함수형 데이터는 생각하거나 다른 사람에게 설명하기에 다소 복잡한 주제일 수 있습니다. SAS가 JMP 14에 함수형 데이터 탐색기(Functional Data Explorer)를 도입한 이후로 저는 그 기능에 대해 많은 이야기를 나눌 기회가 있었습니다. 하지만 함수형 데이터 분석(FDE)을 다룰 때 가장 큰 어려움은 "함수형" 데이터라는 개념 자체를 이해하는 것입니다. 함수형 데이터가 무엇이고 함수형 데이터 분석이 우리에게 무엇을 제공하는지 사람들이 이해하는 데 도움이 되도록 제가 효과적으로 사용해 온 간단한 사고 실험을 공유하고자 합니다. 제 작은 추적 플러그인에 따르면 이 글을 읽는 데 약 4분 30초 정도 걸릴 것입니다.
생일 축하해요!
You can sing the "Happy Birthday" song, right? That's because you have a "functional" form of the song in your memory. "생일 축하 노래"를 부를 수 있죠? 그건 여러분의 기억 속에 그 노래의 "기능적인" 형태가 있기 때문입니다. 잠시 생일 파티에 갔다고 상상해 보세요. 당신은 전통적인 "생일 축하 노래"를 부르게 될 것이고, 그것은 당신에게 전혀 부담스럽지 않을 겁니다. 당신은 그 노래를 알고 있고, 어떤 음으로 시작하든 (음역대는 제외하고) 어떻게 불러야 할지 알고 있습니다. 왜 그럴까요? 왜 그럴 수 있는지 잠시 생각해 본 적이 있나요? 당신이 "생일 축하 노래"의 무수한 변형을 알고 있는 것은 아닐 겁니다. 그렇다면 어떻게 그 노래에 대해 그렇게 확신할 수 있을까요?
간단히 말해, 당신의 뇌는 노래의 "형태"를 기억 속에 저장하고 있습니다. 어떤 시작 음을 듣더라도, 당신의 마음은 적절한 음정을 재구성하여 "생일 축하 노래" 멜로디를 만들어낼 수 있습니다. 이 논의의 맥락에서, 당신은 기억 속에 노래의 "기능적인" 형태를 가지고 있는 것입니다. 만약 y축에 빈도, x축에 노래를 듣기 시작한 시점부터 경과한 시간을 나타내는 그래프를 그린다면, 다음과 같은 모양이 될 수 있습니다.
함수 데이터 분석(FDA)은 우리의 마음이 노래를 처리하는 방식과 유사하게 다른 유형의 시간 기반 데이터에 대해 작업을 수행합니다. (여기서 "시간"은 비교적 넓은 의미로 해석됩니다.) FDA는 여러 곡선으로 구성된 데이터 세트(예: "생일 축하 노래" 멜로디)에서 시작하여 간단한 수학 공식(선, 곡선 등)의 작은 조각들을 사용하여 데이터의 일반적인 형태(음의 길이, 음 ...모양"생일 축하 노래" 멜로디와 같은 간단한 수학적 공식을 사용하면 방정식의 몇 가지 상수만 조정하여 원래 데이터 세트의 모든 곡선을 재현할 수 있습니다. 이러한 수학적 묘기를 통해 우리는 구조적으로 복잡한 대규모 데이터 세트를 소수의 상수와 하나의 (다소 복잡한) 방정식으로 축소할 수 있습니다. 좋은 소식은 흥미로운 정보가 상수 안에 있기 때문에 일반적으로 그 방정식을 직접 다룰 필요가 없다는 것입니다. 멋지지 않나요?
참고로 말씀드리자면, 네, 제가 수학에 푹 빠져있는 건 맞지만, 항상 이랬던 건 아니에요. 대학 시절에 안 좋은 친구들과 어울렸을 뿐이죠. 여러분, 친구는 신중하게 고르세요!
실용적인 생일 축하
지금까지 언급했듯이, 함수 데이터 분석을 사용하여 "생일 축하 노래"를 분석할 수 있습니다. 미리 말씀드리자면, 가능합니다. JMP Pro의 함수 데이터 탐색기를 사용하여 이 작업을 수행하는 방법과 함수 데이터 분석의 모든 구성 요소가 인터페이스 어디에 있는지 보여드리겠습니다.
먼저 데이터 자체부터 살펴보겠습니다( JMP 퍼블릭 에서 그림과 함께 볼 수 있습니다). 아래의 대화형 그래프는 서양 음악의 12개 조에서 멜로디를 보여줍니다. 각 점 위에 마우스를 올리면 표시된 주파수에 해당하는 단어(또는 단어의 일부)를 볼 수 있습니다. x축은 시간입니다. 데이터 테이블은 시간(x축), 주파수(y축), 그리고 조(각 기능의 ID)의 세 열로 구성되어 있습니다. FDA를 시작하려면 이처럼 시간과 유사한 x축과 응답을 가진 곡선들의 집합이 필요합니다.
자, 이 글은 함수형 데이터 탐색기(FDE) 사용법에 대한 설명이 아니라 FDA의 세부적인 내용에 관한 것이므로, "생일 축하합니다" 노래의 함수형 형식을 설정하는 부분으로 바로 넘어가겠습니다. JMP Pro의 함수형 데이터 탐색기 사용법에 대한 자세한 설명은 문서의 예제를 참고하세요. 아래는 "생일 축하합니다" 노래의 함수형 데이터 탐색기 출력 결과를 보여주는 JMP Live 보고서입니다.
앞서 했던 사고 실험을 떠올려 보세요. 우리가 보고 있는 것을 이해하기 위해서는 두 가지를 찾아야 합니다. 바로 멜로디의 형태(함수형)와 주어진 조성에 맞는 멜로디를 만들기 위해 함수형을 수정하는 계수입니다. 함수형 PCA 제목 아래에 있는 작은 그래프를 찾아보세요(창을 아래로 스크롤해야 할 수도 있습니다). 이것이 바로 "생일 축하 노래"의 "함수형"(FDA 용어로는 기본 함수라고 함)입니다. 이 형태를 다시 만드는 데 필요한 모든 계수 등은 보고서에 포함되어 있거나 데이터 테이블로 내보낼 수 있습니다. 보이는 선은 이러한 모든 모델링 작업을 시각적으로 표현한 것입니다. 이제 함수 요약 개요 상자를 열어 보세요. 복잡해 보일 수 있지만, 우리는 FPC와 평균 열에만 관심이 있습니다. JMP는 평균값과 FPC를 사용하여 주어진 시작 음에 대한 노래를 재구성합니다(더 복잡한 데이터의 경우 여러 개의 FPC가 사용될 수 있습니다). 다른 정보들도 모두 유용하지만, 본질적으로는 "생일 축하 노래"의 각 버전을 재구성하는 데 필요한 정보는 바로 이러한 것들입니다. 그리고 우리의 뇌는 이 모든 것을 순식간에 처리해냅니다... 정말 놀랍죠.
결론
자, 여기까지입니다! 함수형 데이터 분석은 사람들이 컴퓨터가 우리 뇌가 하는 일을 대신하도록 하려는 또 다른 시도일 뿐입니다. 멋지지 않나요? 함수형 데이터 분석을 통해 할 수 있는 일들은 정말 무궁무진합니다. 시계열 데이터를 다른 모델링 방법에 적합한 형식으로 변환할 수도 있고, 실험 설계(DOE)의 일부로 활용할 수도 있습니다. 가능성은 무궁무진합니다.
그거 참 흥미로운 기사 시리즈 소재가 될 것 같은데요... 흠...
