作者
William D. Kappele，客观实验公司总裁
Julie Kidd，美国合成公司材料工程师
Heather Schaefer，美国合成公司材料工程师
介绍
有时您在正常工作过程中会遇到一个有趣的问题。 这就是我们身上发生的事情。 在使用设计的实验来配制合成钻石时，我们进行了一些无法测量响应的试验 - 它们低于我们测量系统的检测限。
我们可以更改因子设置，直到可以进行测量，但如果不需要，我们不想增加该费用。
起初，我们只是简单地将“零”分配给我们无法测量的一切。 不过我们对此有点紧张——毕竟，我们对 JMP 撒了谎– 我们不喜欢做的事情！
正是怀着对诚实的渴望，我们的冒险开始了。
https://www.youtube.com/watch?v=Zf0REURPFU0
冒险
我们的两个响应低于我们测量系统的检测限。 我们对这些响应所知道的只是它们位于检测限和零之间的范围内。 仅已知位于某个范围内的数据称为“审查数据”。我们知道如何在可靠性分析中处理审查数据，但我们不知道如何在设计的实验中处理它。
我们问比尔是否知道该怎么做。 他建议我们使用最大似然估计 - 但他不确定如何在 JMP 中执行此操作。 他联系了 Brad Jones（JMP），Brad 引导他使用参数生存平台。 虽然它的设计目的并不是完全满足我们的需要，但它可以用来获得我们的答案。
我们想分享我们所学到的知识——如何比较不同的分析以及如何使用 JMP 来执行这些分析——但我们的项目是专有的。 看起来我们的学习必须成为我们的秘密，直到希瑟想出了一个好主意：把我们的工作伪装成烘烤巧克力饼干！ 然后，她和朱莉成功创建了一个符合我们工作的“cookie”数据集，不会泄露任何秘密。
与所有类比一样，我们的 cookie 类比似乎有点做作。 然而，如果您耐心等待我们，您将能够看到我们真正面临的问题，并学会在您的工作中出现此类问题时如何处理。
一个简单的比喻：烘烤饼干
假设我们实际上正在烘烤巧克力饼干。 我们的目标是使用我们的配方生产出最薄的饼干。 （我们告诉过你这可能看起来有点做作！ 我们真的会尝试制作厚饼干。）我们使用的食谱是图 1 中的经典 Nestle Toll House 饼干食谱。
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图 1 – Toll House 饼干的官方配方，由雀巢提供。 |
我们以逻辑方式对成分进行分组，为我们的实验创建 5 个因素。 这些因素如图 2 所示。
薯片 干（面粉、小苏打、盐） 奶油（黄油、糖、红糖、香草） 温度 时间 |
图 2 – 因素。 |
以下是我们用于创建实验设计的因素和水平：
因素 | 类型 | 低级 | 高水平 |
|---|
薯片 | 混合物 | 0 | 0.5 |
奶油状 | 混合物 | 0 | 0.5 |
干燥 | 混合物 | 0 | 0.8 |
温度 | 连续的 | 第375章 | 450 |
时间 | 连续的 | 5 | 12 |
我们也有一些限制。 具有这些约束的实验设计的一部分（见图 3）如图 4 所示。
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图 3 – 创建带有约束的设计 |
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图 4 – 我们实验设计的一部分。 |
然后我们烤饼干……
使用 JMP 分析数据
烘烤饼干后，我们需要测量厚度。 你难道不知道吗！ 我们没有一个很好的统治者。 我们确实无法测量 1 毫米以下的任何物体。 我们当然可以看出我们有一块薄饼干，但我们无法确切地说出有多薄。 我们的检测限为 1 毫米。
最初，我们只是简单地为我们无法测量的饼干厚度输入“零”——那些低于我们检测极限的饼干。 请记住，我们知道我们有一块饼干，所以“零”不可能是正确的，但我们认为我们应该尝试一下。
这些数据很容易分析。 我们只是使用“拟合模型”命令和“标准最小二乘法”特性。
为了理解我们如何分析审查后的数据，我们需要一些背景知识。
最大似然估计
虽然最小二乘法是一种将数据拟合到模型的出色技术，但它并不容易用于审查数据。 另一种技术是最大似然估计，它更容易用于审查数据。 JMP 在“拟合模型”命令中的不同时间使用最大似然估计（例如，如果您选择“广义线性模型”选项），但它只为参数生存平台中的删失数据提供选项。
