约瑟夫·G。 拉米雷斯@ZenEos , 博士, WL Gore and Associates, Inc.
注意：本文最初出现在 JMPer Cable，第 27 期，2011 年冬季。作者最近与 Brenda Ramirez 合着了一本 SAS Press Book， Douglas Montgomery 的统计质量控制简介：JMP® 伴侣.
如果您已经学习了概率和统计的基础课程，您可能已经了解了均匀分布。 如果它在你的记忆中不是最重要的，不要责备自己；均匀分布没有太大吸引力，因为它描述了具有恒定概率的现象。 似乎很难在工程和科学中找到在给定区间内所有值的发生概率都是恒定的应用。 会想到 0 到 1 之间的伪随机数，因为此区间中的任何数字都应该具有相同的发生概率。 均匀分布有时被用作沿直线道路交通分布的模型。
一般来说，概率分布是数学模型或方程，用于描述和量化我们在数据中观察到的不确定性程度。 在连续均匀概率模型下，观察一个值的可能性X在区间 [θ,θ + σ ] 是常数，等于 1/ σ或 1 除以间隔的长度。 描述连续均匀（矩形）概率密度函数的数学方程是
我们博客的一位读者，统计洞察，询问如何拟合均匀分布JMP . 均匀不是“分布”平台的“连续拟合”上下文菜单中的选项之一。 但是，Beta 是其中一种选择。
均匀 (θ,θ + σ)是 Beta (1, 1,θ, σ)。
幸运的是，作为 JMP 选择之一的 Beta 分布与均匀分布之间存在方便的关系。 Beta概率密度函数的一般形式是
在哪里B. ( α , β) 是 Beta 函数。 这个 pdf 概括了标准的 2 参数 Beta 分布，贝塔( α , β) ，从区间 [0,1] 到任意有界区间 [θ,θ + σ ]。 当形状参数值为α = 1 和 β = 1，则 beta 函数B. (1, 1) = 1 并且 pdf 具有等于 1/ 的恒定概率σ . 换句话说，如果 X 在区间 (θ,θ + σ )，则 X 分布为 Beta(1, 1)，阈值为 θ 和尺度σ .
让我们来探讨一下这种关系。 中的直方图图1显示区间 (0,1) 中均匀分布的 100 个模拟观测值。 这些观察结果是使用公式编辑器中的随机均匀生成器生成的。
正如预期的那样，这种分布有点矩形。 要将此数据拟合均匀分布，请从直方图 Uniform(0, 1) 标题栏上的上下文菜单（红色三角形）中选择 Continuous Fit > Beta。
Figure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta Command图1。 直方图和连续拟合 > Beta 命令
图 2显示了具有叠加 Beta 拟合的直方图，它具有矩形形状。 拟合的 Beta 参数估计值显示 α=1.07 和 β=1.03（接近 1 - 但有多接近？）。 的 95% 置信区间α和β两者都包含 1，表明没有足够的证据表明它们与 1 不同。 实际上，这意味着 α 和 β 被假定为 1，因此均匀分布在描述这些数据方面做得很好。 阈值参数 θ 为 0.009，尺度参数 σ 为 0.977，支持 Uniform(0, 1)。 （注意 θ 和σ不是最大似然估计。 JMP 将 θ 设置为最小数据值，将 σ 设置为数据的范围（=最大-最小）。 最后，诊断图显示了围绕线盘旋的点，并且在 95% 的置信区间内。
Figure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) Data图 2。 Beta 拟合到 Uniform(0, 1) 数据
对于 Uniform(θ, θ + σ)，均值等于 θ + σ/2，标准差等于 σ/√12。 中的 Moments 表图 3显示平均值接近 0.5，标准差接近 1/√12 = 0.2886。 均值和标准差的 95% 置信区间分别包含 0.5 和 0.2886。
Figure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) Data图 3。 Uniform(0, 1) 数据的矩和置信区间
拟合 Beta(1, 1, θ, σ)) 时要寻找什么要使用 beta 分布拟合来查看均匀分布是否是数据的良好近似值，请执行以下步骤。
- 在分布中拟合 Beta 分布 从直方图标题栏上的红色小三角菜单中选择连续拟合 > Beta。
- 查看 Parameter Estimates 报告并验证形状参数 α 和 β 的估计值是否接近
- 验证 α 和 β 的 95% 置信区间是否包括 1。
- 从 Fitted Beta 标题栏上的红色小三角菜单中选择诊断图。 诊断图上的点应靠近直线
- 制服( θ, θ + σ)参数由阈值给出θ 和尺度σ。
- 从直方图上的红色小三角菜单中选择置信区间 > .95，查看均值和标准差的 95% 置信区间（参见图 3 ）。
- 检查θ + σ /2（平均值）和σ/√12 (Dev.) 在区间内。
示例：布里斯班婴儿潮数据> 1997 年 12 月 18 日是澳大利亚昆士兰州布里斯班创纪录的一天。 母亲医院 24 小时内有 44 名婴儿出生。
图 4显示当天发生的每个出生从午夜开始的分钟数的直方图。 有理由相信，在 24 小时内，任何时候都可能发生分娩，直方图似乎支持了这一点。 均匀分布能否很好地拟合数据？
Figure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each Birth图 4。 每次出生从午夜开始的分钟数图 5显示 Beta 拟合的结果。 参数估计值 α=1.357 和 β=1.154 在 1 附近，并且它们的 95% 置信区间包含 1。 诊断图看起来相当直。 Threshold = 5 和 Scale =1430，表明 Uniform(5, 1435) 分布描述了数据。 换言之，1997 年 12 月 18 日，在 24 小时间隔内的任何给定分钟内，出生在澳大利亚布里斯班的 Mater Mothers 医院的概率是 1/1430 = 0.0007 或 0.07%。
Figure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies Births图 5。 最适合布里斯班的婴儿出生
图 6显示均值和标准差的矩和 95% 置信区间。 对于 Uniform(5, 1435)，平均值应接近 5 + 1430/2 = 720，标准差接近 1450/ √12 = 412.8054。 平均值的 95% 置信区间确实包含 720，标准差的置信区间包含 412.8054。
Figure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta Fit图 6。 Beta 拟合的矩和置信区间
下次您想知道您的数据是否可以用均匀分布来描述时，请考虑“测试版”并使用具有连续拟合的分布平台> Betafit。
