的寫作有個相當嚴重的問題，就是容易離題。我原本計劃這個系列的第一篇文章只是個獨立的故事，打算在寫下一個大型系列博客（說來也怪，這個系列里居然有一篇幾乎完全是關於跑題的……？）的同時，快速寫完。這樣既能保持寫作狀態，又能避免對另一個主題感到厭倦。但正如你可能已經察覺到的，事情有點失控了。好消息是，我夠自律，不會在全部寫完之前就開始發布系列文章。所以，請放心，不會有任何未解之謎。好了，接下來讓我們來看看函數式資料分析的一些有趣應用。
如果你好奇為什麼科技部落格裡會出現如此真誠的自白，那麼請看本系列的第一篇文章： 《五分鐘函數式資料分析入門》。
系列介紹
在撰寫本系列第一篇文章時，我開始思考我探索過的功能性資料分析（FDA）的各種應用。我列出了一長串的應用（一旦你深入研究，你會發現FDA的玩法五花八門）。最終，我精選出三個應用案例，展示FDA的強大功能。
首先：讓我們回顧一下我博士論文中的一些數據。
XRR入門教學（新手篇）
讀研究所的時候（加油，俄勒岡鴨！），我研究過一種叫做X射線反射率的技術。這種方法廣泛應用於半導體製造等領域，尤其適用於需要精確測量複雜不透明薄膜堆疊厚度的情況。我想看看FDA（以及JMP Pro中的FDE，即功能數據瀏覽器）能如何處理我研究生時期的一些研究成果。
這個例子來自我進行的一項退火研究，旨在確定複雜晶體結構的低溫合成途徑。
首先，簡單介紹一下X光反射率（XRR）技術…以便您理解圖表中那些彎曲的曲線是什麼意思。 XRR利用樣品上的薄膜堆疊結構，將其作為類似分束器的結構。該技術的工作原理是將入射的X射線有效地分成兩束：一束沿原光路繼續傳播，另一束則以特定角度偏離，該角度由樣品和儀器決定。 （是的，對於XRR的專家來說，這可能過於簡化，但它傳達了相關的要點。）這種分束發生在薄膜堆疊結構的每個界面處（例如，空氣-薄膜、薄膜1-薄膜2、薄膜-基板）。在測量過程中，偵測器會將反射光束的相長/相消干涉轉換為一系列振盪訊號。有趣的是，肥皂泡中那些美麗的彩虹色也是基於大致相同的原理產生的。如果以上內容仍然讓您感到困惑，這裡有一張模擬薄膜堆疊結構的資料圖：
X-ray Reflectivity Traces from: a) A Substrate/Air Interface, b) A Substrate/Film/Air stack, c) A Substrate/Multilayer Film/Air stack, d) the stack from c, with some irregularities in the layers.X射線反射率曲線來自：a) 基板/空氣介面，b) 基板/薄膜/空氣堆疊，c) 基板/多層薄膜/空氣堆疊，d) c 中的堆疊，層間存在一些不規則性。
這一系列圓潤的峰形來自乾涉圖樣，其中包含薄膜厚度資訊。可以看到兩組不同的圓潤峰形（一組較小且彼此靠近，另一組較高且彼此遠離）。這些峰形源自於薄膜中不同的重複結構，而關於X射線反射率（XRR）理論，我們只需先講解到這裡即可。
退火研究數據
在這個實驗中，我沉積了極薄（大約幾個原子厚）的不同元素層，並按照特定的重複圖案排列。然後，我將它們加熱到一系列溫度（200℃至600℃），並使用X射線反射率（XRR）來觀察薄膜的變化。這項研究的目的是確定在什麼溫度下，這些薄層堆疊不再是堆疊結構，而是轉變為單晶薄膜。下圖是薄膜XRR資料的互動式圖表。請注意，「AD」薄膜代表「沉積態」 （As Deposited ），其溫度大約在室溫或略高於室溫（我們沒有在沉積室中連接熱電偶來測量樣品溫度）。