我们需要“哄”JMP 做我们想让它做的事情。
参数化生存平台
JMP 的“参数生存”平台使用最大似然估计，并提供分析审查数据的能力。 它的设计目的是与“故障时间”响应（而不是 cookie 高度）配合使用，但事实证明很容易解决这个问题。 当 JMP 询问“事件时间”时，您只需选择“Cookie 高度”，如图 5 所示。
选择发行版
参数生存平台要求您选择一个分布。 正态分布本来是我们的首选，但当时不可用。 我们选择 logNormal 分布是因为它具有很强的模拟正态分布的能力。 此外，由于我们的高度接近于零，正态分布可能会模拟噪声，从而允许预测负高度（您可以预测的高度）绝不想要一块饼干！）。 logNormal 分布避免了这种麻烦。
添加“审查”栏
通过向表中添加审查列，我们可以告诉 JMP 哪些运行包含审查数据（低于检测限的数据）。 它将以不同于其他测量的方式对待这些测量。 （它不会将它们视为零——它会以更复杂的方式处理它们。）
优化配方：中位数与平均值
参数生存平台中的优化器将“失败概率”视为一个因素。 这对于我们的分析来说是不必要的，那么我们应该将其设置为多少呢？
通常在响应面方法中，我们预测平均值。 由于我们期望对数正态分布接近正态分布，因此中位数应该非常接近平均值。 如果我们将“失败概率”设置为 0.5，我们应该会得到我们需要的结果。 图6
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图 5 – 参数化生存平台 |
展示了如何将“失败概率”“锁定”在中值。
另请注意，响应将始终标记为“时间”。当然，你知道这确实是“饼干高度”。
您可以添加“意愿函数”并照常设置意愿。 您还可以像往常一样使用“最大化意愿”找到“最佳点”。
如果要绘制等高线图，则需要保存预测公式并使用“图形”下的“等高线刻画器”。
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图 6 – 分位数刻画器 |
结果
那么我们发现了什么？
首先，我们挖了一把非常好的尺子，这样我们就可以知道饼干的实际厚度（这非常困难并且花了很长时间）。 然后我们就可以绘制实际与预测的图（见图 7）。 这并没有讲述整个故事，因为它忽略了噪音。 因此，我们还创建了实际与残差图（见图 8）。 看看这两个，你会发现结果是相似的。 残差大小相似，但偏差不同。
接下来我们预测了这两个模型的最佳点。 两个模型预测的甜蜜点基本相同，只是预测的烘焙时间略有不同（见图 9 和图 10）。 我们为每个甜蜜点烘烤了 50 块饼干并比较了结果（见图 11）。
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图 7 – 实际曲线与预测曲线 |
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图 8 – 实际与残差曲线 |
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图 9 – 审查数据分析的最佳点 |
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图 10 – 归零数据分析的最佳位置 |
两个甜蜜点产生相同的饼干厚度。 我们发现两种模型的最佳点基本相同，因此分析技术对于寻找最佳点并不重要。
仔细观察图 9、图 10 和图 11。 尽管他们预测了相同的甜蜜点，但审查模型的实际预测更准确。 甚至审查模型预测的置信限度也更接近现实。 因此，如果您需要准确的预测，则审查模型更好。
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图 11 – 最佳点比较 |
我们确实遇到了两个问题
- 我们对数据进行了审查。
- 我们需要使用不能预测负 Cookie 高度的分布来对噪声进行建模。
具有归零数据的模型没有解决这些问题。 用于审查数据的模型考虑了这两个问题。 一个自然的问题是，“仅解决这些问题之一会产生与审查模型一样好的结果吗？”
虽然我们没有简单的方法来测试问题 1（我们无法在 JMP 中查看正态分布的删失数据），但我们可以看看问题 2。 我们无法轻松使用广义线性模型平台，因为它不能与混合物一起使用。 但是，我们可以对数据进行对数转换并使用标准最小二乘法进行分析。 这具有将数据视为对数正态分布的效果。
