Schauen Sie sich diese Matrix von Symbolen an.
++++++++++++++++++++++++++++++++
+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + -
++ ---- ++ - ++ ---- + ++ ---- ++ -----
+ ---- ++ - + ++ ---- + - + ++
++++ ---- ++++ ---- ++++ ---- ++++ ----
+ - + - + - ++ - + - + - ++ - + - + - ++ - + - + - + - +
++ −−−− ++++ −−− ++++ −−− ++++ −−− ++
+ - + - ++ - + - + - ++ - + - + - ++ - + - + - + - ++ -
++++++++−−−−−−− ++++++++−−−−−−−
+ - + - + - + - + - + - + - ++ - + - + - + - + - + - + - + - +
++ ---- ++ ----- ++ ---- ++++ ---- ++ ---- ++ ----
+ ---- + + - + - ++ - + ++ - + - + + - + + - + - ++ ----
++++ --−−−−− +++++++++−−−−−− ++++
+ - + - + - + - + - ++ - + - + - + - + - + - + - + - ++ - + -
++ −−−− ++ −− ++++ −− ++ −−− +++ ++++
+ - + + - ++ - + - + - + - + - + +
++++++++++++++++−−−−−−−−−−−−−
+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +
++ −− ++ −− ++ −− ++ −−−− ++ −− +++ ++
+ −− ++ −− ++ −− ++ −− + - ++ −− ++ −− ++ −− ++ -
++++ --−− ++++ --−−−−−− ++++ −−− ++++
+ - + - + - ++ - + - + - + - + - ++ - + - + - + - ++ - + -
++ ----- ++++ ----- ++++++ ---- ++++ -
+ - + + - ++ - + - + - ++ - + + - + - + - ++ - + - + +
++++++++ --−−−−−−−−−−−− +++++++++
+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - ++ - + - + - + -
++ ---- ++ ----- ++ ---- +++ +++ ++++ - ++
+ ---- ++ - + - ++ - + ++ - + ++
++++ --−−−−− +++++−− ++++++++−−−−
+ - + - + - + - + - ++ - + - + - ++ - + - + - + - + - + - +
++ −−−− ++ −− ++++ −−− ++++ −− ++ −−− ++
+ - + + - ++ - + + - + - + - ++ - + - + - + + - + - + - ++ -
Schön ist es nicht? Diese Matrix hat mehrere wundervolle Eigenschaften. Ignoriert die erste Spalte, die aus allen Pluspunkten besteht, hat jede Spalte die gleiche Anzahl von Plus- und Minuswerten. Jedes Spaltenpaar hat acht Wiederholungen aller möglichen Symbolpaare (++, + -, - +, -). Das macht diese Matrix zu einem sogenannten Stärke zwei orthogonale Anordnung . Verwendung dieser Matrix als Entwurf für ein Experiment können Sie eine Sensitivitätsanalyse der wichtigsten Auswirkungen von 31 Faktoren mit nur 32 Durchläufen durchführen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, diese Matrix zufällig zu erzeugen?
Hier ist eine mögliche Antwort. Diese Matrix enthält 32 Zeilen und 32 Spalten. Das ergibt 32x32 = 1024 Symbole. Jedes Symbol kann zwei Werte annehmen, so dass die Anzahl der möglichen Matrizen 2 ist 1024 . Wenn man eine zufällige 32 x 32 Matrix aus Plus und Minus generiert, ist die Wahrscheinlichkeit, die Matrix oben zu erzeugen, 1/2 1024 - und das ist eine sehr kleine Zahl. Da diese Art der zufälligen Generierung der Matrix zu Lebzeiten (oder sehr wahrscheinlich im Leben des Universums) nicht möglich ist, könnte man annehmen, dass die Matrix nicht zufällig generiert werden könnte.
Könnte es einen anderen Weg geben?
Wir haben zwei Symbole, + und -. Beachten Sie diese Regel zum Kombinieren von Symbolen. Wenn ich dir ein Symbol oder eine Matrix von Symbolen gebe, H, gibst du mir eine Matrix zurück, die so aussieht:
H H
H –H
Beginnen wir zum Beispiel mit + und wenden unsere Regel an
++
+ -
Die Anwendung der Regel auf die Matrix oben ergibt
++++
+ - + -
++ −−
+ - +
Drei weitere Iterationen erzeugen unsere elegante Originalmatrix.
