我们都需要多一点信心，对吗？ 嗯……也许在某个领域我们应该“少一点”信心。 讽刺的是，这个区域是我们对置信区间。
首先，我们来谈谈为什么置信区间有用。 当我们进行推论统计时，我们这样做是因为我们没有来自人口的所有信息或数据。 我们正在做出明智的猜测，但我们并不总是完全正确。 就像我们使用统计数据来查看当地大学的 200 名学生样本的智商是否高于一般人群一样。 如果我们测量每一个学生，我们就不需要统计数据。 我们会了解平均智商是多少以及它是否高于人口平均智商 100 的真相。
例如，您可能会根据您对朋友消费的 10 瓶啤酒的平均体积的仔细（如果不是过分）测量，猜测您最喜欢的啤酒厂的平均倒入量为 15.7 盎司（标准差约为 0.51 盎司）昨夜。
该酒吧声称其可倒出 16 盎司，因此您可能会因为少了 0.3 盎司您最喜欢的比利时啤酒而感到有点恼火。
但即使 15.7 盎司是您的最佳猜测，15.7 也不太可能是啤酒量的“准确”人口平均值。 更准确的说法是，获得 15.7 盎司的平均值使您非常有信心总体平均值“接近”15.7 盎司。
这种不确定性——整个“近”部分——是我们经常想要用数字表示的东西。 我们在频率主义者中这样做的方式，零假设显着性检验（NHST）框架具有置信区间。
置信区间允许您呈现范围值而不是单点估计。 您可以根据数据将此范围视为我们总体参数（此处为平均值）的合理候选范围。 这个范围很有用，因为它强调了我们点估计中固有的不确定性。 就像您不一定期望婴儿在预产期出生一样，而是在预产期前后出生。
但尝试用置信区间进行推理？ 这可能会有点棘手。 置信区间与置信水平配对，例如 95% 或 99%，但如果您真的愿意，您可以计算出 90.273612% 的置信区间……尽管每个人都可能认为您真的很奇怪。 但是一旦有了置信区间，它意味着什么？
抽样分布
在我们回答这个问题之前，我想退一步谈谈我之前提到的频率主义框架。
频率论者将总体参数视为一些真实的、坚定不移的值，而我们收集的数据样本是随机的。
我们可以绘制所有可能的样本意味着我们可以可能通过计算当地啤酒厂倒出的 10 种不同啤酒的平均体积即可得出。 由于我们拥有的只是样本数据，因此这是我们对该分布的最佳猜测。
这被称为抽样分布，样本均值抽样分布的缩写，有点拗口。 正如我提到的，这个分布告诉我们，如果我们从这家啤酒厂随机抽取 10 种啤酒并计算其平均值，我们获得每个平均值的可能性有多大。
这是一个很好的方式来表示我们对 15.7 盎司是否“完全”是总体平均值的不确定性。 根据我们掌握的数据，15.7 盎司是最可能的值，也是我们分布上的最高点。 但我们的平均值可能为 15.8，这也是合理的。 我们得到的平均体积超过 16 盎司的可能性相对较小，但也有可能。
因此，如果这个分布代表了我们期望获得的可能均值的 100%，我们可以通过使用它来创建一系列合理的值来对冲我们的赌注。
返回置信区间
假设我们想要“非常”小心。 我们希望我们的范围包含分布中 99% 的值。 我们可以计算出该分布的中间 99% 的密度在哪里。
我们通过以下事实来做到这一点：抽样分布的形状类似于自由度为 n（样本大小）负 1 的 t 分布。
如果我们想要分布的*中间* 99%，这意味着我们希望分布的 1% 超出我们的范围，即两侧各 0.5%。 因此我们可以找出该分布中第 0.5 个和第 99.5 个百分位的位置。
快速 Google 搜索或计算会告诉您，t 值 -3.249836 代表第 0.5 个百分位，t 值 3.249836 代表第 99.5 个百分位。 因此，这两个 t 值之间的任何值都在我们的 99% 置信区间内。
但我们并不真正想要 t 值...我们希望我们的范围采用常规单位：盎司！ 幸运的是，我们可以快速转换它们。
t 值是两个平均值（通常是观测平均值和基线平均值）之间的距离除以标准误差（即我们的样本标准差除以 n 的平方根）。
例如，如果我们想知道获取平均体积为 16 盎司的 10 瓶啤酒样本的 t 值，如果真实平均值为 15.7 盎司，我们就可以计算出来。
因此，要将 t 值转换为盎司，我们需要向后执行此过程。 我们乘以标准误差，然后加回平均值。
这意味着我们的置信区间范围约为 15.18 至 16.22 盎司。 
好的，所以我们计算了 99% 的置信区间，并且我们知道它是包含采样分布密度 99% 的范围……但下一步是“解释”该区间……这可能有点小棘手。
