克里斯蒂安·里特，执行董事，里特和丹尼尔森咨询公司
抽象的
具有多个输入和输出变量的非平凡模型很难可视化，并且关于统计显着性和科学意义的交流也远非显而易见。 在这里，我们正在研究从单响应显示（其中显示多个 X 变量对单个 Y 变量的影响）到两类双响应图（骨架和飞毯）的过渡，然后探索如何集成模型的不确定性。
关键词
响应面，多变量分析。
激励示例：聚氨酯泡沫
让我们从一个实际的例子开始。 用于制造床垫的聚氨酯泡沫是简单化学反应的结果。 在这种化学反应中，一种称为多元醇的广义醇与异氰酸酯反应形成弹性聚合物。 同时，水也与异氰酸酯反应，生成尿素和CO2。 尿素分散在聚合物中并使其硬化，而二氧化碳则形成气泡，这些气泡有时会相互破裂，形成透气的泡沫。 定义产品特性的参数包括硬度、密度、拉伸强度和断裂伸长率。 前两个参数与泡沫的一般硬度和价格等级有关，第二个参数与泡沫的弹性特性有关。
尽管化学原理非常简单，但仍有相当多的变量决定泡沫特性。 有异氰酸酯的量。 通常选择稍微过量以确保充分反应。 然后过量的异氰酸酯溶解到脲域中。 此外，当异氰酸酯过量时，相对于多元醇的水量将产生更多的气体，从而产生更多更大的气泡，并因此产生更低密度的泡沫。 同时，剩余的聚合物会更硬，因为它含有更多的尿素。 同时，密度较低的泡沫具有较少的支撑泡沫的材料，并且通常更软。
其他因素决定了产品的特性。 可以添加额外的固体来硬化泡沫，辅助气体发生材料可以进一步降低密度，可能需要阻燃剂来通过安全法规，并且气压和湿度会影响结果。 这意味着输入变量和响应的数量以及关系的复杂性足够高，使得分析关系变得相当棘手。
下图试图显示三个最重要的变量如何影响结果：
图1。 R 提出的模型的 IFD 硬度的单一响应图。 希福尔[1]。
这是具有多个输入变量的单个响应图。 请注意，可以看到每个变量的关系及其相对大小，还可以对它们进行比较。 然而，没有出现清晰的摘要图片。 也很难想象如何整合更多的输入变量以及如何展现交互效果。 最后，由于我们希望了解输入如何影响多个响应，因此必须同时研究其中几个图表。
我们中的许多人都记得花几个小时向与我们（统计学家）合作的科学家解释这些图表，并为他们构建了这些模型。
骷髅
第一个替代方案是两个响应的骨架图，如下例所示（图 2）。 在这里，我们首先寻找 X 变量之间的层次结构。 作为骨干，选择对两种响应具有最强联合效应的变量。 在示例中，这是水含量。 然后其他变量的影响被嫁接到主干上。 与主干变量很少或没有相互作用的变量被嫁接一次，与主干变量相互作用的变量被嫁接两次。 更高阶的相互作用可以添加为在第二级嫁接的“骨骼”（此处未显示）。
结果，我们以科学家仍然可以解释的方式展示了非常复杂的情况。 在这个例子中，主干是完全合乎逻辑的：随着水位的增加，泡沫变得不那么稠密（更多的气体）并且更柔软（更少的物质）。 然而，更多的水也意味着更硬的聚合物。 较高的异氰酸酯过量（指数）或额外的固体会增加硬度，而对密度影响很小或没有影响，并且它们的影响在用少量水（尿素）制成的高密度泡沫中与在高尿素含量的低密度泡沫中略有不同。 辅助发泡剂（此处为 MeCl）和气压以逻辑且相反的方式发挥作用…… 我们看到，主要关系虽然复杂，但可以很容易地解释，并且比通过一对单一响应图更容易和更清晰。
图 2. 基于 R. 发布的模型的 IFD 硬度和密度骨架图。 希福尔[1]。