Die Regel ist extrem einfach. Die Wahrscheinlichkeit des Erzeugens die Regel Zufällig könnte so groß wie ½ sein 4 = 1/16. Um die ursprüngliche Matrix zu erzeugen, brauchen wir nur die beiden Symbole, unsere Kombinationsregel und fünf Wiederholungen.
Und dein Punkt ist?
Bei unserer ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsbewertung wurden 1.024 unabhängige Zufallsereignisse angenommen. Diese Annahme, sozusagen diese Unabhängigkeitserklärung, ist nicht notwendig.
Die Annahme der Unabhängigkeit ist extrem stark. Verwenden Sie es in statistischen oder philosophischen Argumenten mit Vorsicht!
Fußnote
Die ursprüngliche Matrix heißt a Hadamard-Matrix nach dem französischen Mathematiker des 19. Jahrhunderts dieses Namens. Hadamard hat auch die einfache Regel erfunden, die es einem erlaubt, eine Hadamard-Matrix in eine andere zu verwandeln, die doppelt so viele Zeilen und Spalten hat.
Bradley Jones schrieb:
Der Generator in der 7. Auflage von Montgomerys Buch auf Seite 326 ist
+ + - + + + - - - + -
Da es viel mehr als Minus gibt, endet er mit einer Reihe von Minus.
Es ist jedoch witzig, dass Tabelle 8.24 auf Seite 327 den Generator tatsächlich verwendet
+ - + - - - + + + - +
Der Generator in JMP ist
- + - + + + - - - + -
In diesem Generator gibt es ein Minus mehr als ein Plus, so dass Sie eine Reihe von Plusses benötigen.
Beide Designs sind orthogonal und beide haben das gleiche Aliasing zwischen Haupteffekten und Zwei-Faktor-Wechselwirkungen. Ich bin nicht sicher, ob sie isomorph im Sinne einer gegenseitigen Beschaffung sind, indem Sie Zeilen wechseln, Spalten wechseln oder Plus und Minus in einer Spalte austauschen. Ich denke, dass es für diesen Fall mehrere nichtisomorphe Designs gibt. Für alle praktischen Zwecke sind diese Designs jedoch gleichwertig.
Tabelle 8.24 kann aus dem Plackett-Burman-Design mit dem Screening-Designer in JMP abgerufen werden (und Auswahl der gleichen Reihenfolge für die Zeilenreihenfolge) durch Austauschen der Symbole für alle Spalten. Daher sind Tabelle 8.24 und das JMP-Screening-Design isomorph.
Wenn Sie den benutzerdefinierten Designer für 11 Faktoren in 12 Durchläufen verwenden, erhalten Sie ein weiteres orthogonales Design mit derselben Alias-Struktur. Es ist nicht leicht zu sehen, wie man mit den drei zulässigen Operationen, die ich oben verwende, einen Entwurf von dem anderen erhält. Für alle praktischen Zwecke entspricht das vom Custom Designer erzeugte D-optimale Design einem Plackett-Burman-Design.
Manny Uy schrieb:
Brad,
Ich unterrichte derzeit einen DOE-Kurs mit Doug Montgomery's Buch "Design and Analysis of Experiments" und normalerweise verwende ich JMP, um verschiedene Designs und Analysen in den Beispielen des Lehrbuchs zu erstellen. Dann kam ich zu dem Abschnitt über Plackett-Burman-Designs, in dem der erste Spaltengenerator für ein Design mit 11 Faktoren und 12 Durchläufen + + - + + - - - + - ist. Als ich jedoch JMP's secreening desigfn-Plattform für ein Plackett-Burman-Design mit 11 Faktoren und 12 Läufen verwendete, konnte ich das saqme-Design nicht mit dem obigen Generator generieren (erste Spalte nach der Identitätsspalte). Wie erstellt JMP sein Plackett-Bruman-Design? Ich vermute mit einer Haadamard-Matrix, wie Sie in diesem Artikel erwähnt haben. Bitte helfen Sie mir, diese Frage eines meiner Studenten zu beantworten.
Manny
