Les données fonctionnelles peuvent être un sujet complexe à appréhender ou à expliquer. Depuis l'introduction de Functional Data Explorer dans JMP 14 de SAS, j'ai eu de nombreuses occasions d'en présenter les fonctionnalités. Cependant, la principale difficulté liée à l'analyse des données fonctionnelles (ou FDE) réside dans la compréhension même du concept de données « fonctionnelles ». Je souhaite donc partager un petit exercice de réflexion que j'ai utilisé avec succès pour aider à comprendre ce que sont les données fonctionnelles et les apports de leur analyse. D'après mon petit plugin de suivi, la lecture devrait vous prendre environ 4 minutes 30.
Joyeux anniversaire à toi!
You can sing the "Happy Birthday" song, right? That's because you have a "functional" form of the song in your memory. Vous pouvez chanter « Joyeux anniversaire », n'est-ce pas ? C'est parce que vous en avez une version « fonctionnelle » en mémoire. Imaginez un instant que vous êtes à une fête d'anniversaire. Vous vous attendez à chanter la version traditionnelle de « Joyeux anniversaire », et cela ne vous dérange pas. Vous connaissez la chanson et, quelle que soit la note de départ, vous savez (indépendamment de votre tessiture) comment elle doit sonner. Avez-vous déjà pris le temps de réfléchir à la raison de cela ? Il est raisonnable de supposer que vous ne connaissez pas une infinité de variations de « Joyeux anniversaire ». Comment se fait-il alors que vous soyez si sûr de connaître cette chanson ?
En clair, votre cerveau a stocké la « structure » de la chanson dans votre mémoire. À partir de n'importe quelle note de départ, votre esprit peut alors reconstituer les hauteurs appropriées pour produire la mélodie de « Joyeux anniversaire ». Dans le contexte de cette discussion, vous avez une forme « fonctionnelle » de la chanson en mémoire. Si vous deviez tracer un graphique avec la fréquence en ordonnée et le temps écoulé depuis le début de la chanson en abscisse, il pourrait ressembler à ceci :
L'analyse fonctionnelle des données (AFD) applique à d'autres types de données temporelles le même processus que votre esprit effectue avec les chansons. (Notez que le terme « temps » est ici interprété de manière assez large.) L'AFD part d'un ensemble de données composé de plusieurs courbes (la mélodie de « Joyeux anniversaire ») et utilise de petits fragments de formules mathématiques simples (lignes, courbes, etc.) pour construire une forme générale des données (laforme(de la mélodie de « Joyeux anniversaire ») qui permet de reproduire n'importe quelle courbe de l'ensemble de données original en ajustant quelques constantes dans l'équation. Grâce à ces prouesses mathématiques, nous pouvons réduire de grands ensembles de données complexes à quelques constantes et une seule équation (un vrai casse-tête !). L'avantage, c'est que nous n'avons généralement pas besoin de manipuler directement cette équation, car l'information intéressante se trouve dans les constantes. Génial, non ?
Et pour votre information, oui, je sais que je suis passionnée de maths, mais je n'ai pas toujours été comme ça ; j'ai juste fréquenté de mauvaises personnes à la fac. Choisissez bien vos amis !
Un joyeux anniversaire fonctionnel
Comme je l'ai laissé entendre, vous devriez pouvoir analyser la chanson « Joyeux anniversaire » grâce à l'analyse de données fonctionnelles. Spoiler alert : c'est possible ! Je vais utiliser l'explorateur de données fonctionnelles de JMP Pro pour vous montrer comment procéder et où se trouvent les différents éléments de l'analyse de données fonctionnelles dans l'interface.
Commençons par les données elles-mêmes (disponibles sur JMP Public avec les figures). Le graphique interactif ci-dessous présente la mélodie dans les 12 tonalités de la musique occidentale. En survolant chaque point, vous pouvez voir le mot (ou une partie de mot) correspondant à la fréquence affichée. Le temps est représenté sur l'axe des abscisses. Le tableau de données comporte trois colonnes : Temps (axe des abscisses), Fréquence (axe des ordonnées) et Tonalité (l'identifiant de chaque fonction). C'est ce dont vous avez besoin pour commencer l'analyse de la fréquence d'échantillonnage (FDA) : une famille de courbes avec un axe des abscisses représentant le temps et une réponse.
Puisque ce sujet porte davantage sur les aspects pratiques de l'Explorateur de données fonctionnelles (FDA) que sur un tutoriel complet, je vais passer directement à la configuration de ma version fonctionnelle de « Joyeux anniversaire ». Si vous souhaitez des instructions détaillées sur l'Explorateur de données fonctionnelles dans JMP Pro, la documentation contient un exemple . Vous trouverez ci-dessous le rapport JMP Live du résultat FDE pour « Joyeux anniversaire ».
Rappelez-vous de notre petit exercice de réflexion : pour comprendre ce que nous observons, nous devons localiser deux éléments : la forme fonctionnelle (la structure de la mélodie) et les coefficients qui la modifient pour produire la mélodie dans une tonalité donnée. Repérez le petit graphique sous l’en-tête « ACP fonctionnelle » (vous devrez peut-être faire défiler la fenêtre). Il s’agit de la « forme fonctionnelle » (appelée fonction de base dans le jargon de l’ACP fonctionnelle) de la chanson « Joyeux anniversaire ». Tous les coefficients, etc., nécessaires pour recréer cette forme se trouvent dans le rapport (ou peuvent être exportés vers un tableau de données). La ligne que vous voyez est la représentation visuelle de tout ce travail de modélisation. Ouvrez maintenant la fenêtre « Résumés fonctionnels » ; pas de panique ! De nombreuses informations s’y trouvent, mais nous nous intéressons uniquement aux colonnes « FPC » et « Moyenne ». JMP utilise la valeur moyenne et les FPC pour reconstruire la chanson à partir d’une note de départ donnée (vous pouvez obtenir plusieurs FPC pour des données plus complexes). Toutes les autres informations sont utiles aussi, mais au fond, ce sont celles-ci qui vous permettent de reconstituer chaque version de la chanson « Joyeux anniversaire ». Et votre cerveau fait tout ça instantanément… incroyable !
Conclusion
Voilà, c'est tout ! L'analyse de données fonctionnelles n'est qu'un exemple de plus de la volonté de faire faire aux ordinateurs ce que fait le cerveau. Fascinant, non ? Cela dit, les possibilités offertes par l'analyse de données fonctionnelles sont vraiment passionnantes. On peut l'utiliser pour transformer des données de séries temporelles dans un format compatible avec d'autres méthodes de modélisation. On peut l'intégrer à un plan d'expériences (DOE)… les possibilités sont nombreuses.
Tu sais, ça ressemble à une série d'articles intéressants à écrire... hmmm...