下面的一对图显示了两个骨架图的视图，可以同时探索四个响应。 该显示同时显示了该方法的强度并确定了一个困难：一个骨架图的主干对于另一个针对不同的响应对而制作的骨架图可能并不理想。 仍然需要设计自动选择该变量的开发方法。
图 3. 相同输入变量的一对骨架图。
从骷髅到飞毯
骨架有助于描绘输入输出关系、它们的大小以及它们的交互。 它们不显示可以获得的属性范围（在模型成立的条件下）。 骷髅没有肉。 充实骨骼意味着我们必须将骨骼的尺寸增加到至少 2，这样我们就可以制作飞毯了。 该显示的一个挑战是以视觉上不侵入的方式识别锚点。
图4a和b。 通过异氰酸酯指数的影响，充实代表水效应的骨架。
当有三个输入变量时，我们应该如何进行？ 有两种可能性：我们可以从二维对象（流形）变为三维对象，或者我们可以重复二维对象。 也就是说，我们可以去观看飞香肠展示或多个飞毯。 第一种方法基于视错觉：通过显示视觉注释的二维形状来表示三维对象。 这很难做到，也很难看到。 第二种方法可以在构建和观看层面上实现更轻松的显示。
图 5. 飞毯的布置。
这就是结束的地方。 在这里，我们显示了两个响应和四个输入变量，以描绘所选配方范围可以涵盖的密度和硬度属性范围。 骨架图比流形（飞毯）的排列可以容纳更多的变量。 在示例中，我们有六个输入变量和两个响应。 这两种类型的显示在以下意义上是最佳的：它们通过以更容易理解的方式显示更多变量和更多关系，大大改进了单一响应显示。 另一方面，不可能在单个显示器中显示三个响应，因为这需要使用深度错觉。 出于同样的原因，显示对象中可以使用的维度数不能超过两个。
超越两个响应需要显示二维投影或图形动画的排列。
山脊体操
到目前为止，我们已经介绍并讨论了已知模型情况下的骨架图。 在实践中，模型必须根据数据构建，并且其参数存在不确定性。 如何整合模型和数据的不确定性？
为此，我们将重新审视 Box 和 Liu 报道的复杂示例 [2]。 它涉及设计纸直升机过程中优化阶段收集的数据，该直升机从长凳上掉落时会飞行，并且飞行变异性较低。 有两个响应，以厘秒为单位的飞行时间（用 Y 表示）和变异性度量 100*log10(stdev(Y))（用 LS 表示）。 有四个输入变量，机翼面积 (A)、机翼长/宽比 (Q)、体长 (L) 和体宽 (W)。 实验设计是这四个因素的封闭中心组合。
下面一组双响应显示（飞毯和骷髅的混合）展示了一种显示原始数据和主要模式的方式。 左上图显示了针对总体线性效应最大的两个变量（体长 (L) 和翼长/宽比 (Q)）制作的切片。 我们发现机翼长宽比较高的直升机倾向于以牺牲可变性为代价来飞行更远的距离。 对于身体长度，较短似乎更好（请注意，“长”或“短”是相对于所选的实验范围而言的。 当我们将线性拟合与完整模型的拟合（包括交互作用和二次项）混合时，我们发现当仅显示完整模型时，切片会分离并变得非常不规则。 完整模型过度拟合，合理拟合可能介于两者之间。
图 6. 原始数据和模型。 左上：仅线性效果，翅膀和身体长度的切片。 右上：0.8 部分线性模型和 0.2 部分完整模型的混合。 左下：线性模型和完整模型的均匀混合，右下：完整模型。
参考书目
[1] Reinhart Schiffauer (1994)，柔性聚氨酯泡沫的数学特性预测模型，第 35 届会议论文集th年度聚氨酯技术/营销会议，225-238。
[2] GEP 框和 P. 刘. 统计作为科学方法学习的催化剂第一部分——一个例子。 质量技术杂志，31（1）：1-15，1999。