解释
该区间包含“大多数”我们根据观察到的数据认为合理的值。 所以它*可能*包含真实的总体平均值，对吗？
我们可能会。 99% 置信区间中的 99% 还告诉您，如果您使用此精确过程计算了一堆不同的 99% 置信区间，则其中大约 99% 将包含真实总体平均值。
但很容易将这一事实与常见的误解混为一谈，即单个 99% 置信区间有 99% 的机会包含真实总体均值。 这不是真的。
我们拥有的“信心”是在计算置信区间的“过程”中……而不是在我们特定的置信区间中。
例子
置信区间也可用于决策。 假设您在一家啤酒厂工作。 也许就是在您最喜欢的当地啤酒厂提供美味啤酒的同一个。 你有一台机器可以测量一批啤酒花中“软”树脂与“硬”树脂的百分比，啤酒花具有独特的霉味。
您希望该值约为 8%，因此对于每批新发货的啤酒花，您都会采集一些样品并记录“软”树脂的百分比。 然后计算“软”树脂百分比的 95% 置信区间。
只要该置信区间包含 8%，您就认为该批次没问题，因为 8% 是我们根据样本发现“合理”的总体值之一。 所以，你把它送到工厂。
如果您的置信区间 *不* 包含 8%，则您认为这批啤酒花不合格，并将其发送到农场用于动物饲料。
如果您的啤酒花*从来没有*出现过问题，并且“软”树脂的真实百分比始终为 8%，则 95% 的情况下，您的置信区间将包含 8%。
5% 的情况下不会。 这 5% 就是我们所说的误报 – 或 I 类错误 –因为您错误地将一批完美的啤酒花标记为不合格。 但是，好消息是您可以控制这种情况发生的频率。
该误报率始终为 100% 减去您的置信水平。 因此，作为一家企业，您可以决定愿意错误地丢弃优质啤酒花的频率。
本质上，你是在用给猪喂几批好的啤酒花的经济损失来换取捕获一批“实际上”不好的啤酒花的能力。
推理
使用置信区间进行推理与对相同数据进行 t 检验非常相似。
我们对您当地啤酒厂倒出的啤酒盎司数的 99% 置信区间为 15.18 至 16.22 盎司。 由于 16 盎司（啤酒厂声称的平均值）在我们的置信区间内，因此我们不能声称有证据表明他们没有倒酒。 根据我们观察到的数据，我们仍然认为16盎司是一个相对“合理”的值。
我们所说的“合理”是指与 15.7 盎司相比，其误差在 3.25 个标准误差以内。3.25 来自查找 99% 置信区间的临界 t 值。 它标记了 99% 采样分布所在的截止点，在任一尾部仅留下 0.5% 的分布。
如果一个值与 15.7 盎司的距离小于 3.25 个标准误差，那么我们认为它是“合理的”。
事实证明，如果我们使用 alpha = 100% 置信水平（即 p < 0.01）进行 t 检验，我们还会测试两个数字的相差是否超过 3.25 个标准误。 但这一次，我们要看看我们的样本平均值（15.7 盎司）是否与我们的假设平均值（16 盎司）相差超过 3.25 个标准误差。当某物与 16 盎司（n = 10）相差超过 3.25 个标准误差时，我们拒绝原假设。 如果小于 3.25 个标准误差，我们失败拒绝原假设。
由于 16 盎司处于我们的 99% 置信区间内，我们已经知道它与 16 盎司的标准误差小于 3.25 个标准误差，因此在 p < 0.01 水平上，15.7 盎司的平均值*不会*与 16 盎司有显着差异。
事实上，当 alpha = 100%（置信水平）时，置信区间内的任何值都不会与样本均值有显着差异。
JMP 中的置信区间
让我们为超级英雄的身高创建一个置信区间Kaggle 数据集（另见所附数据表）。您可以使用分析>分布菜单中JMP。 选择高度，并将其添加到Y_列。 选择“确定”，然后在弹出的窗口中查找变量旁边的红色三角形。 选择置信区间从菜单中选择您所需的置信度。 繁荣！ 你有信心了！ 默认情况下将显示 95% 置信区间，但您可以使用菜单选择其他置信区间水平。
您还可以根据以下参数创建参数估计值（例如均值和回归斜率）的置信区间：适合模型平台。 使用“拟合模型”平台创建模型（例如超级英雄身高和体重的回归模型），然后向下滚动到参数估计。 右键单击表格并选择低于95%和95%以上。 您的参数估计表现在包括置信区间！
如果您想提高效率，还可以按住 Option + 右键单击显示表格的设置面板并立即选中两个框。
现在您对置信区间有了更多的了解，希望您对他们的解释更加有信心（哦，来吧，您知道我必须......）。 快乐分析！