这种方法的一个问题是数据归零不起作用。 相反，我们用审查范围的平均值 (0.5) 替换了零。 当然我们是还在撒谎至 JMP ！ 我们也分析了这个数据没有用于比较的对数变换。
该分析的结果如图 12 和 13 所示。 请注意，最佳点与使用零拟合正态分布数据的标准最小二乘法相同。 然而，对数变换的 95% 置信限为 0.53 和 0.76 的预测为 0.63，截尾范围平均值的 95% 置信限为 0.42 和 0.93 的预测为 0.68，比归零数据分析的预测要好得多。 图 14 是所有四种模型的比较。
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图 12 – 对数转换分析的最佳点 |
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图 13 – 极差均值分析的最佳点 |
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图 14 – 所有三个模型的实际与残差图 |
您可以看到，删失数据模型和对数转换模型的预测都相当好 - 删失模型的预测有点高，对数转换模型的预测有点低。 看起来没有必要使用 logNormal 分布。
概括
- 将“零”分配给低于检测限的响应预测效果不佳，但产生了可行的最佳点。
- 将删失范围的平均值分配给低于预测检测限的响应以及产生了可行的最佳点。一般来说，这不太可能起作用——看来我们这次很幸运。
- (2) 中数据集的对数转换产生了与 (2) 类似的结果，但有类似的警告。
- 使用 JMP 的参数生存平台和删失数据和对数正态分布对噪声进行建模预料到的好吧，并且产生了可行的最佳点对于中位数。 一般来说，这可能效果最好。
结论
我们在工作中遇到了两个问题：
- 审查数据
- 我们需要以避免负值（至少在低端）的方式对噪声进行建模。
利用我们的数据，我们能够通过两种方式解决这些问题：
- 使用参数生存平台分析删失数据和对数正态分布。
- 使用标准最小二乘法分析数据的对数变换，将删失值替换为范围平均值。
事实证明，正态分布在这里工作得很好——没有预测负的饼干高度。
这两种方法的预测效果都比简单地将数据归零到检测限以下要好。 两种方法都发现了本质上相同的最佳位置。
那么我们做了什么真的学习？
- 为未知值分配零效果很好。 这大概是因为运气好。 我们不希望这适用于所有数据集。
- 分配审查范围的平均值效果更好，但这也可能只是运气好。 总的来说，我们不认为这是一个好的策略。
- JMP 的参数生存平台让我们可以分析审查后的数据，尽管在这种情况下，它并没有产生比审查范围的平均值更好的结果。 尽管如此，这可能是未来最好的策略。 虽然（1）和（2）只是猜测，但参数生存平台背后的最大似然估计是成熟的。
- 正态分布和对数正态分布都适合我们。
现在我们已经与您分享了我们的冒险经历（以及我们的学习）。 现在是吃饼干的时候了！
寻找更多？
以下是一些有趣的参考资料，以获取更多信息：
拉塞尔·B·米勒，最大似然估计和推理：以 R、SAS 和 ADMB 为例, J. Wiley 父子公司，2011 年，ISBN 978-0470094822 。
http://ussynthetic.com/ （有关美国合成的信息）
http://www.ObjectiveExperiments.com （有关培训和研讨会的信息）
http://www.jmp.com/ （有关 JMP 软件的信息）
http://en.wikipedia.org/wiki/Censoring_（统计） （对于审查的一个很好的解释）
http://mathworld.wolfram.com/MaximumLikelihood.html （最大似然估计的简单解释）
http://en.wikipedia.org/wiki/Chocolate_chip_cookie （了解巧克力饼干的历史）
关于作者
Julie Kidd 是 US Synthetic 的材料工程师。 她的专长是陶瓷和复合材料系统以及材料表征，包括法医冶金和失效分析。
Heather Schaefer 是 US Synthetic 的材料工程师。她专业是铸造和压制高能材料，重点是红外诱饵弹的开发。
他们目前正在共同开发用于石油和天然气行业的改良合成钻石。
比尔·卡佩尔是奥布总裁客观实验。 他负责课程交付和开发。朱丽叶和希瑟向比尔学习了实验设计。