僅憑觀察就能看出，在我研究的溫度範圍內，薄膜中的成分發生了變化。振盪幅度略有波動－表示薄膜厚度發生了變化。右側的孤立峰也開始迅速縮小，最終消失──顯示層狀結構已經消失。這一切都很棒——只需稍加努力（我以前也做過），我就可以從這組數據中獲得具體的層厚。然而，我這項研究的目標是確定何時可以停止加熱。我需要知道反應何時達到終點。在這種情況下，我還使用了X射線衍射（XRD）來監測晶體材料的形成，但由於XRD比X射線反射率（XRR）耗時更長，所以我不想在確定發生了某種變化之前就開始進行衍射測量。
利用FDE進行反應終點確定
在本次練習中，我們將詳細查看上一篇文章中簡要提及的JMP Pro中FDE報告的部分內容。以下是完整的 HTML5 格式報告：
具體來說，我感興趣的是利用傅立葉基函數產生一個函數（因為數據具有週期性），並觀察傅立葉主成分 (FPC) 在得分圖中的表現。對於熟悉主成分分析 (PCA) 的朋友來說，這張圖展示了兩個主成分之間的關係。數據點越接近，各行數據通過主成分之間的關聯性就越強。
click to enlarge the diagram.點擊放大圖表。
這個FDA案例的有趣之處在於，你只需觀察得分圖就能大致了解樣品中的情況。此案例中的薄膜是由硒/鉻/銅/鉻/硒這幾層重複構成的三明治結構。每層三明治的厚度約為3奈米。整個薄膜（多層三明治堆疊而成）的厚度約為50奈米。由於很難直觀地理解，讓我來解釋一下。這是我畫的馬來西亞雙子星大樓的草圖。它們高452米。如果我們把一張紙（通常厚度為0.1毫米）放大到452公尺厚，然後把這張圖以同樣的比例放大，那麼這張圖的厚度大約是8到9吋（約23公分）。這基本上相當於一本標準平裝小說的長軸。我說它薄，可不是開玩笑！
關鍵在於硒——一種與硫同族、氣味難聞的元素——的熔點約為220℃ 。了解了這一點，再來看看得分圖。注意 AD（沉積態）和 200℃ 薄膜的得分圖是否緊鄰？這是因為薄膜本身並沒有發生任何顯著的變化（雖然有些反應發生，但並非主要反應）。
現在，注意到300℃這個點單獨來看有點偏差嗎？它和前兩個薄膜有所不同，但差異不大。硒的溫度高於其熔點，三明治結構開始瓦解。它仍然存在（這就是為什麼它更接近低溫樣品的原因）。鉻和銅稍微減緩了混合過程，但最終還是徒勞無功。
接下來，400℃和500℃的樣品與其他樣品明顯不同。所有物質混合均勻。三明治結構消失，混合物中開始形成一種新材料CuCr₂Se₄ 。我知道它的形成是基於另一項不包含在本資料集中的測量結果。透過這項分析，我知道這兩個樣品與本研究中的其他樣品截然不同。我的專業知識告訴我原因，以及我可以提出哪些問題或進行哪些測量來驗證這個假設。
最後我們來到了 600℃——它與其他所有溫度點都截然不同。為什麼呢？因為它與資料集中的任何其他溫度點都完全不同。現在薄膜很可能是一層我之前提到的CuCr₂Se₄化合物。至少從這些數據來看，它既不同於中間溫度點，也不同於初始溫度點。
結論
那麼，我們從中學到了什麼呢？除了我是一個毫不掩飾的極客，會為了好玩而重新處理我的論文數據之外，我的意思是，我第一次看到這個結果時，就學會了在分析FDA（以及FDE）數據時關注這個得分圖。將專業知識與這個特定的圖表結合起來，可以很快地產生一些令人興奮的見解。
在本系列的下一個主題中，我將追隨白兔的腳步，深入探討FDA中的維度問題。希望你們繼續關注——這將是一次令人腦洞大開的旅程。
