Funktionale Daten können ein komplexes Thema sein, das man sich kaum vorstellen kann. Seit SAS den Functional Data Explorer in JMP 14 eingeführt hat, hatte ich viele Gelegenheiten, über seine Möglichkeiten zu sprechen. Die größte Herausforderung bei der Arbeit mit funktionaler Datenanalyse (FDE) besteht jedoch darin, das Konzept „funktionaler“ Daten überhaupt zu verstehen. Ich möchte Ihnen daher eine kleine Denkübung vorstellen, die sich bewährt hat, um anderen zu helfen, funktionale Daten und ihre Analysemöglichkeiten besser zu verstehen. Laut meinem kleinen Zeiterfassungs-Plugin dauert das Lesen etwa 4 Minuten und 30 Sekunden.
Alles Gute zum Geburtstag!
You can sing the "Happy Birthday" song, right? That's because you have a "functional" form of the song in your memory. Du kannst „Happy Birthday“ singen, richtig? Das liegt daran, dass du eine „funktionale“ Version des Liedes im Gedächtnis hast. Stell dir vor, du bist auf einer Geburtstagsfeier. Du kannst davon ausgehen, dass das traditionelle „Happy Birthday“ gesungen wird, und das stört dich nicht. Du kennst das Lied und weißt (unabhängig von deinem Stimmumfang), wie es klingen soll, egal mit welchem Ton du beginnst. Hast du dir jemals Gedanken darüber gemacht, warum das so ist? Es ist verständlich, dass du nicht unzählige Variationen von „Happy Birthday“ kennst. Wie kommt es also, dass du dir so sicher bist, das Lied zu kennen?
Vereinfacht gesagt, hat Ihr Gehirn die „Struktur“ des Liedes in Ihrem Gedächtnis gespeichert. Ausgehend von einem beliebigen Anfangston kann Ihr Gehirn die entsprechenden Tonhöhen rekonstruieren, um die Melodie von „Happy Birthday“ zu erzeugen. In diesem Zusammenhang haben Sie eine „funktionale“ Form des Liedes in Ihrem Gedächtnis. Würde man ein Diagramm erstellen, in dem die Häufigkeit auf der y-Achse und die Zeit seit Beginn des Liedes auf der x-Achse abgetragen sind, könnte es etwa so aussehen:
Die funktionale Datenanalyse (FDA) wendet das gleiche Prinzip wie das menschliche Denken bei der Interpretation von Liedern auf andere Arten zeitbasierter Daten an. (Beachten Sie, dass der Begriff „Zeit“ hier relativ weit gefasst ist.) Die FDA beginnt mit einem Datensatz, der aus mehreren Kurven besteht (der Melodie von „Happy Birthday“), und verwendet einfache mathematische Formeln (Linien, Kurven usw.), um eine allgemeine Form der Daten zu erstellen (dieForm(der Melodie von „Happy Birthday“), mit der sich jede Kurve des ursprünglichen Datensatzes durch Anpassung einiger weniger Konstanten in der Gleichung reproduzieren lässt. Das Ergebnis dieser mathematischen Akrobatik ist, dass wir große, strukturell komplexe Datensätze auf wenige Konstanten und eine einzige (etwas komplizierte) Gleichung reduzieren können. Die gute Nachricht: Normalerweise müssen wir nicht direkt mit dieser Gleichung arbeiten, da die spannenden Informationen in den Konstanten stecken. Genial, oder?
Und nur zur Info: Ja, ich weiß, ich bin total matheverrückt, aber das war nicht immer so. Ich habe mich im Studium einfach mit den falschen Leuten abgegeben. Sucht euch eure Freunde gut aus!
Ein funktionaler Happy Birthday
Wie ich bereits angedeutet habe, lässt sich das Lied „Happy Birthday“ mithilfe funktionaler Datenanalyse auswerten. Spoiler-Alarm: Es funktioniert. Ich werde den Functional Data Explorer in JMP Pro verwenden, um zu demonstrieren, wie das geht und wo sich die einzelnen Elemente der FDA in der Benutzeroberfläche befinden.
Beginnen wir mit den Daten selbst (verfügbar in JMP Public zusammen mit den Abbildungen). Das interaktive Diagramm unten zeigt die Melodie in allen 12 Tonarten der westlichen Musik. Wenn Sie mit dem Mauszeiger über die einzelnen Punkte fahren, wird das Wort (oder der Wortteil) angezeigt, das/der zur angezeigten Frequenz gehört. Die Zeitachse (x-Achse) stellt die Zeit dar. Die Datentabelle ist in drei Spalten unterteilt: Zeit (x-Achse), Frequenz (y-Achse) und Tonart (die ID für jede Funktion). Damit können Sie mit der FDA-Analyse beginnen – mit einer Kurvenschar, die eine zeitähnliche x-Achse und eine entsprechende Funktion verwendet.
Da es hier eher um die Details der FDA (und nicht um ein FDE-Tutorial) geht, überspringe ich die Stelle, an der ich meine funktionale Form von „Happy Birthday“ eingerichtet habe. Eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Functional Data Explorer in JMP Pro finden Sie in der Dokumentation mit einem Beispiel . Unten sehen Sie den JMP Live-Bericht der FDE-Ausgabe für „Happy Birthday“.
Erinnern Sie sich an unsere kleine Übung? Um zu verstehen, was wir sehen, müssen wir zwei Dinge finden: die Funktionsform (die Melodiestruktur) und die Koeffizienten, die die Funktionsform modifizieren, um die Melodie in einer bestimmten Tonart zu erzeugen. Suchen Sie das kleine Diagramm unter der Überschrift „Funktionale PCA“ (möglicherweise müssen Sie im Fenster nach unten scrollen). Das ist die Funktionsform (in der FDA-Terminologie Basisfunktion genannt) des Liedes „Happy Birthday“. Alle Koeffizienten usw., die Sie benötigen, um diese Form zu rekonstruieren, finden Sie im Bericht (oder Sie können sie in eine Datentabelle exportieren). Die Linie, die Sie sehen, ist die visuelle Darstellung der gesamten Modellierung. Öffnen Sie nun das Übersichtsfenster „Funktionale Zusammenfassungen“ – keine Sorge! – hier passiert viel, aber uns interessieren nur die Spalten „FPC“ und „Mittelwert“. JMP verwendet den Mittelwert und die FPCs, um das Lied für einen gegebenen Anfangston zu rekonstruieren (bei komplexeren Daten können mehrere FPCs entstehen). Alle anderen Informationen sind auch nützlich, aber im Kern sind das die Informationen, die man braucht, um jede Version des Liedes „Happy Birthday“ zu rekonstruieren. Und dein Gehirn schafft das alles blitzschnell … erstaunlich.
Abschluss
So, das war's! Funktionale Datenanalyse ist nur ein weiteres Beispiel dafür, wie versucht wird, Computern das beizubringen, was unser Gehirn von selbst tut. Faszinierend, oder? Die Möglichkeiten, die die funktionale Datenanalyse bietet, sind wirklich spannend. Man kann sie nutzen, um Zeitreihendaten in ein Format für andere Modellierungsmethoden zu transformieren. Man kann sie im Rahmen von Versuchsplanungen (Design of Experiments, DOE) einsetzen … die Möglichkeiten sind vielfältig.
Weißt du, das klingt nach einer interessanten Artikelserie... hmmm…
